【解析】2023年湖南省中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編：一次函數(shù)、二次函數(shù)

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2023年湖南省中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編：一次函數(shù)、二次函數(shù)

一、選擇題

1．（2023·長(zhǎng)沙）下列一次函數(shù)中，y隨x的增大而減小的函數(shù)是（）

A．B．C．D．

2．（2023·邵陽(yáng)）已知是拋物線（a是常數(shù)，上的點(diǎn)，現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論：①該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線；②點(diǎn)在拋物線上；③若，則；④若，則其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

3．（2023·株洲）如圖所示，直線l為二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)軸，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．b恒大于0B．a(chǎn)，b同號(hào)

C．a(chǎn)，b異號(hào)D．以上說(shuō)法都不對(duì)

4．（2023·衡陽(yáng)）已知，若關(guān)于x的方程的解為．關(guān)于x的方程的解為．則下列結(jié)論正確的是（）

A．B．

C．D．

二、填空題

5．（2023·郴州）在一次函數(shù)中，隨的增大而增大，則的值可以是（任寫(xiě)一個(gè)符合條件的數(shù)即可）．

6．（2023·郴州）拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則．

三、綜合題

7．（2023·常德）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求四邊形的面積；

（3）P是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

8．（2023·株洲）某花店每天購(gòu)進(jìn)支某種花，然后出售．如果當(dāng)天售不完，那么剩下的這種花進(jìn)行作廢處理、該花店記錄了天該種花的日需求量n（n為正整數(shù)，單位：支），統(tǒng)計(jì)如下表：

日需求量n

天數(shù)112411

（1）求該花店在這天中出現(xiàn)該種花作廢處理情形的天數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)，日利潤(rùn)y（單位：元）關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式為：；當(dāng)時(shí)，日利潤(rùn)為元．

①當(dāng)時(shí)，間該花店這天的利潤(rùn)為多少元？

②求該花店這天中日利潤(rùn)為元的日需求量的頻率．

9．（2023·張家界）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線段上的一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖1，求周長(zhǎng)的最小值；

（3）如圖2，過(guò)動(dòng)點(diǎn)D作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值．

10．（2023·郴州）已知拋物線與軸相交于點(diǎn)，，與軸相交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）如圖1，點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求的值；

（3）如圖2，取線段的中點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

11．（2023·邵陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，且與直線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

（1）求拋物線的解析式．

（2）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)．若，求面積的最大值．

（3）拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系上一點(diǎn)，若以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

12．（2023·株洲）已知二次函數(shù)．

（1）若，且該二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，求的值；

（2）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，該二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，且，點(diǎn)D在上且在第二象限內(nèi)，點(diǎn)在軸正半軸上，連接，且線段交軸正半軸于點(diǎn)，．

①求證：．

②當(dāng)點(diǎn)在線段上，且．的半徑長(zhǎng)為線段的長(zhǎng)度的倍，若，求的值．

13．（2023·岳陽(yáng)）已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

（1）請(qǐng)求出拋物線的表達(dá)式．

（2）如圖1，在軸上有一點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得四邊形為正方形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）如圖2，將拋物線向右平移2個(gè)單位，得到拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸正半軸交于點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

14．（2023·衡陽(yáng)）如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，連接，過(guò)B、C兩點(diǎn)作直線．

（1）求a的值．

（2）將直線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，交拋物線于、兩點(diǎn)．在直線上方的拋物線上是否存在定點(diǎn)D，無(wú)論m取何值時(shí)，都是點(diǎn)D到直線的距離最大，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使，若存在，請(qǐng)求出直線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

15．（2023·懷化）如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，作直線，連接、，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)直線交拋物線于點(diǎn)、，求證：無(wú)論為何值，平行于軸的直線上總存在一點(diǎn)，使得為直角．

答案解析部分

1．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：由題意得y隨x的增大而減小的函數(shù)是，

故答案為：D

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可求解。

2．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【解答】解：

①拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線，①正確；

②當(dāng)x=0時(shí)，y=3，

∴點(diǎn)在拋物線上，②正確；

③當(dāng)a＜0時(shí)，y1＜y2，

當(dāng)a＞0時(shí)，y1＞y2，③錯(cuò)誤；

④由題意得，

∴，④錯(cuò)誤；

故答案為：B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸公式即可判斷①；將x=0代入求出y即可判斷②；根據(jù)二次函數(shù)系數(shù)與開(kāi)口關(guān)系結(jié)合題意即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性即可判斷④。

3．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵直線l為二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)軸，

∴，

∴，

∴a，b異號(hào)，

故答案為：C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸結(jié)合圖像即可得到，進(jìn)而即可求解。

4．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與一元二次方程的綜合應(yīng)用

【解析】【解答】解：如圖所示：設(shè)直線y=m與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，直線y=n與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，

∵，關(guān)于x的方程的解為．關(guān)于x的方程的解為，

∴，

故答案為：B.

【分析】先作圖，再結(jié)合題意，比較大小即可。

5．【答案】3（答案不唯一）

【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：由題意得k-2＞0，

∴k＞2，

故答案為：3（答案不唯一）

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出k的取值范圍，進(jìn)而即可求解。

6．【答案】9

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題

【解析】【解答】解：∵拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

∴，

∴c=9，

故答案為：9

【分析】根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題結(jié)合題意即可求解。

7．【答案】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)．

∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為

∵，

∴，即的坐標(biāo)為

則，得

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；

（2）解：

∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為

過(guò)作于，作于，

四邊形的面積

；

（3）解：如圖，是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限，當(dāng)時(shí)，

連接，過(guò)作交于，過(guò)作于，

∵，則為等腰直角三角形，．

由勾股定理得：，

∵，

∴，

即，

∴

由，得，

∴．

∴是等腰直角三角形

∴

∴的坐標(biāo)為

所以過(guò)的直線的解析式為

令

解得，或

所以直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為

即所求的坐標(biāo)為

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題；勾股定理；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c與二次函數(shù)y=a（x-h）^2+k的轉(zhuǎn)化

【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)即可設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，進(jìn)而根據(jù)題意即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而代入即可求解；

（2）先將二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式，進(jìn)而得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)作于，作于，根據(jù)四邊形的面積即可求解；

（3）當(dāng)時(shí)，連接，過(guò)作交于，過(guò)作于，先根據(jù)勾股定理即可求出CB的長(zhǎng)，進(jìn)而運(yùn)用銳角三角形函數(shù)的定義即可求出CE的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)即可得到，進(jìn)而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而得到過(guò)的直線的解析式為，再聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析即可得到交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而即可求解。

8．【答案】（1）解：當(dāng)時(shí)，該種花需要進(jìn)行作廢處理，

則該種花作廢處理情形的天數(shù)共有：（天）；

（2）解：①當(dāng)時(shí)，日利潤(rùn)y關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式為，

當(dāng)時(shí)，（元）；

②當(dāng)時(shí)，日利潤(rùn)y關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式為；

當(dāng)時(shí)，日利潤(rùn)為元，，

當(dāng)時(shí)，

解得：，

由表可知的天數(shù)為2天，

則該花店這天中日利潤(rùn)為元的日需求量的頻率為2．

【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【分析】（1）根據(jù)表格的數(shù)據(jù)結(jié)合題意即可求解；

（2）①當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意即可得到日利潤(rùn)y關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而將代入即可求解；

②根據(jù)題意得到當(dāng)時(shí)，日利潤(rùn)為元，即將代入求出n，再查詢(xún)表格即可求解。

9．【答案】（1）解：由題意可知，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，

將代入上式得：，

所以?huà)佄锞€的表達(dá)式為；

（2）解：作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接，

∵，，，

∴，

∵O、E關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，

∴四邊形為正方形，

∴，

連接，交于點(diǎn)D，由對(duì)稱(chēng)性，

此時(shí)有最小值為的長(zhǎng)，

∵的周長(zhǎng)為，

，的最小值為10，

∴的周長(zhǎng)的最小值為；

（3）解：由已知點(diǎn)，，，

設(shè)直線的表達(dá)式為，

將，代入中，，解得，

∴直線的表達(dá)式為，

同理可得：直線的表達(dá)式為，

∵，

∴設(shè)直線表達(dá)式為，

由（1）設(shè)，代入直線的表達(dá)式

得：，

∴直線的表達(dá)式為：，

由，得，

∴，

∵P，D都在第一象限，

∴

，

∴當(dāng)時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)為.

．

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為，進(jìn)而代入即可求解；

（2）作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接，進(jìn)而根據(jù)題意得到OB=OC=6，進(jìn)而根據(jù)正方形的性質(zhì)得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，連接，交于點(diǎn)D，由對(duì)稱(chēng)性，此時(shí)有最小值為的長(zhǎng)，進(jìn)而跟進(jìn)勾股定理求出AE，再根據(jù)的周長(zhǎng)為結(jié)合題意即可求解；

（3）先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式，同理可得：直線的表達(dá)式為，再根據(jù)一次函數(shù)平行即可設(shè)直線表達(dá)式為，由（1）設(shè)，代入直線的表達(dá)式即可得到，進(jìn)而聯(lián)立解析式即可得到，再根據(jù)結(jié)合二次函數(shù)的最值即可求解。

10．【答案】（1）解：∵拋物線與軸相交于點(diǎn)，，

∴，解得：，

∴；

（2）解：∵，當(dāng)時(shí)，，

∴，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線

∵的周長(zhǎng)等于，為定長(zhǎng)，

∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的周長(zhǎng)最小，

∵關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，

∴，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為的長(zhǎng)，此時(shí)點(diǎn)為直線與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，

設(shè)直線的解析式為：，

則：，解得：，

∴，

當(dāng)時(shí)，，

∴，

∵，

∴，，

∴；

（3）解：存在，

∵為的中點(diǎn)，

∴，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∵，

∴，

①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)：

過(guò)點(diǎn)作，交拋物線與點(diǎn)，則：，此時(shí)點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，

設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，

則：，

解得：，

∴或；

②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)：設(shè)與軸交于點(diǎn)，

則：，

設(shè)，

則：，，

∴，解得：，

∴，

設(shè)的解析式為：，

則：，解得：，

∴，

聯(lián)立，解得：或，

∴或；

綜上：或或或．

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；

（2）先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到拋物線的對(duì)稱(chēng)軸和點(diǎn)C，進(jìn)而根據(jù)題意得到當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的周長(zhǎng)最小，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)即可得到，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為的長(zhǎng)，此時(shí)點(diǎn)為直線與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為：，運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，再運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合題意求出PA和PC即可；

（3）存在，先根結(jié)合已知條件得到，然后分類(lèi)討論：①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)：過(guò)點(diǎn)作，交拋物線與點(diǎn)，則：，此時(shí)點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，進(jìn)而根據(jù)題意即可求出Q的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)：設(shè)與軸交于點(diǎn)，則：，設(shè)，根據(jù)勾股定理即可求出p，進(jìn)而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，再運(yùn)用待定系數(shù)法求直線DE的解析式，進(jìn)而聯(lián)立直線和拋物線即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，最后總結(jié)即可。

11．【答案】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，

∴，

解得：，

∴拋物線解析式為：；

（2）解：∵拋物線與直線交于兩點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)）

聯(lián)立，

解得：或，

∴，

∴，

∵點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

則，，

∴，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，

∵，

∴當(dāng)取得最大值時(shí)，最大，

∴，

∴面積的最大值；

（3）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，

∴，當(dāng)時(shí)，，即，

∵，

∴，

，，

①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，

∴，

解得：，

∴，

∵的中點(diǎn)重合，

∴，

解得：，

∴，

②當(dāng)為邊時(shí)，

當(dāng)四邊形為菱形，

∴，

解得：或，

∴或，

∴或，

由的中點(diǎn)重合，

∴或，

解得：或，

∴或，

當(dāng)時(shí)；

如圖所示，即四邊形是菱形，

點(diǎn)的坐標(biāo)即為四邊形為菱形時(shí)，的坐標(biāo)，

∴點(diǎn)為或，

綜上所述，點(diǎn)為或或或或．

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；菱形的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)；直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式

【解析】【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)即可得到解析式；

（2）聯(lián)立拋物線和直線即可得到，進(jìn)而得到，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，然后即可表示MN的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積結(jié)合題意即可求解。

（3）先根據(jù)題意求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得到BC和BM2的長(zhǎng)，然后進(jìn)行分類(lèi)討論結(jié)合菱形的性質(zhì)即可求解。

12．【答案】（1）解：∵，

∴二次函數(shù)解析式為，

∵該二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，

∴

解得：；

（2）解：①∵，，

∴

∴

∴

∵

∴；

②∵該二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，且，

∴，，

∵．

∴，

∵的半徑長(zhǎng)為線段的長(zhǎng)度的倍

∴，

∵，

∴，

∴，

即①，

∵該二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，

∴是方程的兩個(gè)根，

∴，

∵，，

∴，

即②，

①代入②，即，

即，

整理得，

∴，

解得：（正值舍去）

∴，

∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，

∴，

∴．

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題；相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象與一元二次方程的綜合應(yīng)用

【解析】【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)即可得到解析式；

（2）①先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明，進(jìn)而結(jié)合題意即可求解；

②先根據(jù)二次函數(shù)與x的交點(diǎn)即可得到，，進(jìn)而得到，再根據(jù)題意結(jié)合（1）即可得到①，再根據(jù)一元二次方程根的關(guān)系結(jié)合題意即可得到，進(jìn)而得到②，①代入②整理化簡(jiǎn)即可得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸結(jié)合題意即可求解。

13．【答案】（1）解：∵拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，

∴把代入，得，

解得，

∴拋物線的解析式為：；

（2）解：假設(shè)存在這樣的正方形，如圖，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)F作軸于點(diǎn)I，

∴

∵四邊形是正方形，

∴

∴

∴

又

∴

∴

∵

∴

∴

∴；

同理可證明：

∴

∴

∴；

（3）解：∵

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線，

令則，

解得，

∴

∴將拋物線的圖象右平移2個(gè)單位后，則有：，對(duì)稱(chēng)軸為直線，即

∴點(diǎn)B在平移后的拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，

∴

∴

設(shè)直線的解析式為，

把代入得，

解得，

∴直線的解析式為，

當(dāng)時(shí)，

∴此時(shí)

∴

∴

又

∴，

∴

∴

所以，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則有．

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題

【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)計(jì)算求解即可；

（3）先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線，再求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后利用勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)計(jì)算求解即可。

14．【答案】（1）解：拋物線與x軸交于點(diǎn)，

得，

解得：；

（2）解：存在，理由如下：

設(shè)與軸交于點(diǎn)，由（1）中結(jié)論，得拋物線的解析式為，

當(dāng)時(shí)，，即，

，，即是等腰直角三角形，

，

，

，

設(shè)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，

，即是等腰直角三角形，

設(shè)直線的解析式為，代入，

得，解得，

故直線的解析式為，

將直線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得直線的解析式為，

，

，

當(dāng)時(shí)，有最大值，

此時(shí)也有最大值，；

（3）解：存在或，理由如下：

當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，

在軸上取點(diǎn)，作直線交拋物線于（異于點(diǎn)）點(diǎn)，

由（2）中結(jié)論，得，

，

，

，

，

設(shè)直線的解析式為，代入點(diǎn)，

得，解得，

故設(shè)直線的解析式為，

聯(lián)立，解得（舍），

故；

當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，如圖，在軸上取點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作拋物線于點(diǎn)，

，

，

，

，

，

設(shè)直線的解析式為，代入點(diǎn)，

得，解得，

故設(shè)直線的解析式為，

，且過(guò)點(diǎn)，

故設(shè)直線的解析式為，

聯(lián)立，解得，（舍），

故，

綜上所述：或

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-幾何問(wèn)題；二次函數(shù)的其他應(yīng)用

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意先求出，再求解即可；

（2）先求出是等腰直角三角形，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，最后計(jì)算求解即可；

（3）分類(lèi)討論，結(jié)合函數(shù)圖象，利用全等三角形的判定與性質(zhì)和待定系數(shù)法求解即可。

15．【答案】（1）解：將代入，得

，

解得：，

∴拋物線解析式為：，

∴對(duì)稱(chēng)軸為

∴當(dāng)時(shí)，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-9）；

（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

由，令，

解得：，

∴，

設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得，，

解得：，

∴直線的解析式為，

設(shè)，則，

∴

，

當(dāng)時(shí)，的最大值為

∵

∴當(dāng)取得最大值時(shí)，面積取得最大值

∴面積的最大值為，

此時(shí)，

∴

（3）解：設(shè)、，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

聯(lián)立，消去，整理得：，

∴，

∴，

∴，

∴，

設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，

∵、，

∴，

∴

∴，

∴

∴，

∴點(diǎn)總在上，為直徑，且與相切，

∴為直角．

∴無(wú)論為何值，平行于軸的直線上總存在一點(diǎn)，使得為直角．

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-幾何問(wèn)題

【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，再求點(diǎn)的坐標(biāo)即可；

（2）先求出，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，最后利用三角形的面積公式計(jì)算求解即可；

（3）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出，再求出，最后作答即可。

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2023年湖南省中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編：一次函數(shù)、二次函數(shù)

一、選擇題

1．（2023·長(zhǎng)沙）下列一次函數(shù)中，y隨x的增大而減小的函數(shù)是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：由題意得y隨x的增大而減小的函數(shù)是，

故答案為：D

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可求解。

2．（2023·邵陽(yáng)）已知是拋物線（a是常數(shù)，上的點(diǎn)，現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論：①該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線；②點(diǎn)在拋物線上；③若，則；④若，則其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【解答】解：

①拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線，①正確；

②當(dāng)x=0時(shí)，y=3，

∴點(diǎn)在拋物線上，②正確；

③當(dāng)a＜0時(shí)，y1＜y2，

當(dāng)a＞0時(shí)，y1＞y2，③錯(cuò)誤；

④由題意得，

∴，④錯(cuò)誤；

故答案為：B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸公式即可判斷①；將x=0代入求出y即可判斷②；根據(jù)二次函數(shù)系數(shù)與開(kāi)口關(guān)系結(jié)合題意即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性即可判斷④。

3．（2023·株洲）如圖所示，直線l為二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)軸，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．b恒大于0B．a(chǎn)，b同號(hào)

C．a(chǎn)，b異號(hào)D．以上說(shuō)法都不對(duì)

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵直線l為二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)軸，

∴，

∴，

∴a，b異號(hào)，

故答案為：C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸結(jié)合圖像即可得到，進(jìn)而即可求解。

4．（2023·衡陽(yáng)）已知，若關(guān)于x的方程的解為．關(guān)于x的方程的解為．則下列結(jié)論正確的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與一元二次方程的綜合應(yīng)用

【解析】【解答】解：如圖所示：設(shè)直線y=m與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，直線y=n與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，

∵，關(guān)于x的方程的解為．關(guān)于x的方程的解為，

∴，

故答案為：B.

【分析】先作圖，再結(jié)合題意，比較大小即可。

二、填空題

5．（2023·郴州）在一次函數(shù)中，隨的增大而增大，則的值可以是（任寫(xiě)一個(gè)符合條件的數(shù)即可）．

【答案】3（答案不唯一）

【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：由題意得k-2＞0，

∴k＞2，

故答案為：3（答案不唯一）

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出k的取值范圍，進(jìn)而即可求解。

6．（2023·郴州）拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則．

【答案】9

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題

【解析】【解答】解：∵拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

∴，

∴c=9，

故答案為：9

【分析】根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題結(jié)合題意即可求解。

三、綜合題

7．（2023·常德）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求四邊形的面積；

（3）P是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)．

∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為

∵，

∴，即的坐標(biāo)為

則，得

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；

（2）解：

∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為

過(guò)作于，作于，

四邊形的面積

；

（3）解：如圖，是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限，當(dāng)時(shí)，

連接，過(guò)作交于，過(guò)作于，

∵，則為等腰直角三角形，．

由勾股定理得：，

∵，

∴，

即，

∴

由，得，

∴．

∴是等腰直角三角形

∴

∴的坐標(biāo)為

所以過(guò)的直線的解析式為

令

解得，或

所以直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為

即所求的坐標(biāo)為

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題；勾股定理；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c與二次函數(shù)y=a（x-h）^2+k的轉(zhuǎn)化

【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)即可設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，進(jìn)而根據(jù)題意即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而代入即可求解；

（2）先將二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式，進(jìn)而得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)作于，作于，根據(jù)四邊形的面積即可求解；

（3）當(dāng)時(shí)，連接，過(guò)作交于，過(guò)作于，先根據(jù)勾股定理即可求出CB的長(zhǎng)，進(jìn)而運(yùn)用銳角三角形函數(shù)的定義即可求出CE的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)即可得到，進(jìn)而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而得到過(guò)的直線的解析式為，再聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析即可得到交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而即可求解。

8．（2023·株洲）某花店每天購(gòu)進(jìn)支某種花，然后出售．如果當(dāng)天售不完，那么剩下的這種花進(jìn)行作廢處理、該花店記錄了天該種花的日需求量n（n為正整數(shù)，單位：支），統(tǒng)計(jì)如下表：

日需求量n

天數(shù)112411

（1）求該花店在這天中出現(xiàn)該種花作廢處理情形的天數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)，日利潤(rùn)y（單位：元）關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式為：；當(dāng)時(shí)，日利潤(rùn)為元．

①當(dāng)時(shí)，間該花店這天的利潤(rùn)為多少元？

②求該花店這天中日利潤(rùn)為元的日需求量的頻率．

【答案】（1）解：當(dāng)時(shí)，該種花需要進(jìn)行作廢處理，

則該種花作廢處理情形的天數(shù)共有：（天）；

（2）解：①當(dāng)時(shí)，日利潤(rùn)y關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式為，

當(dāng)時(shí)，（元）；

②當(dāng)時(shí)，日利潤(rùn)y關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式為；

當(dāng)時(shí)，日利潤(rùn)為元，，

當(dāng)時(shí)，

解得：，

由表可知的天數(shù)為2天，

則該花店這天中日利潤(rùn)為元的日需求量的頻率為2．

【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【分析】（1）根據(jù)表格的數(shù)據(jù)結(jié)合題意即可求解；

（2）①當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意即可得到日利潤(rùn)y關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而將代入即可求解；

②根據(jù)題意得到當(dāng)時(shí)，日利潤(rùn)為元，即將代入求出n，再查詢(xún)表格即可求解。

9．（2023·張家界）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線段上的一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖1，求周長(zhǎng)的最小值；

（3）如圖2，過(guò)動(dòng)點(diǎn)D作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值．

【答案】（1）解：由題意可知，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，

將代入上式得：，

所以?huà)佄锞€的表達(dá)式為；

（2）解：作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接，

∵，，，

∴，

∵O、E關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，

∴四邊形為正方形，

∴，

連接，交于點(diǎn)D，由對(duì)稱(chēng)性，

此時(shí)有最小值為的長(zhǎng)，

∵的周長(zhǎng)為，

，的最小值為10，

∴的周長(zhǎng)的最小值為；

（3）解：由已知點(diǎn)，，，

設(shè)直線的表達(dá)式為，

將，代入中，，解得，

∴直線的表達(dá)式為，

同理可得：直線的表達(dá)式為，

∵，

∴設(shè)直線表達(dá)式為，

由（1）設(shè)，代入直線的表達(dá)式

得：，

∴直線的表達(dá)式為：，

由，得，

∴，

∵P，D都在第一象限，

∴

，

∴當(dāng)時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)為.

．

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為，進(jìn)而代入即可求解；

（2）作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接，進(jìn)而根據(jù)題意得到OB=OC=6，進(jìn)而根據(jù)正方形的性質(zhì)得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，連接，交于點(diǎn)D，由對(duì)稱(chēng)性，此時(shí)有最小值為的長(zhǎng)，進(jìn)而跟進(jìn)勾股定理求出AE，再根據(jù)的周長(zhǎng)為結(jié)合題意即可求解；

（3）先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式，同理可得：直線的表達(dá)式為，再根據(jù)一次函數(shù)平行即可設(shè)直線表達(dá)式為，由（1）設(shè)，代入直線的表達(dá)式即可得到，進(jìn)而聯(lián)立解析式即可得到，再根據(jù)結(jié)合二次函數(shù)的最值即可求解。

10．（2023·郴州）已知拋物線與軸相交于點(diǎn)，，與軸相交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）如圖1，點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求的值；

（3）如圖2，取線段的中點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）解：∵拋物線與軸相交于點(diǎn)，，

∴，解得：，

∴；

（2）解：∵，當(dāng)時(shí)，，

∴，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線

∵的周長(zhǎng)等于，為定長(zhǎng)，

∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的周長(zhǎng)最小，

∵關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，

∴，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為的長(zhǎng)，此時(shí)點(diǎn)為直線與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，

設(shè)直線的解析式為：，

則：，解得：，

∴，

當(dāng)時(shí)，，

∴，

∵，

∴，，

∴；

（3）解：存在，

∵為的中點(diǎn)，

∴，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∵，

∴，

①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)：

過(guò)點(diǎn)作，交拋物線與點(diǎn)，則：，此時(shí)點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，

設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，

則：，

解得：，

∴或；

②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)：設(shè)與軸交于點(diǎn)，

則：，

設(shè)，

則：，，

∴，解得：，

∴，

設(shè)的解析式為：，

則：，解得：，

∴，

聯(lián)立，解得：或，

∴或；

綜上：或或或．

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；

（2）先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到拋物線的對(duì)稱(chēng)軸和點(diǎn)C，進(jìn)而根據(jù)題意得到當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的周長(zhǎng)最小，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)即可得到，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為的長(zhǎng)，此時(shí)點(diǎn)為直線與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為：，運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，再運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合題意求出PA和PC即可；

（3）存在，先根結(jié)合已知條件得到，然后分類(lèi)討論：①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)：過(guò)點(diǎn)作，交拋物線與點(diǎn)，則：，此時(shí)點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，進(jìn)而根據(jù)題意即可求出Q的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)：設(shè)與軸交于點(diǎn)，則：，設(shè)，根據(jù)勾股定理即可求出p，進(jìn)而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，再運(yùn)用待定系數(shù)法求直線DE的解析式，進(jìn)而聯(lián)立直線和拋物線即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，最后總結(jié)即可。

11．（2023·邵陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，且與直線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

（1）求拋物線的解析式．

（2）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)．若，求面積的最大值．

（3）拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系上一點(diǎn)，若以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，

∴，

解得：，

∴拋物線解析式為：；

（2）解：∵拋物線與直線交于兩點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)）

聯(lián)立，

解得：或，

∴，

∴，

∵點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

則，，

∴，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，

∵，

∴當(dāng)取得最大值時(shí)，最大，

∴，

∴面積的最大值；

（3）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，

∴，當(dāng)時(shí)，，即，

∵，

∴，

，，

①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，

∴，

解得：，

∴，

∵的中點(diǎn)重合，

∴，

解得：，

∴，

②當(dāng)為邊時(shí)，

當(dāng)四邊形為菱形，

∴，

解得：或，

∴或，

∴或，

由的中點(diǎn)重合，

∴或，

解得：或，

∴或，

當(dāng)時(shí)；

如圖所示，即四邊形是菱形，

點(diǎn)的坐標(biāo)即為四邊形為菱形時(shí)，的坐標(biāo)，

∴點(diǎn)為或，

綜上所述，點(diǎn)為或或或或．

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；菱形的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)；直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式

【解析】【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)即可得到解析式；

（2）聯(lián)立拋物線和直線即可得到，進(jìn)而得到，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，然后即可表示MN的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積結(jié)合題意即可求解。

（3）先根據(jù)題意求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得到BC和BM2的長(zhǎng)，然后進(jìn)行分類(lèi)討論結(jié)合菱形的性質(zhì)即可求解。

12．（2023·株洲）已知二次函數(shù)．

（1）若，且該二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，求的值；

（2）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，該二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，且，點(diǎn)D在上且在第二象限內(nèi)，點(diǎn)在軸正半軸上，連接，且線段交軸正半軸于點(diǎn)，．

①求證：．

②當(dāng)點(diǎn)在線段上，且．的半徑長(zhǎng)為線段的長(zhǎng)度的倍，若，求的值．

【答案】（1）解：∵，

∴二次函數(shù)解析式為，

∵該二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，

∴

解得：；

（2）解：①∵，，

∴

∴

∴

∵

∴；

②∵該二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，且，

∴，，

∵．

∴，

∵的半徑長(zhǎng)為線段的長(zhǎng)度的倍

∴，

∵，

∴，

∴，

即①，

∵該二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，

∴是方程的兩個(gè)根，

∴，

∵，，

∴，

即②，

①代入②，即，

即，

整理得，

∴，

解得：（正值舍去）

∴，

∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，

∴，

∴．

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題；相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象與一元二次方程的綜合應(yīng)用

【解析】【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)即可得到解析式；

（2）①先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明，進(jìn)而結(jié)合題意即可求解；

②先根據(jù)二次函數(shù)與x的交點(diǎn)即可得到，，進(jìn)而得到，再根據(jù)題意結(jié)合（1）即可得到①，再根據(jù)一元二次方程根的關(guān)系結(jié)合題意即可得到，進(jìn)而得到②，①代入②整理化簡(jiǎn)即可得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸結(jié)合題意即可求解。

13．（2023·岳陽(yáng)）已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

（1）請(qǐng)求出拋物線的表達(dá)式．

（2）如圖1，在軸上有一點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得四邊形為正方形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）如圖2，將拋物線向右平移2個(gè)單位，得到拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸正半軸交于點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）解：∵拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，

∴把代入，得，

解得，

∴拋物線的解析式為：；

（2）解：假設(shè)存在這樣的正方形，如圖，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)F作軸于點(diǎn)I，

∴

∵四邊形是正方形，

∴

∴

∴

又

∴

∴

∵

∴

∴

∴；

同理可證明：

∴

∴

∴；

（3）解：∵

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線，

令則，

解得，

∴

∴將拋物線的圖象右平移2個(gè)單位后，則有：，對(duì)稱(chēng)軸為直線，即

∴點(diǎn)B在平移后的拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，

∴

∴

設(shè)直線的解析式為，

把代入得，

解得，

∴直線的解析式為，

當(dāng)時(shí)，

∴此時(shí)

∴

∴

又

∴，

∴

∴

所以，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則有．

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函