2023年全國中學生數學奧林匹克競賽（預賽）一試預測卷3（Word含解析）

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一試仿真模擬卷

3

一、填空題（每題8分，共64分）

1．設，．若B的非空子集個數為1，則實數a的取值范圍是________.

2．如果△ABC的三個內角A、B、C滿足，，t依次成等差數列，則∠B的最大值是________.

3．設復數，，，，則當取到最小值時，________.

4．已知點是空間直角坐標系O-xyz內定點，過P作平面與三坐標軸的正半軸分別交于A、B、C三點，則所有這樣的四面體OABC的體積的最小值為________.

5．從正十二邊形的頂點中取出4個頂點，它們兩兩不相鄰的概率是________.

6．設O是△ABC的內心，，，，，，動點P的軌跡所覆蓋的平面區(qū)域的面積等于________.

7．設、分別是橢圓E：的左、右焦點，過點的直線交橢圓E于A、B兩點，且．如圖，直線與橢圓E交于P、Q兩點，C、D是橢圓E上異于P、Q的兩點，且直線PC、QD相交于點M，直線PD、QC相交于點N．則直線MN的斜率為________.

8．設方程（n為奇數）的n個根為1，，則________.

二、解答題（共56分）

9．（16分）設非負實數a、b、c滿足，，試求p的最大值和最小值．

10．（20分）已知S、P（非原點）是拋物線上不同的兩點，點P處的切線分別交x、y軸于Q、R．

（1）若，求的值；

（2）若，求△PSR面積的最小值．

11．（20分）設是3個模不大于1的復數，是方程

的兩個根

證明：對，2，3都有．2023年全國中學生數學奧林匹克競賽（預賽）暨2023年全國高中數學聯(lián)合競賽

一試仿真模擬卷3詳細解析

1．．解：由已知得恰含一個元素．設，分以下情況討論：

（1）若，則，但是當時，的零點，故應舍去，而經驗證滿足條件；

（2）若，則根據二次函數圖象性質，必有，即

，

解得或，但應舍去，而經驗證滿足條件．

綜上所述，有．

2．．解：記，，，則．由于x、y、z至多一個負數，故，且，即．消去z后，得到

，

方程有實根，所以，故，即，當且僅當時等號成立．

3．12．解：，當且僅當

，

即，時，取到最小值15，此時，．

4．45．解：設此平面的方程為，a，b，分別是該平面在x、y、z軸上的截距，又點P在平面ABC內，故，由于

，

即，得．當，即時，的最小值為45．

5．．解：將這十二個頂點依次標為，從十二個頂點中取4個頂點的方法數為，取出的四個頂點兩兩不相鄰的情況包含以下兩類：

（1）如果不取點，則從這11個點中取4個點，兩兩不相鄰，則方法數為（相當于把4個點插到7個點中）．

（2）如果取點，由于不能取、，故從這9個點中取三個點兩兩不相鄰，方法數為（相當于把三個點插到6個點中）故所求概率為．

6．．解：如圖，根據向量加法的幾何意義，知點P在圖中的三個平形四邊形及其內部運動，所以動點P的軌跡所覆蓋的平面區(qū)域的面積等于△ABC面積的2倍，即．

7．．解：設，則且，．由橢圓定義可得

，，

在△中，由余弦定理可得

，

即

，

化簡得，而，故．于是有

，．

因此，可得，故△為等腰直角三角形．從而．設，，，則．易得

，

即．同理，即

．

故有

，

兩式相減得，所以

．

8．．解：依題意知，，2，3，…，．注意到

所以．

又n為奇數，所以為偶數，從而．

9．設則由

，

知．故

，，，

即．事實上，當時，p取得最小值．

另一方面，設，則由

，

知．故

，，，

即．事實上，當，時，p取得最大值．

10．（1）設，則P處的切線為，，故

，

所以，解得．

（2）設，則

，

故有

，

從而，解得．

所以，

，

所以，

．

令，則

，，

所以，當時，．

11．由對稱性，只需證明：．

不妨設．令

，

由得

．

因此，若，結論成立．

另一方面，由，，得

，

所以

．

因此，當時，結論成立．

下設，．

如圖，考慮以為頂點的三角形．

記和分別是△ABC的邊BC上的中線和高，則，．

由于