名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟2023年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若實(shí)數(shù)滿足不等式組，則的最大值為（）A．8 B．10 C．7 D．92．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A．1 B．-1 C．2 D．-23．若、、，且，則下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．4．劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家，他采用了以直代曲、無(wú)限趨近、內(nèi)夾外逼的思想，創(chuàng)立了割圓術(shù)，即從半徑為1尺的圓內(nèi)接正六邊形開始計(jì)算面積，如圖是一個(gè)圓內(nèi)接正六邊形，若向圓內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．5．“”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也必要條件6．命題“，使得”的否定形式是（）A．，使得 B．，使得C．，使得 D．，使得7．在區(qū)間[-1,4]內(nèi)取一個(gè)數(shù)x,則≥的概率是（）A． B． C． D．8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，、分別是雙曲線左、右兩支上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且直線的斜率為.、分別為、的中點(diǎn)，若原點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．函數(shù)的最小正周期是（）A． B． C． D．10．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知函數(shù)f（x）＝（mx﹣1）ex﹣x2，若不等式f（x）＜0的解集中恰有兩個(gè)不同的正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（）A． B．C． D．12．三位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則女同學(xué)甲站在女同學(xué)乙的前面的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，以長(zhǎng)方體的頂?shù)诪樽鴺?biāo)原點(diǎn)，過(guò)的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為________14．已知直線與橢圓相切于第一象限的點(diǎn)，且直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，當(dāng)(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積最小時(shí)，(、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn))，若此時(shí)在中，的平分線的長(zhǎng)度為，則實(shí)數(shù)的值是__________．15．將一個(gè)總體分為A、B、C三層，其個(gè)體數(shù)之比為5：3：2，若用分層抽樣方法抽取容量為100的樣本，則應(yīng)從C中抽取_________個(gè)個(gè)體．16．已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），，求一個(gè)以為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程．18．（12分）已知在的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．求n的值；求展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和；求展開式中所有的有理項(xiàng)．19．（12分）某羽絨服賣場(chǎng)為了解氣溫對(duì)營(yíng)業(yè)額的影響，隨機(jī)記錄了該店3月份上旬中某5天的日營(yíng)業(yè)額y(單元：千元)與該地當(dāng)日最低氣溫x(單位：°C)的數(shù)據(jù)，如表：x258911y1210887(1)求y關(guān)于x的回歸直線方程；(2)設(shè)該地3月份的日最低氣溫，其中μ近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，求參考公式：，計(jì)算參考值：..20．（12分）市某機(jī)構(gòu)為了調(diào)查該市市民對(duì)我國(guó)申辦年足球世界杯的態(tài)度，隨機(jī)選取了位市民進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：支持不支持合計(jì)男性市民女性市民合計(jì)（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，把表格數(shù)據(jù)填寫完整；（2）利用（1）完成的表格數(shù)據(jù)回答下列問(wèn)題：（i）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為支持申辦足球世界杯與性別有關(guān)；（ii）已知在被調(diào)查的支持申辦足球世界杯的男性市民中有位退休老人，其中位是教師，現(xiàn)從這位退休老人中隨機(jī)抽取人，求至多有位老師的概率.附：，其中.21．（12分）某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明理由；（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)和不超過(guò)的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過(guò)不超過(guò)第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：，22．（10分）如圖，直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)約束條件，作出可行域，將目標(biāo)函數(shù)化為，結(jié)合圖像，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示，目標(biāo)函數(shù)可化為，結(jié)合圖像可得，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最大值，由解得.此時(shí).選D?！军c(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，通常需要作出可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合圖像求解，屬于?？碱}型.2、B【解析】

根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期為4，而由x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2x-m及f（x）是奇函數(shù)，即可得出f（0）=1-m=0，從而求得m=1，這樣便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．【詳解】∵是定義在R上的奇函數(shù)，且；∴；∴；∴的周期為4；∵時(shí)，；∴由奇函數(shù)性質(zhì)可得；∴；∴時(shí)，；∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期性求值，此類問(wèn)題一般根據(jù)條件先推導(dǎo)出周期，利用函數(shù)的周期變換來(lái)求解，考查理解能力和計(jì)算能力，屬于中等題.3、D【解析】

對(duì)，利用分析法證明；對(duì)，不式等兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，不等式的方向不變，乘以0再根據(jù)不等式是否取等進(jìn)行考慮；對(duì)，考慮的情況；對(duì)，利用同向不等式的可乘性.【詳解】對(duì)，，因?yàn)榇笮o(wú)法確定，故不一定成立；對(duì)，當(dāng)時(shí)，才能成立，故也不一定成立；對(duì)，當(dāng)時(shí)不成立，故也不一定成立；對(duì)，，故一定成立.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)的運(yùn)用，考查不等式在特殊情況下能否成立的問(wèn)題，考查思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.4、D【解析】

由面積公式分別計(jì)算出正六邊形與圓的面積，由幾何概型的概率計(jì)算公式即可得到答案【詳解】由圖可知：，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型，屬于基礎(chǔ)題。5、A【解析】

利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得a的取值范圍，再利用簡(jiǎn)易邏輯的判定方法即可得出．【詳解】函數(shù)f（x）=x2﹣2ax﹣2=（x﹣a）2﹣a2﹣2在區(qū)間（﹣∞，2]內(nèi)單調(diào)遞減，∴2≤a．∴“a＞3”是“函數(shù)f（x）=x2﹣2ax﹣2在區(qū)間（﹣∞，2]內(nèi)單調(diào)遞減”的充分非必要條件．故選：A．【點(diǎn)睛】充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價(jià)法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．6、D【解析】試題分析：的否定是，的否定是，的否定是．故選D．【考點(diǎn)】全稱命題與特稱命題的否定．【方法點(diǎn)睛】全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．對(duì)含有存在（全稱）量詞的命題進(jìn)行否定需要兩步操作：①將存在（全稱）量詞改成全稱（存在）量詞；②將結(jié)論加以否定．7、D【解析】

先解不等式，確定解集的范圍，然后根據(jù)幾何概型中的長(zhǎng)度模型計(jì)算概率.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所?【點(diǎn)睛】幾何概型中長(zhǎng)度模型（區(qū)間長(zhǎng)度）的概率計(jì)算：.8、C【解析】

根據(jù)、分別為、的中點(diǎn)，故OM平行于,ON平行于，再由向量點(diǎn)積為0得到四邊形是矩形，通過(guò)幾何關(guān)系得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入雙曲線得到齊次式，求解離心率.【詳解】因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，故OM平行于,ON平行于，因?yàn)樵c(diǎn)在以線段為直徑的圓上，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)得到OM垂直于ON，故得到垂直于，由AB兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得到，四邊形對(duì)角線互相平分，所以四邊形是矩形，設(shè)角,根據(jù)條件得到，將點(diǎn)A代入雙曲線方程得到：解得故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，對(duì)于雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).9、D【解析】

根據(jù)正切型函數(shù)的周期公式可求出函數(shù)的最小正周期.【詳解】由題意可知，函數(shù)的最小正周期，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查正切型函數(shù)周期的求解，解題的關(guān)鍵在于利用周期公式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線的斜率，列出a的方程即可求解【詳解】因?yàn)?，且在點(diǎn)處的切線的斜率為3，所以，即.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題11、C【解析】

令，化簡(jiǎn)得，構(gòu)造函數(shù)，畫出兩個(gè)函數(shù)圖像，結(jié)合兩個(gè)函數(shù)圖像以及不等式解的情況列不等式組，解不等式組求得的的取值范圍.【詳解】有兩個(gè)正整數(shù)解即有兩個(gè)不同的正整數(shù)解，令，，故函數(shù)在區(qū)間和上遞減，在上遞增，畫出圖像如下圖所示，要使恰有兩個(gè)不同的正整數(shù)解等價(jià)于解得故，選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查不等式解集問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.12、A【解析】

三男兩女的全排列中女同學(xué)甲要么站在女同學(xué)乙的前面要么站在女同學(xué)的后面．【詳解】三男兩女的全排列中女同學(xué)甲要么站在女同學(xué)乙的前面要么站在女同學(xué)的后面．即概率都為【點(diǎn)睛】本題考查排位概率，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)的坐標(biāo)，求的坐標(biāo)，確定長(zhǎng)方體的各邊長(zhǎng)度，再求的坐標(biāo).【詳解】點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，，，故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查向量坐標(biāo)的求法，意在考查基本概念和基礎(chǔ)知識(shí)，屬于簡(jiǎn)單題型.14、【解析】分析：求出切線方程，可得三角形面積，利用基本不等式求出最小值時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義，由三角形面積公式可得，，根據(jù)與橢圓的定義即可的結(jié)果.詳解：由題意，切線方程為，直線與軸分別相交于點(diǎn)，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積最小，設(shè)，由余弦定理可得，，‘，，的內(nèi)角平分線長(zhǎng)度為，，，，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查橢圓的切線方程、橢圓的定義、橢圓幾何性質(zhì)以及利用基本不等式求最值、三角形面積公式定義域、余弦定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生綜合利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，屬于難題.在解答與橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)有關(guān)的三角形問(wèn)題時(shí)，往往綜合利用橢圓的定義與余弦定理解答.15、1．【解析】解：∵A、B、C三層，個(gè)體數(shù)之比為5：3：2．又有總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，∴分層抽樣應(yīng)從C中抽取100×=1．故答案為1．16、【解析】

連接,設(shè),利用橢圓性質(zhì),得到長(zhǎng)度,分別在△和中利用余弦定理,得到c的長(zhǎng)度，根據(jù)離心率的定義計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)，則，，由，得，，在△中，，又在中，，得故離心率【點(diǎn)睛】本題考察了離心率的計(jì)算,涉及到橢圓的性質(zhì),正余弦定理,綜合性強(qiáng),屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、【解析】

先由求出復(fù)數(shù)，再由求出復(fù)數(shù)，計(jì)算出其復(fù)數(shù)，可得出以復(fù)數(shù)為根的實(shí)系數(shù)方程為，化簡(jiǎn)后可得出結(jié)果.【詳解】由，得，，.，，因此，以復(fù)數(shù)為一個(gè)根的實(shí)系數(shù)方程為，即，即.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算，考查實(shí)系數(shù)方程與虛根之間的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.18、（I）；（II）；（III）有理項(xiàng)分別為，；.【解析】

在二項(xiàng)展開式的第六項(xiàng)的通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)等于0，求出的值；在二項(xiàng)展開式中，令，可得展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和；二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令為整數(shù)，可求出的值，即可求得展開式中所有的有理項(xiàng)．【詳解】在的展開式中，第6項(xiàng)為

為常數(shù)項(xiàng)，，．在的展開式中，令，可得展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和為．二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令為整數(shù)，可得，5，8，故有理項(xiàng)分別為，；．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.二項(xiàng)展開式定理的問(wèn)題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.19、（1）；（2）【解析】

（1）由題，計(jì)算，，進(jìn)而求出線性回歸方程。（2）由題可得，計(jì)算的值，從而得出【詳解】(1)由題意可得，，，∴y關(guān)于x的回歸直線方程(2)由題意，平均數(shù)為，方差為，，，【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程與概率問(wèn)題，屬于簡(jiǎn)單題。20、（1）見解析；（2）（i）能，（ii）.【解析】

（1）根據(jù)2×2列聯(lián)表性質(zhì)填即可；

（2）求出，與臨界值比較，即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)排列組合的性質(zhì)，隨機(jī)抽取3人，即可求出至多有1位老師的概率．【詳解】（1）支持不支持合計(jì)男性市民女性市民合計(jì)（2）（i）因?yàn)榈挠^測(cè)值，所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為支持申辦足球世界杯與性別有關(guān).（ii）記人分別為，，，，，其中，表示教師，從人中任意取人的情況有種，其中至多有位教師的情況有種，故所求的概率.【點(diǎn)睛】本題主要考查概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)，獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)的運(yùn)用，考查概率的計(jì)算，屬于中檔題21、（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由見解析（2）80（3）能【解析】

分析：（1）計(jì)算兩種生產(chǎn)方式的平均時(shí)間即可．（2）計(jì)算出中位數(shù)，再由莖葉圖數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表．（3）由公式計(jì)算出，再與6.635比較可得結(jié)果．詳解：（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由如下：（i）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.（ii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.（iii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘；