極限與連續(xù)習題課課件

第二章極限與連續(xù)習題課第二章極限與連續(xù)習題課幾何解釋:一、數(shù)列極限

1．數(shù)列極限的定義

幾何解釋:一、數(shù)列極限1．數(shù)列極限的定義2．數(shù)列極限的運算法則

3．數(shù)列極限的主要性質(zhì)

2．數(shù)列極限的運算法則3．數(shù)列極限的主要性質(zhì)4．數(shù)列極限的存在準則

4．數(shù)列極限的存在準則二、函數(shù)的極限

1．函數(shù)極限的定義

2．函數(shù)的左右極限

左極限:右極限:二、函數(shù)的極限1．函數(shù)極限的定義2．函數(shù)的左右極限左極3．函數(shù)極限收斂的充要條件

4．函數(shù)極限的運算法則

3．函數(shù)極限收斂的充要條件4．函數(shù)極限的運算法則5．函數(shù)極限的主要性質(zhì)

則（4）夾逼準則：若

)(3（>0或<0）,則在局部保號性：若內(nèi)有5．函數(shù)極限的主要性質(zhì)則（4）夾逼準則：若)(3（>0三、無窮小與無窮大

1．無窮小的基本概念

（1）無窮小的定義（2）無窮小階的比較三、無窮小與無窮大1．無窮小的基本概念（1）無窮小的定義2．無窮小的主要性質(zhì)

四、兩個重要極限

1.2.則或五、解題方法及典型例題

2．無窮小的主要性質(zhì)四、兩個重要極限1.2.則或五、解題數(shù)列極限解題方法流程圖

求可找到數(shù)列和滿足應用夾逼準則驗證單調(diào)有界應用單調(diào)有界準則恒等變形應用極限的四則運算法則求極限

判別的形式

為分式數(shù)列極限解題求可找到數(shù)列和應用夾逼準則驗應用等價無窮小代換應用極限的四則運算法則求極限

恒等變形

求判別的形式

為無窮小,且

為未定式

或

為復合函數(shù)

應用連續(xù)函數(shù)的極限運算準則

應用重要極限函數(shù)極限解題方法流程圖

應用等價無窮小代換應用極限的四則恒等變形求判別一、函數(shù)連續(xù)的基本概念

1．函數(shù)連續(xù)的定義

（1）

在點連續(xù):

（2）

在點左連續(xù):2.在連續(xù)的充要條件:右連續(xù):

（3）

在區(qū)間上連續(xù)：在

每一點都連續(xù)，叫做在

連續(xù)；如果同時在

右連續(xù)，在

左連續(xù),則叫做在連續(xù).Ⅱ函數(shù)的連續(xù)性

一、函數(shù)連續(xù)的基本概念1．函數(shù)連續(xù)的定義（1）在3．函數(shù)連續(xù)與極限的關(guān)系

4．間斷點的分類

間斷點第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點：跳躍間斷點：無窮間斷點：振蕩間斷點：（左右極限都存在）（左右極限至少有一個不存在）左右極限至少有一個是3．函數(shù)連續(xù)與極限的關(guān)系4．間斷點的分類間斷點第一類間斷二、連續(xù)函數(shù)的運算法則

1．若都連續(xù);

則也連續(xù).

2．若都連續(xù);

則也連續(xù).

3．若都連續(xù);

則也連續(xù)(時).

4．復合性質(zhì)：若在點連續(xù);在連續(xù),則

在

連續(xù).

二、連續(xù)函數(shù)的運算法則1．若三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)極限典型例題【例1】計算分析經(jīng)過計算可得分子分母的極限都為零，說明分子分母都有致零因子，可以將分子分母的致零因子約去，再求極限。解：函數(shù)極限典型例題【例1】計算分析經(jīng)過計算可得分子分母分析對形如的極限，分子、分母可同除以中x的最高次，再利用可求得最終結(jié)果?！纠?】計算解：分析對形如的極限，分子、分母

解：如果改為：結(jié)果如何？思考【例3】計算分析由于函數(shù)中含有根式，可利用分子有理化變形，可變成的形式。解：如果改為：結(jié)果如何？思考【例3】計算分析由于解法2：解法1:因為，所以是時的無窮小，而為有界函數(shù)，由有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小，知【例4】計算解法2：解法1:因為，所以注意：下面的計算是錯誤的。因為所以因為，故并不存在，所以不能應用極限四則運算法則。注意：下面的計算是錯誤的。因為所以因為，故解：【例5】計算分析本題含，當與(－0)時，有不同的結(jié)果，需要用左右極限求之。解：【例5】計算分析本題含，當解：【例6】計算而由夾逼準則得分析本題是求n項和的數(shù)列極限問題，從通項的形式上看，可通過適當放縮以后，利用夾逼準則來計算。解：【例6】計算而由夾逼準則得分析本題是求n項和的【例7】設

（1）證明存在（2）計算解：(1)由于所以又有下界即在時單調(diào)下降進而證明了數(shù)列的有界性。由單調(diào)有界數(shù)列必有極限知【例7】設（1）證明存在（2）計算解：(1)由

解：(2)設則有（因，故舍去負值）注：應用單調(diào)有界數(shù)列必有極限準則證明數(shù)列極限存在，需分別證明數(shù)列的單調(diào)性和有界性。至于先證單調(diào)性還是有界性要根據(jù)具體問題具體分析。所以解：(2)設則有（因，故舍去負值）注

解：【例8】

計算型未定式的極限,分析這是解決方法是利用重要極限。解：【例8】計算型未定式的極限,分析這是

分析分子分母均趨于0，不能運用運算法則，適當作恒等變形，再利用等價無窮小代換。解：【例9】

計算分析分子分母均趨于0，不能運用運算法則，適當作恒等變

解：分子有理化極限非零部分可先提出【例10】

計算分析由于函數(shù)中分子分母都含有根式，可利用分子分母有理化變形，可求出極限。

解：分子有理化極限非零部分可先提出【例10】計算分【例11】設即所求

解：由于，極限存在故必有，于是有，即將代回原極限式有【例11】設即所求解：由于函數(shù)連續(xù)與間斷典型例題

分析求函數(shù)連續(xù)點處的極限，則只需直接計算函數(shù)值。

解：【例1】求下列極限：(1)

(2)函數(shù)連續(xù)與間斷典型例題分析求函數(shù)連續(xù)點處的極限分析

只須滿足即可.

又，故當時,在處連續(xù).【例2】設

,試確定常數(shù),使得在連續(xù)。解:要使在連續(xù)，

只需分析只須滿足【例3】設要使在內(nèi)連續(xù)，試確定的值。分析在和內(nèi)均連續(xù)，因此只需討論在分界點處的連續(xù)性。解：因為已知在內(nèi)連續(xù)，所以在處連續(xù)，則有所以【例3】設【例4】求函數(shù)的間斷點，并指出間斷點的類型。

解：由函數(shù)的表達式可知，間斷點只能在無定義處。因為所以為間斷點。而所以為第二類無窮間斷點。

所以為第一類可去間斷點?！纠?】求函數(shù)的【例5】設

求的間斷點,并說明間斷點所屬類型。解:由的表達式,間斷點只能在無定義的點或分界點處所以是第二類無窮間斷點.當時,所以是第一類跳躍間斷點.當時，【例5】設求的間斷點,并說明間斷點所屬類證明:令【例6】證明方程在區(qū)間

內(nèi)至少有一個根.則在上連續(xù),又由零點定理，至少

,使得即分析如果令，那么證明方程有根等價于有零點，因此可用零點定理證明。所以方程在區(qū)間

內(nèi)至少有一個根.證明:令【例6】證明方程證明:令

【例7】設在

上連續(xù),且證明在內(nèi)至少存在一點

,使.顯然在上連續(xù),已知故則當時,可取或.而當時,由零點定理，至少,使得分析如果令，那么證明等式成立等價于有零點，因此可用零點定理證明。即.證明:令【例7】設在上分析初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都是連續(xù)區(qū)間，所以只要弄清了間斷點，也就清楚了連續(xù)區(qū)間.解：函數(shù)為初等函數(shù)，【例8】求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，若有間斷點，指出間斷點的類型.為其間斷點。因為所以為第二類無窮間斷點.所以連續(xù)區(qū)間為和分析初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都是連續(xù)區(qū)間，所以只要弄清分析所給函數(shù)是極限的形式，首先應