含有耦合電感的電路解讀課件

電路第十章6學(xué)時§10-1§10-2電路第十章6學(xué)時1第十章含有耦合電感的電路

內(nèi)容提要耦合電感在工程中有著廣泛的應(yīng)用?！饕榻B：耦合電感中的磁耦合現(xiàn)象、互感和耦合因數(shù)、耦合電感的同名端和耦合電感的磁通鏈方程、電壓電流關(guān)系；※介紹：含有耦合電感電路的分析計算及空心變壓器、理想變壓器的初步概念。第十章含有耦合電感的電路內(nèi)容提要210-1互感載流線圈間通過彼此磁場相互聯(lián)系的物理現(xiàn)象稱磁耦合?；ジ袌D10-1(a)兩個有耦合載流線圈(電感L1和L2)，其中電流i1和i2稱施感電流，線圈匝數(shù)分別為N1和N2。根據(jù)兩個線圈繞向、施感電流參考方向和兩線圈相對位置，按右螺旋法則確定施感電流產(chǎn)生磁通方向和彼此交鏈情況。線圈1電流i1產(chǎn)生磁通設(shè)為Φ11，方向如圖，穿越自身線圈時所產(chǎn)生磁通鏈設(shè)為Ψ11，稱自感磁通鏈；Ψ11中一部分或全部交鏈線圈2時產(chǎn)生磁通鏈設(shè)為Ψ21，稱互感磁通鏈。10-1互感載流線圈間通過彼此磁場相互聯(lián)系的物理現(xiàn)象稱3磁通鏈、自感和互感線圈2中電流i2也產(chǎn)生自感磁通鏈Ψ22和互感磁通鏈Ψ12(圖中未畫)，就是彼此耦合的情況。耦合線圈中的磁通鏈等于自感磁通鏈和互感磁通鏈兩部分代數(shù)和，如線圈1和2中磁通鏈分別為Ψ1和Ψ2，則有：

Ψ1=Ψ11±Ψ12

Ψ2=±Ψ21+Ψ22當(dāng)周圍空間是各向同性的線性磁介質(zhì)時，每一種磁通鏈都與產(chǎn)生它的施感電流成正比，即有自感磁通鏈：

Ψ11=L1i1，Ψ22=L2i210-1互感磁通鏈、自感和互感線圈2中電流i2也產(chǎn)生自感磁通鏈Ψ22和互4磁通鏈、自感和互感互感磁通鏈：

Ψ12=M12i2，Ψ21=M21i1式中M12和M21稱互感系數(shù)，簡稱互感。互感用符號M表示，單位為H，本書中M恒取正值?？勺C明，M12=M21，當(dāng)只有兩個線圈(電感)有耦合時，可略去M下標(biāo)，即可令M=M12=M21。10-1互感磁通鏈、自感和互感互感磁通鏈：10-1互感5互感及同名端標(biāo)記（1）兩個耦合線圈的磁通鏈可表示為：

Ψ1=L1i1±Mi2Ψ2=±Mi1+L2i2表明耦合線圈中磁通鏈與施感電流成線性關(guān)系，是各施感電流獨立產(chǎn)生磁通鏈疊加的結(jié)果。M前“±”號說明磁耦合中互感作用兩種可能性?！?”號表示互感磁通鏈與自感磁通鏈方向一致，稱互感的“增助”作用[圖10-1(a)]；“-”號則相反，表示互感的“削弱”作用。10-1互感互感及同名端標(biāo)記（1）兩個耦合線圈的磁通鏈可表示為：10-16互感及同名端標(biāo)記（2）為便于反映“增助”或“削弱”作用和簡化圖形表示，采用同名端標(biāo)記方法。對兩個有耦合線圈各取一個端子，并用相同的符號標(biāo)記，如小圓點或“*”號等，這一對端子稱“同名端”。當(dāng)一對施感電流i1和i2從同名端流進(jìn)(或流出)各自的線圈時，互感起增助作用。如圖10-1(a)中端子1、2或1’、2’為同名端，在圖中用小圓點標(biāo)出。如電流i1從端子1流進(jìn)，而電流i2從端子2流出，則互感將起削弱作用。兩個有耦合線圈同名端可根據(jù)其繞向和相對位置判別，也可通過實驗方法確定。10-1互感互感及同名端標(biāo)記（2）為便于反映“增助”或“削弱”作用和簡化7互感及同名端標(biāo)記（3）引入同名端概念，兩個耦合線圈可用帶有同名端標(biāo)記的電感(元件)L1和L2表示，圖10-1(b)，M表示互感。有：Ψ1=L1i1+Mi2

Ψ2=Mi1+L2i2式中含M的項之前取“+”號，表示“增助”。兩個有耦合的電感可以看作是一個具有4個端子的電路元件。當(dāng)有2個以上電感彼此間存在耦合時，同名端應(yīng)當(dāng)一對一對地加以標(biāo)記，每一對宜用不同符號。如每一電感都有電流時，則每一個電感中的磁通鏈將等于自感磁通鏈與所有互感磁通鏈的代數(shù)和。凡與自感磁通鏈同方向的互感磁通鏈(增助)，求和時該項前面取“+”號，反之(削弱)則取“-”號。10-1互感互感及同名端標(biāo)記（3）引入同名端概念，兩個耦合線圈可用帶有同8例10-1圖10-1(b)中，i1=10A，i2=5cos(10t)A，L1=2H，L2=3H，M=1H。求兩耦合線圈中的磁通鏈。解施感電流i1、i2都是從標(biāo)記同名端流進(jìn)線圈，互感起“增助”作用，各磁通鏈計算如下：

Ψ11=L1i1=20Wb

Ψ22=L2i2=15cos(10t)Wb

Ψ12=Mi2=5cos(10t)Wb

Ψ21=Mi1=10Wb最后得(按右螺旋法則指定磁通鏈參考方向)：

Ψ1=L1i1+Mi2=[20+5cos(10t)]Wb

Ψ2=Mi1+L2i2=[10+15cos(10t)]Wb10-1互感例10-1圖10-1(b)中，i1=10A，i2=5cos9兩耦合電感的電壓電流關(guān)系（1）如兩耦合電感L1和L2中有變動電流，磁通鏈隨電流而變動。設(shè)L1和L2的電壓和電流分別為u1、i1和u2、i2，都取關(guān)聯(lián)方向，互感為M，則有：表示兩耦合電感電壓電流關(guān)系。令自感電壓互感電壓

u12是變動電流i2在L1中產(chǎn)生的互感電壓，u21是變動電流i1在L2中產(chǎn)生的互感電壓。所以耦合電感的電壓是自感電壓和互感電壓疊加的結(jié)果。10-1互感兩耦合電感的電壓電流關(guān)系（1）如兩耦合電感L1和L2中有變動10兩耦合電感的電壓電流關(guān)系（2）互感電壓前“+”或“-”號正確選取是寫出耦合電感端電壓的關(guān)鍵，選取原則：如互感電壓“+”極性端子與產(chǎn)生它的電流流進(jìn)的端子為一對同名端，互感電壓前應(yīng)取“+”號，反之取“-”號。圖10-1(b)，u1(u12同)的“+”極性在L1的“1”端，電流i2從“2”端流進(jìn)L2，而這兩個端子是同名端，故有同理10-1互感兩耦合電感的電壓電流關(guān)系（2）互感電壓前“+”或“-”號正確11例10-2求例10-1中兩耦合電感的端電壓u1、u2。解

i1=10A，i2=5cos(10t)A，L1=2H，L2=3H，M=1H。按圖10-1(b)和式(10-1)，得：電壓u1中只含有互感電壓u12，電壓u2中只含有自感電壓u22，說明不變動的電流i1(直流)雖產(chǎn)生自感和互感磁通鏈，但不產(chǎn)生自感和互感電壓。當(dāng)施感電流為同頻正弦量時，在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，電壓、電流方程可用相量形式表示，以圖10-1(b)為例，有：如令ZM=jωM，ωM稱互感抗。10-1互感例10-2求例10-1中兩耦合電感的端電壓u1、u2。1012用CCVS表示互感電壓-1還可用CCVS表示互感電壓作用。圖10-1(b)耦合電感，用CCVS表示電路如圖10-2(相量形式)。工程上為定量描述兩個耦合線圈的耦合緊疏程度，把兩線圈互感磁通鏈與自感磁通鏈比值的幾何平均值定義為耦合因數(shù)，記為k

10-1互感用CCVS表示互感電壓-1還可用CCVS表示互感電壓作用。圖13用CCVS表示互感電壓-2由于Ψ11=L1i1，|Ψ12|=Mi2，Ψ22=L2i2，|Ψ21|=Mi1，代入上式后有

k的大小與兩個線圈結(jié)構(gòu)、相互位置以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)。改變或調(diào)整相互位置有可能改變耦合因數(shù)大??；當(dāng)L1和L2一定時，也就相應(yīng)地改變了互感M的大小。10-1互感用CCVS表示互感電壓-2由于Ψ11=L1i1，|Ψ12|=1410-2含有耦合電感電路的計算含有耦合電感電路(簡稱互感電路)正弦穩(wěn)態(tài)分析可采用相量法。應(yīng)注意耦合電感上電壓包含互感電壓，列KVL方程時，要正確使用同名端計入互感電壓；可引用CCVS表示互感電壓。耦合電感支路的電壓不僅與本支路電流有關(guān)，還與其他某些支路電流有關(guān)，列結(jié)點電壓方程時會遇到困難，要另行處理。圖10-3(a)耦合電感電路是一種串聯(lián)電路，由于互感起“削弱”作用，故稱反向串聯(lián)(另一種順向串聯(lián)，互感起“增助”作用)，圖示參考方向，KVL方程為：10-2含有耦合電感電路的計算含有耦合電感電路(簡稱互感15無互感等效電路根據(jù)上述方程可給出無互感等效電路，圖(b)所示等效電路為電阻R1、R2和電感L(=L1+L2-2M)的串聯(lián)電路。對正弦穩(wěn)態(tài)電路，可采用相量形式表示為：電流為10-2含有耦合電感電路的計算無互感等效電路根據(jù)上述方程可給出無互感等效電路，圖(b)所示16反向串聯(lián)和順向串聯(lián)電路的阻抗每一條耦合電感支路的阻抗和電路的輸入阻抗分別為：

Z1=R1+jω(L1-M)

Z2=R2+jω(L2-M)

Z=Z1+Z2=(R1+R2)+jω(L1+L2-2M)可見，反向串聯(lián)時，每一條耦合電感支路阻抗和輸入阻抗都比無互感時的阻抗小(電抗變小)，是由于互感削弱作用，類似于串聯(lián)電容作用，常稱為互感的“容性”效應(yīng)。每一耦合電感支路等效電感分別為(L1-M)和(L2-M)，有可能其中之一為負(fù)值，但不可能都為負(fù)，整個電路仍呈感性。對順向串聯(lián)電路，不難得出每一耦合電感支路阻抗為：

Z1=R1+jω(L1+M)

Z2=R2+jω(L2+M)

而

Z=Z1+Z2=(R1+R2)+jω(L1+L2+2M)10-2含有耦合電感電路的計算反向串聯(lián)和順向串聯(lián)電路的阻抗每一條耦合電感支路的阻抗和電路的17例10-3（1）圖10-3(a)電路，正弦電壓U=50V，R1=3Ω，ωL1=7.5Ω，R2=5Ω，ωL2=12.5Ω，ωM=8Ω。求該耦合電感的耦合因數(shù)k和該電路中各支路吸收的復(fù)功率和解

耦合因數(shù)k為求得支路電流和阻抗，能求得支路復(fù)功率。支路等效阻抗分別為：

Z1=R1+jω(L1-M)=(3-j0.5)Ω=

Z2=R2+jω(L2-M)=(5+j4.5)Ω=輸入阻抗Z：Z=Z1+Z2=(8+j4)Ω=10-2含有耦合電感電路的計算例10-3（1）圖10-3(a)電路，正弦電壓U=50V，18例10-3（2）令解得電流為各支路吸收復(fù)功率：電源發(fā)出復(fù)功率為10-2含有耦合電感電路的計算例10-3（2）令解得電流為1019耦合電感的并聯(lián)電路-1圖10-4(a)電路為耦合電感的一種并聯(lián)電路，同名端連在同一結(jié)點上，稱同側(cè)并聯(lián)電路。異名端連接在同一結(jié)點上時，稱異側(cè)并聯(lián)電路，圖10-4(b)。正弦穩(wěn)態(tài)情況下，對同側(cè)并聯(lián)電路有異側(cè)并聯(lián)電路類似得10-2含有耦合電感電路的計算耦合電感的并聯(lián)電路-1圖10-4(a)電路為耦合電感的一種20耦合電感的并聯(lián)電路-2令Z1=R1+jωL1，Z2=R2+jωL2，ZM=jωM，按式(10-3a)，同側(cè)并聯(lián)電路：式中根據(jù)KCL可求得10-2含有耦合電感電路的計算耦合電感的并聯(lián)電路-210-2含有耦合電感電路的計算21去耦等效電路用消支路1方程中用消去支路2方程中有：由此方程可得無互感等效電路，如圖10-4(c)。無互感等效電路又稱去耦等效電路。同理，按式(10-3b)可得異側(cè)并聯(lián)去耦等效電路，其差別僅在于互感M前的“+”、“-”號。10-2含有耦合電感電路的計算去耦等效電路用消支路1方程中用22去耦方法歸納歸納去耦方法：如耦合電感2條支路各有一端與第3支路形成一個僅含3條支路的共同結(jié)點，可用3條無耦合電感支路等效替代，等效電感分別為：(支路3)L3=±M(同側(cè)取“+”，異側(cè)取“-”)(支路1)L1’=L1

M(支路2)L2’=L2±M

M前符號與L3中相反等效電感與電流參考方向無關(guān)。這3條支路中其他元件不變。注意去耦等效電路中的結(jié)點不是原電路結(jié)點①，原結(jié)點①移至L3的前面。10-2含有耦合電感電路的計算去耦方法歸納歸納去耦方法：如耦合電感2條支路各有一端與第3支23例10-4圖10-4(a)中，設(shè)正弦電壓的U=50V，R1=3Ω，ωL1=7.5Ω，R2=5Ω，ωL2=12.5Ω，ωM=8Ω(與例10-3同)。求支路1、2吸收的復(fù)功率。解令按以上公式有：支路1、2的復(fù)功率和為：10-2含有耦合電感電路的計算例10-4圖10-4(a)中，設(shè)正弦電壓的U=50V，R124習(xí)題（1）P24410-7習(xí)題（1）25電路§10-3§10-4電路§10-3§10-42610-3空心變壓器變壓器是電工、電子技術(shù)中常用電氣設(shè)備，由兩個耦合線圈繞在一個共同心子上制成，一個線圈作輸入，接入電源后形成一個回路，稱原邊回路(或初級回路)；另一線圈作輸出，接入負(fù)載形成另一回路，稱副邊回路(或次級回路)。空心變壓器心子是非鐵磁材料制成，其電路模型如圖10-5，圖中負(fù)載設(shè)為電阻和電感串聯(lián)。變壓器通過耦合作用，將原邊的輸入傳遞到副邊輸出。對圖10-5，正弦穩(wěn)態(tài)下，有10-3空心變壓器變壓器是電工、電子技術(shù)中常用電氣設(shè)備，由27空心變壓器等效電路-1令Z11=R1+jωL1，稱原邊回路阻抗，Z22=R2+jωL2+RL+jXL，稱副邊回路阻抗，ZM=jωM由上列方程可得其中Y11=1/Z11，Y22=1/Z22。式(10-5a)分母Z11+(ωM)2Y22原邊輸入阻抗，(ωM)2Y22稱引入阻抗或反映阻抗；是副邊回路阻抗通過互感反映到原邊等效阻抗。引入阻抗性質(zhì)與Z22相反，即感性(容性)變?yōu)槿菪?感性)。10-3空心變壓器空心變壓器等效電路-1令Z11=R1+jωL1，稱原邊回路阻28空心變壓器等效電路-2式(10-5a)可用圖10-6(a)等效電路表示，稱原邊等效電路。同樣分析式(10-5b)，可得圖10-6(b)等效電路，從副邊看進(jìn)去的含源一端口等效電路。令可得此含源一端口在端子2-2‘開路電壓戴維寧等效阻抗Zeq=R2+jωL2+(ωM)2Y11。10-3空心變壓器空心變壓器等效電路-2式(10-5a)可用圖10-6(a)等29例10-5（1）圖10-5電路，R1=R2=0，L1=5H，L2=1.2H，M=2H，u1=100cos(10t)V，負(fù)載阻抗為ZL=RL+jXL=3Ω。求原副邊電流i1、i2。解用圖10-6(a)原邊等效回路求電流

Z11=jωL1=j50Ω令電流為10-3空心變壓器例10-5（1）圖10-5電路，R1=R2=0，L1=5H30例10-5（2）按式(10-4)，電流為即有：10-3空心變壓器例10-5（2）按式(10-4)，電流為10-3空3110-4理想變壓器理想變壓器電路模型圖10-7(a)，N1和N2分別為原邊和副邊匝數(shù)，原、副邊電壓和電流滿足關(guān)系式中n=N1/N2，稱理想變壓器變比。理想變壓器電壓、電流方程是通過參數(shù)n(變比)描述的代數(shù)方程，理想變壓器不是動態(tài)元件。10-4理想變壓器理想變壓器電路模型圖10-7(a)，N132理想變壓器電路將理想變壓器兩個方程相乘得

u1i1+u2i2=0

輸入理想變壓器瞬時功率等于零，既不耗能也不儲能，將能量由原邊全部傳輸?shù)礁边呡敵?，僅將電壓、電流按變比作數(shù)值變換。理想變壓器用受控源表示的電路模型如圖10-7(b)所示。10-4理想變壓器理想變壓器電路將理想變壓器兩個方程相乘得10-4理想變壓器33例10-6（1）圖10-8(a)理想變壓器，匝數(shù)比1：10，已知us=10cos(10t)V，R1=1Ω，R2=100Ω。求u2。解按圖(a)可列電路方程：

R1i1+u1=us

R2i2+u2=0根據(jù)理