軟著陸軌道優(yōu)化問題的廣義乘子法求解

軟著陸軌道優(yōu)化問題的廣義乘子法求解

0最優(yōu)軟著陸軌道求解在月球表面進行溫和的土地開發(fā)是月球勘探的重要前提。由于月球表面沒有大氣,著陸器的速度必須完全由制動發(fā)動機抵消,所以,減少燃料消耗是增加有效載荷的關(guān)鍵所在。月球最優(yōu)軟著陸問題是一類終端時間自由型最優(yōu)控制問題,其求解方法分間接法和直接法本文以探月器環(huán)繞月心的旋轉(zhuǎn)角速度為中間變量,通過積分變換,將月球最優(yōu)軟著陸問題轉(zhuǎn)化為終端積分變量固定型最優(yōu)控制問題。在此基礎(chǔ)上,通過優(yōu)化變量的離散化,并采用四階Admas預(yù)測-校正數(shù)值積分方法,將軟著陸軌道優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為有約束非線性規(guī)劃問題(NonlinearProgramming,NLP),采用廣義乘子法(GeneralizedLagrangeMultiplier,GLM)和擬牛頓法求解非線性規(guī)劃問題,得出最優(yōu)軟著陸軌道。仿真結(jié)果表明,該方法收斂速度快、優(yōu)化精度高,對初始控制量不敏感、魯棒性好,可以用于探月器機載計算機實時生成軟著陸軌道。1著陸器東南角m月球軟著陸方案式中,r為著陸器距月心矢徑;v為著陸器在r方向上的速度;θ為著陸器環(huán)繞月球表面的航程角;ω是航程角的角速度;m為著陸器質(zhì)量;μ為月球引力常數(shù);F為制動推力器的推力,0<F<F最優(yōu)軟著陸軌道設(shè)計的目的是尋找最優(yōu)控制F取最小值,并且滿足軟著陸條件式中,t根據(jù)Pontryagin最大值原理2最優(yōu)、最軟的地球軌跡快速解2.1積分變量單調(diào)遞增月球最優(yōu)軟著陸問題是一類終端時間自由型且受終端約束的最優(yōu)控制問題。對于這類問題,一種方法是將終端時間作為設(shè)計變量進行優(yōu)化本文選擇狀態(tài)量ω作為積分變量。這樣只要推力方向角在(-90°,90°)范圍內(nèi),ω的單調(diào)性就有保證,且其變化較為均勻。為了使得積分變量單調(diào)遞增,引入變量ω′=-ω,則將方程組(1)兩邊同時除以dω′/dt,則轉(zhuǎn)換為對ω′積分,轉(zhuǎn)化后的方程組為式中,fω′=dω′/dt=((F/m)cosψ+2vω)/r。為了得到各狀態(tài)量隨時間的變化,需增加微分方程如下:式(5)和式(6)組成新的狀態(tài)方程,因ω′=-ω,所以實際計算時方程(5)中第4式可以刪去。變換后的目標函數(shù)為變換后的約束條件為式中,ω′至此,原終端積分變量不確定型最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為終端積分變量固定型最優(yōu)控制問題。轉(zhuǎn)化后的問題一方面更適合于優(yōu)化數(shù)值算法求解;另一方面終端約束條件減少了一個,終端約束更容易滿足,收斂速度更快。并且,轉(zhuǎn)換過程也較為簡單。2.2計算誤差系數(shù)大,模型正演判識對于上述終端積分變量固定型最優(yōu)控制問題,本文將其轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題求解。對于由最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化成的非線性規(guī)劃問題,從優(yōu)化變量得出目標函數(shù)和約束條件時,需要借助于數(shù)值積分。常用的經(jīng)典四階Runge-Kutta積分方法計算量偏大,不利于快速優(yōu)化;四步四階Admas外推方法計算量小,但其截斷誤差系數(shù)過大,精度偏低;四階Admas預(yù)測-校正方法,其精度與四階Runge-Kutta方法不相上下,但計算量只有后者的一半,可用于本文的快速優(yōu)化直接離散化方法將整個最優(yōu)控制過程根據(jù)積分變量分成若干個段,段的端點稱為節(jié)點;選擇節(jié)點處的控制變量作為優(yōu)化參數(shù),通過插值得到整個最優(yōu)控制過程的控制變量;根據(jù)這些控制變量積分狀態(tài)方程形成目標函數(shù)和約束條件,得到數(shù)學(xué)規(guī)劃問題,具體如下1)將整個飛行過程分為N段,形成N+1個節(jié)點ω′2)整個飛行過程的控制量可以通過在各個節(jié)點處線性插值得到,即3)采用四階Admas預(yù)測-校正方法,從ω′經(jīng)過上述處理,月球最優(yōu)軟著陸問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題。2.3基于古典lagrange乘子法的約束優(yōu)化方法求解有約束非線性規(guī)劃問題時,罰函數(shù)法是一種比較常用的方法。但從幾何直觀上看,罰因子越大,目標函數(shù)在約束集外部的幾何形狀也就越陡,這會給無約束最優(yōu)化帶來困難。另一種理論上較好的方法是古典Lagrange乘子法。該方法通過引入乘子項處理約束條件,然后求解無約束最優(yōu)化問題。但是對于稍復(fù)雜的實際問題,確定出合適的乘子比較困難。廣義乘子法則是把罰函數(shù)外點法與古典的Lagrange乘子法有機地結(jié)合起來,試圖在罰因子適當(dāng)大的情況下,借助于調(diào)節(jié)乘子逐次逼近原非線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解,這樣就避免了單純使用外點法或古典Lagrange乘子法的缺點。優(yōu)化算法中,通常基于梯度信息的優(yōu)化方法比非梯度法的計算量小基于上述分析,本文采用廣義乘子法和擬牛頓法求解有約束非線性規(guī)劃問題。2.3.1求解式的修正具有等式約束的非線性規(guī)劃問題的標準形式為式中,f,h定義增廣Lagrange函數(shù)式中,λ=[λ采用廣義乘子法求解式(10)的計算步驟如下1)給定初始點x2)以x得到解x3)若||h(x4)若置σ=ασ,轉(zhuǎn)步驟5);否則,直接進行步驟5)。5)采用下式修正乘子置k=k+1,轉(zhuǎn)步驟2)。對于步驟2)中的無約束最優(yōu)化問題(式(12)),本文采用擬牛頓法求解。2.3.2牛頓法的制定擬牛頓法是無約束最優(yōu)化方法中最有效的一類算法BFGS算法的基本思想是,在x式中,p3廣義乘子法的穩(wěn)定性假設(shè)月球軟著陸初始條件為:r優(yōu)化過程中,對狀態(tài)方程(5),(6)共積分3643次,在VisualC++6.0平臺下,工作站HPXW9300(CPUAMD2.59GHz)耗時0.641s。圖1~圖4為部分最優(yōu)參數(shù)的變化曲線,h為高度,其他參數(shù)含義同前述。為了方便對比,圖中給出了由Pontryagin最大值原理得出的理論最優(yōu)解,相應(yīng)的目標函數(shù)值J為了研究本文方法的穩(wěn)定性,在(-20°,40°)范圍內(nèi)隨機選取初值,結(jié)果都能收斂。其中,初值在(-10°,30°)范圍內(nèi)時,計算量變化不大,耗時都小于1s。由此說明,廣義乘子法具有較強的魯棒性和快速收斂性。此外,仿真結(jié)果表明,減小罰因子σ的初值,能夠增大收斂區(qū)間。如σ初值取0.2時,收斂區(qū)間可擴展至約(-30°,75°);σ初值減小為0.02時,收斂區(qū)間可擴展至約(-50°,80°)。但是,減小罰因子σ,會使收斂速度變慢,計算量增加。4廣義乘子法1)通過積分變換,可以將對時間的積分轉(zhuǎn)化為對狀態(tài)變量的積分,使得終端積分變量得以確定。轉(zhuǎn)化后的問題更利于優(yōu)化求解,且轉(zhuǎn)化過程較為簡單。2)廣義乘子法作為一種直接法,可以對最優(yōu)控制問題進行快速求解,其得到的數(shù)值結(jié)果具有較高的精度。同間接法相比,不需要猜測協(xié)態(tài)變量的初值,對初