概率2-5隨機變量及其分布課件

第五節(jié)隨機變量的函數(shù)的分布問題的提出離散型隨機變量的函數(shù)的分布連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布小結(jié)布置作業(yè)第五節(jié)隨機變量的函數(shù)的分布問題的提出一、問題的提出

在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣.求截面面積A=

的分布.比如，已知圓軸截面直徑d

的分布，一、問題的提出在實際中，人們常常對隨機變量的函在比如，已知t=t0

時刻噪聲電壓V

的分布，求功率

W=V2/R

(R為電阻）的分布等.在比如，已知t=t0時刻噪聲電壓V的分布，求功

設(shè)隨機變量X

的分布已知，Y=g(X)(設(shè)g是連續(xù)函數(shù)），如何由X

的分布求出

Y

的分布？下面進行討論.

這個問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的.設(shè)隨機變量X的分布已知，Y=g(X)二、離散型隨機變量函數(shù)的分布解：當(dāng)X

取值

1，2，5時，

Y取對應(yīng)值

5，7，13，例1設(shè)X求

Y=2X+3的概率函數(shù).～而且X取某值與Y取其對應(yīng)值是兩個同時發(fā)生的事件，兩者具有相同的概率.故二、離散型隨機變量函數(shù)的分布解：當(dāng)X取值1，2，如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項即可.一般地，若X是離散型r.v，X的分布律為X～則

Y=g(X)～如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)一般地，如：X～則Y=X2

的分布律為：Y～如：X～則Y=X2的分布律為：Y～三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布例2設(shè)X~求Y=2X+8的概率密度.三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布例2設(shè)X~求Y=2X+8例3

設(shè)

X具有概率密度,求

Y=X2的概率密度.解設(shè)Y和X的分布函數(shù)分別為和

，例3設(shè)X具有概率密度,求Y=X2若則Y=X2

的概率密度為：若則Y=X2的概率密度為：

從上述兩例中可以看到，在求P(Y≤y)的過程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法從{g(X)≤y}中解出X,從而得到與{g(X)≤y}等價的X的不等式.例如，用代替{2X+8≤y}{X}用代替{X2

≤

y}

這樣做是為了利用已知的

X的分布，從而求出相應(yīng)的概率.這是求r.v的函數(shù)的分布的一種常用方法.從上述兩例中可以看到，在求P(Y≤y)的過例4

已知隨機變量X的分布函數(shù)F(x)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù),證明Y=F(X)服從[0,1]上的均勻分布.

下面給出一個定理，在滿足定理條件時可直接用它求出隨機變量函數(shù)的概率密度.例4已知隨機變量X的分布函數(shù)F(x)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù),其中，X=是

y=g(x)的反函數(shù).定理

設(shè)

X是一個取值于區(qū)間[a,b]，具有概率密度f(x)的連續(xù)型

r.v,又設(shè)y=g(x)處處可導(dǎo)，且

是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)

，則Y=g(X)是一個連續(xù)型r.v.，它的概率密度為此定理的證明與前面的解題思路類似其中，X=是y=g(x)的反函數(shù)解例5

設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，證明

也服從正態(tài)分布.解例5設(shè)隨機變量概率2-5隨機變量及其分布ppt課件四、小結(jié)

對于連續(xù)型隨機變量，在求Y=g(X)的分布時，關(guān)鍵的一步是把事件

{g(X)≤y}

轉(zhuǎn)化為X在一定范圍內(nèi)取值的形式，從而可以利用X

的分布來求P{g(