中職數(shù)學(xué)211排列組合與二項式課件

第二十一章排列組合二項式定理第二十一章知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖：排列與組合二項式定理基本原理排列組合排列數(shù)公式組合數(shù)公式組合數(shù)的兩個性質(zhì)二項式定理二項式系數(shù)的性質(zhì)知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖：排列與組合二項式定理基本原理排列組合排列數(shù)公一、分類計數(shù)原理（加法原理）：完成一件事情，有n類方式,在第1類方式中有m1種不同的方法,在第2類方式中有m2種不同的方法，……，在第n類方式中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.要點：（1）分類；（2）相互獨立；（3）N=m1+m2+…+mn（各類方法之和）復(fù)習(xí)《第十一章概率與統(tǒng)計初步》一、分類計數(shù)原理（加法原理）：要點：復(fù)習(xí)《第十一章概率與統(tǒng)計分步計數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.

要點：（1）分步；（2）每步缺一不可，依次完成；（3）N=m1×m2×…×mn（各步方法之積）分步計數(shù)原理（乘法原理）：要點：總結(jié)出兩個原理的聯(lián)系、區(qū)別：分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理聯(lián)系區(qū)別1區(qū)別2完成一件事，共有n類辦法，關(guān)鍵詞“分類”完成一件事，共分n個步驟，關(guān)鍵詞“分步”每類辦法相互獨立，每類方法都能獨立地完成這件事情各步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成才算完成這件事都是研究完成一件事的不同方法的種數(shù)的問題總結(jié)出兩個原理的聯(lián)系、區(qū)別：分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理聯(lián)系完成二、排列的概念：

從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.

說明：（1）排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列；（2）兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同；（3）當(dāng)m=n時，稱為n個元素的全排列.二、排列的概念：從n個不同元素中，任取m(排列數(shù)的定義：

從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)叫做從n個元素中取出m元素的排列數(shù).用符號表示:區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：

“一個排列”是指：從n個不同元素中，任取m個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；

“排列數(shù)”是指從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)，所以符號只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列.排列數(shù)的定義：從n個不同元素中，任取m(m≤排列數(shù)公式

從n個元素a1,a2,a3,…,an中任取m個元素填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列，反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)．由分步計數(shù)原理完成上述填空共有種填法.排列數(shù)公式從n個元素a1,a2,a3,…,an中任說明：

（1）公式特征：第一個因數(shù)是n，后面每一個因數(shù)比它前面一個少1，最后一個因數(shù)是n-m+1，共有m個因數(shù)；（2）全排列：當(dāng)m=n時,即n個不同元素全部取出的一個排列.全排列數(shù)：說明：（1）公式特征：第一個因數(shù)是n，后面每一排列數(shù)公式階乘表示：排列數(shù)公式階乘表示：

一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.

說明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——無序性；⑶相同組合：元素相同三、組合的概念：一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n)個元素并組合數(shù)的概念：

從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)．用符號表示:組合數(shù)的概念：從n個不同元素中取出m(m≤n)組合數(shù)公式:

一般地，求從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)可以分如下兩步：①先求從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)；②求每一個組合中m個元素全排列數(shù)，根據(jù)分步計數(shù)原理得：組合數(shù)公式:一般地，求從n個不同元素中取出m個組合數(shù)性質(zhì)1：組合數(shù)性質(zhì)2：組合數(shù)性質(zhì)1：組合數(shù)性質(zhì)2：排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：名稱排列組合定義符號公式關(guān)系性質(zhì)

，從n個不同元素中取出m個元素，按一定的順序排成一列從n個不同元素中取出m個元素，把它并成一組全排列：n個不同元素全部取出的一個排列.全排列數(shù)公式：所有全排列的個數(shù)，即：排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：名稱排列組合定（a+b）n=將(a+b)n展開五、二項式定理：（a+b）n=將(a+b)n展開五、二項式定理：計算(a+b)n展開式的二項式系數(shù)并填入下表n(a+b)n展開式的二項式系數(shù)12345616152015611510105114641133112111對稱性計算(a+b)n展開式的二項式系數(shù)并填入下表n(a+b)(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61）請看系數(shù)有沒有明顯的規(guī)律？2）上下兩行有什么關(guān)系嗎？

3）根據(jù)這兩條規(guī)律，大家能寫出下面的系數(shù)嗎?(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5

早在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》二項式系數(shù)表.在書中說明了表里“一”以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和；指出這個方法出于《釋鎖》算書，且我國北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元11世紀(jì)）已經(jīng)用過它.這表明我國發(fā)現(xiàn)這個表不晚于11世紀(jì)；在歐洲，這個表被認(rèn)為是法國數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623-1662）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個表叫做帕斯卡三角.這就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右.早在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解《九章算術(shù)》楊輝《詳解九章算法》中記載的表本積平方立方三乘四乘五乘商實《九章算術(shù)》楊輝《詳解九章算法》中記載的表本積平方立方三乘四通項公式叫做二項式系數(shù)二項式定理：通項公式叫做二項式系數(shù)二項式定理：1.系數(shù)規(guī)律：2.指數(shù)規(guī)律：①各項的次數(shù)均為n；②其中每一項中a的次數(shù)由n降到0,b次數(shù)由0升到n.3.項數(shù)規(guī)律：二項和的n次冪的展開式共有n+1個項.二項式定理的特點4.注意區(qū)別二項式系數(shù)與項的系數(shù)的概念項的系數(shù)為：二項式系數(shù)與數(shù)字系數(shù)的積,即字母的系數(shù).二項式系數(shù)為1.系數(shù)規(guī)律：2.指數(shù)規(guī)律：①各項的次數(shù)均為n；3.項數(shù)規(guī)律特別地:2、令a=1，b=x1、把b用-b代替(a-b)n=Cnan-Cnan-1b+…+(-1)mCnan-mbm

+…+(-1)nCnbn01mn3、令a=1，b=1特別地:2、令a=1，b=x1、把b用-b代替(a-b證明在(a+b)n展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和。在二項式定理中，令，則：

賦值法證明：證明在(a+b)n展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和)：

歸納提高

求二項展開式系數(shù)和，常常得用賦值法，設(shè)二項式中的字母為1或-1，得到一個或幾個等式，再根據(jù)結(jié)果求值賦值法(奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和)：歸納提高相關(guān)練習(xí)題相關(guān)練習(xí)題若(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7

求a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值

求a0+a2+a4+a6的值

求a1+a3+a5+a7的值練習(xí)1、若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7

求a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值練習(xí)2、若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7

求a0+a2+a4+a6的值若(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4注：1）注意對二項式定理的靈活應(yīng)用2）注意區(qū)別二項式系數(shù)與項的系數(shù)的概念二項式系數(shù)為；項的系數(shù)為：二項式系數(shù)與數(shù)字系數(shù)的積解:注：1）注意對二項式定理的靈活應(yīng)用2）注意區(qū)別二項式系數(shù)與項解:第三項的二項式系數(shù)為第六項的系數(shù)為解:第三項的二項式系數(shù)為第六項的系數(shù)為解:第四項系數(shù)為280解:第四項系數(shù)為280解：設(shè)展開式中的第r+1項為常數(shù)項，則：由題意可知，故存在常數(shù)項且為第7項，常數(shù)項常數(shù)項即項.例4(1)：試判斷在的展開式中有無常數(shù)項？如果有，求出此常數(shù)項；如果沒有，說明理由.解：設(shè)展開式中的第r+1項為常數(shù)項，則：由題意可知，故存在常解：的展開式的通項公式為：點評：求常數(shù)項、有理項等特殊項問題一般由通項公式入手分析，綜合性強(qiáng)，考點多且對思維的嚴(yán)密性要求也高.有理項即整數(shù)次冪項(2)：由展開式所得的x的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的共有多少項？解：的展開式的通項練習(xí)：1、求的展開式常數(shù)項解:練習(xí)：1、求的展開式2、求的展開式的中間項

解:展開式共有10項,中間兩項是第5、6項單三步2、求的展開式思考、1、化簡：②①二項式定理的逆用2、若則p被4除所得余數(shù)為…()A思考、1、化簡：②①二項式定理的逆用2、若二項式系數(shù)的性質(zhì)：增減性與最大值

1)先增后減.2)n是偶數(shù)時，中間的一項（第項）的二項式系數(shù)取得最大值；

當(dāng)n是奇數(shù)時，中間的兩項（第項）的二項式系數(shù)和相等，且同時取得最大值