常微分方程初值問題

常微分方程初值問題第1頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月§1引言1.常微分方程的定解問題與應(yīng)用應(yīng)用：自然科學(xué)領(lǐng)域，如物理；工程技術(shù)問題，如石油勘探。為已知的，該區(qū)域人口的自然增長率為。人口的增長與人口的常微分方程的定解問題主要有初值問題和邊值問題兩大類，我們僅考慮初值問題。實(shí)例：馬爾薩斯人口模型：假設(shè)某特定區(qū)域在時(shí)刻的人口總數(shù)成正比，所以t時(shí)刻的人口總數(shù)滿足如下的微分方程：一般地，稱這樣的方程為模型方程。第2頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月2.常微分方程的解法：(1)解析法：給出精確解析解。只適合少數(shù)簡單情況。(2)近似解法：給出解的近似表達(dá)式。如級數(shù)法,逐步逼近法。(3)數(shù)值方法：給出方程在離散點(diǎn)上的近似解。它適合計(jì)算機(jī)求解,應(yīng)用廣泛,具有理論應(yīng)用價(jià)值。3.常微分方程初值問題的數(shù)值方法（理論和計(jì)算方法）單步法Euler方法Taylor方法和Runge-Kutta方法多步法Adams方法和一般線性多步法線性多步法的收斂性與穩(wěn)定性第3頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月§2基本概念一、常微分方程初值問題的一般提法問題:求函數(shù)滿足其中為已知函數(shù),是已知值.(可能是觀察值或?qū)嶒?yàn)值)基本條件:設(shè)(2)f(x,y)在D上關(guān)于變量y滿足Lipschitz連續(xù)條件：(1)f(x,y)在D上連續(xù)；其中L為Lipschitz常數(shù)。定理1

若f(x,y)在D上滿足基本條件,一階常微分方程初值問題式(1),(2)對任意給定的存在唯一解且在[a,b]上連續(xù)可微.(2)(1)(3)第4頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于解y(x)的適定性：定義1方程(1),(2)的解y(x)稱為適定的,若存在常數(shù)對任意滿足條件常微分方程(1),(2)上各加一個(gè)攝動(dòng)(擾動(dòng))項(xiàng).存在唯一解z(x),且有初值問題：攝動(dòng)(擾動(dòng))誤差定理2

若f(x,y)在D上滿足基本條件,則微分方程(1),(2)的解y(x)是適定的.(1)適定問題的解y(x)連續(xù)依賴于(1)式右端的f(x,y)和初值。或者說解y(x)關(guān)于(1)式右端的f(x,y)和初值穩(wěn)定.注:(2)假設(shè)f(x,y)在D上滿足基本條件,從而方程(1),(2)的解y(x)存在且適定.(4)第5頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月二、初值問題數(shù)值解的基本概念因?yàn)槌踔祮栴}的數(shù)值解法是通過微分方程離散化而給出解在某些離散點(diǎn)上(節(jié)點(diǎn)上)的近似值，為了討論問題方便,引入以下概念。在上引入節(jié)點(diǎn)常用等步長:則有(1)，(2)的準(zhǔn)確解記為y(x),求初值問題數(shù)值解的方法是步進(jìn)法,即逐個(gè)節(jié)點(diǎn)計(jì)算,由稱為步長。的近似解記為步進(jìn)法單步法:多步法:僅僅由計(jì)算計(jì)算共用到l個(gè)值.即稱為l步法。單步法與多步法的區(qū)別:(1)計(jì)算方面:l步方法只用于的計(jì)算,的計(jì)算要用其它方法。第6頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)理論分析:單步法比的多步法容易分析(穩(wěn)定性).(3)選步長方面:單步法容易改變步長.(4)精度:多步法精度高一些.單步法與多步法又都有顯式方法和隱式方法之分.計(jì)算公式依次可寫成:顯式單步法:隱式單步法:該式右端項(xiàng)含有因此若求需要解方程。注:顯式多步法:隱式多步法:線性多步法:注:(9)關(guān)于都是線性的。其中是獨(dú)立于k和f的常數(shù)。(9)是顯式(右端不含有)；則(9)是隱式的。(5)(6)(7)(8)(9)第7頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月§3Euler方法考慮問題特點(diǎn)：簡單，精度低.一、顯式Euler方法(折線法)1.顯式歐拉公式設(shè)節(jié)點(diǎn)為:則(1),(2)的Euler方法為步長其中三、微分方程初值問題的數(shù)值解法討論的問題:1.方法構(gòu)造2.誤差分析3.穩(wěn)定性(1)(2)(10)第8頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月推導(dǎo)公式:(1)Taylor展開法將在點(diǎn)進(jìn)行Taylor展開忽略這一高階項(xiàng),由于因此分別用近似得結(jié)合初值條件,并(2)向前差分近似微分法向前差商近似得(11)于是，即得(10)式：(12)第9頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)左矩?cái)?shù)值積分法將(1)式兩端從到積分,得數(shù)值積分采用左矩形公式,即由初始條件亦得(10)式.o用近似得將近似號改為等號，近似并結(jié)合初始條件即得(10)式。第10頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月2.幾何意義方程(1),(2)的解曲線過點(diǎn)具有斜率從出發(fā)以為斜率作直線段,交于點(diǎn)此時(shí)從出發(fā),以為斜率于點(diǎn)此時(shí)以次類推.最終到達(dá)點(diǎn)這樣得到了一條折線用折線作為(1),(2)解曲線的近似曲線，折線法。o過的解曲線如圖示,具有斜率作直線段,交過的解曲線如圖.它在點(diǎn)的右側(cè)具有斜率與過的解曲線相切.折線稱為歐拉折線，所以歐拉方法又稱為第11頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月二、隱式Euler方法和梯形方法(Euler方法的改進(jìn))將在點(diǎn)進(jìn)行Taylor展開，忽略項(xiàng),用分別近似可得隱式歐拉方法:1.隱式Euler方法或說明:(1)隱式Euler方法也可用近似微分或者用右矩?cái)?shù)值求積公式來建立.向后差商,即用(2)隱式Euler方法(13)是關(guān)于的方程，若求需要解方程(13).(13)第12頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月2.梯形方法取平均,得忽略項(xiàng),用得梯形方法:與說明:梯形方法也是隱式方法,要求,需解方程(14).由分別近似(14)3.Euler方法、隱式Euler方法、梯形方法等單步法的對應(yīng)關(guān)系顯式單步法顯式Euler方法第13頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月隱式單步法隱式Euler方法梯形方法(隱式)4.解的唯一性及收斂性唯一性若在上滿足基本條件,關(guān)于的Lipschitz常數(shù)為；(14)確定了唯一的L時(shí),只要?jiǎng)t由定理1可知(13)確定了唯一的同理只要第14頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月迭代(13)、(14)，都收斂到.收斂性(以(14)式為例說明)當(dāng)時(shí),以y為變量的函數(shù):在上關(guān)于y滿足Lipschitz條件,且L－常數(shù)為,由壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理得方程同樣，從任意初始值出發(fā),有唯一不動(dòng)點(diǎn),事實(shí)上，而且從出發(fā),迭代(15)都收斂到第15頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月在實(shí)際計(jì)算中希望有較好的,用較少的迭代步(次數(shù)),取得稱為的m次迭代最常用的方法之一是先用顯式Euler方法所得的為量較大,往往取作為來用,更精確的(足夠精度的).而在實(shí)際計(jì)算中的計(jì)算改進(jìn)。(初始值),再由梯形方法改進(jìn)一次，即是預(yù)估－校正Euler方法(或稱為改進(jìn)Euler方法)。三、預(yù)估－校正Euler方法(顯式Euler公式)(梯形公式)或?qū)懗苫驅(qū)懗?15)(16)第16頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月例1

分別用顯式Euler方法，梯形方法和預(yù)估－校正Euler方法解初值問題解：取h=0.1，Euler方法為:梯形方法為：預(yù)估－校正Euler方法：第17頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月Euler方法梯形方法預(yù)估－校正方法0.01.0000000.01.0000000.01.0000000.00.11.0000004.8×10－31.0047627.5×10－51.0050001.6×10－40.21.0100008.7×10－31.0185941.4×10－41.0190252.9×10－40.31.0290001.2×10－21.0406331.9×10－41.0412184.0×10－40.41.0561001.4×10－21.0700962.2×10－41.0708004.8×10－40.51.0904901.6×10－21.1062782.5×10－41.1070765.5×10－40.61.1314411.7×10－21.1485372.7×10－41.1494045.9×10－40.71.1782971.8×10－21.1962952.9×10－41.1972106.2×10－40.81.2304671.9×10－21.2490193.0×10－41.2499756.5×10－40.91.2874201.9×10－21.3062643.1×10－41.3072286.6×10－41.01.3486781.9×10－21.3675733.1×10－41.3685146.6×10－4表8.1數(shù)值例子表明：梯形方法和預(yù)估－校正Euler方法比顯式Euler方法有更好的精度。第18頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月四、單步法的局部截?cái)嗾`差、整體截?cái)嗾`差問題：1.局部截?cái)嗾`差的定義設(shè)單步法為（數(shù)值方法公式）：滿足基本條件:(1)f(x,y)在D上連續(xù)；(2)f(x,y)在D上關(guān)于變量y滿足Lipschitz條件.定義2設(shè)y(x)是方程(1),(2)的準(zhǔn)確解，稱為單步法(17)在xk+1點(diǎn)的局部截?cái)嗾`差(方法誤差)。(17)(18)第19頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月定義3設(shè)y(x)是方程(1),(2)的準(zhǔn)確解，是單步法(17)數(shù)值解，稱為單步法(18)在xk若對充分小的成立點(diǎn)的整體截?cái)嗾`差；常數(shù)c獨(dú)立于h(與h無關(guān)),稱(17)是p階方法。判斷某種方法的階數(shù)往往通過局部截?cái)嗾`差的階數(shù)來說明：確定，而局部截?cái)嗾`差的階容易由公式來確定。(19)2.局部截?cái)嗾`差與整體截?cái)嗾`差之間的關(guān)系定理4

若單步法(17)的局部截?cái)嗾`差是p+1階的，即c1獨(dú)立于h(不依賴于h或與h無關(guān))，而且函數(shù)在區(qū)域第20頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月上關(guān)于u,v滿足條件則單步法(17)是p階方法。(20)推論:

當(dāng)f在D上滿足基本條件時(shí),單步法(17)的階由局部截?cái)嗾`差的階來確定。結(jié)論：一般情況下，若局部截?cái)嗾`差是p+1階的，則單步法說明：可用Taylor展開法估計(jì)的階，即的主項(xiàng)高階項(xiàng)則對應(yīng)的單步法是p階方法。是p階方法。由于(21)第21頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月定理的應(yīng)用（討論各種方法的階數(shù)）顯式Euler方法是一階方法事實(shí)上,當(dāng)(1.1),(1.2)的解y(x)二階連續(xù)可導(dǎo)時(shí),f(x,y)關(guān)于則y滿足Lipschitz條件，Lipschitz常數(shù)為L，其局部截?cái)嗾`差為:將在點(diǎn)展開可得一階方法又把代入（*）式得整體截?cái)嗾`差:由及而（*）第22頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月隱式Euler方法是一階方法將在點(diǎn)展開可得一階方法事實(shí)上，局部截?cái)嗾`差為:則又(*),把代入（*）式得整體截?cái)嗾`差:第23頁，課件共26頁