概率論第二章課件

第一節(jié)隨機變量第二節(jié)離散型隨機變量的概率分布第三節(jié)隨機變量的分布函數(shù)第四節(jié)連續(xù)型隨機變量的概率密度第五節(jié)隨機變量函數(shù)的分布第二章隨機變量及其分布8/14/20231第一節(jié)隨機變量第二節(jié)離散型隨機變量的概率分布第三節(jié)隨機

動機：將隨機試驗的結果數(shù)量化

例1拋一枚硬幣，觀察正反面的出現(xiàn)情況，，如果我們引入記號：顯然，該試驗有兩個可能的結果：第一節(jié)隨機變量則，我們就可以用表示出現(xiàn)的是正面，而用表示出現(xiàn)的是反面。8/14/20232動機：將隨機試驗的結果數(shù)量化例1拋一枚硬幣就是一個隨機變量。

定義

設隨機試驗的樣本空間為如果對于每一個都有一個實數(shù)與其對應，這樣就得到一個定義在上的一個單值實函數(shù)我們稱該函數(shù)為隨機變量。一般的，隨機變量用英文字母表后面的大寫字母或者希臘字母（可以帶下標）表示。如等，都可以表示隨機變量。8/14/20233就是一個隨機變量。定義設隨機試驗的樣本空間為如果對

引入隨機變量以后,隨機事件就可以用隨機變量在某范圍的取值來表示.

隨機變量的取值隨試驗的結果而定,因此試驗之前,我們只知道它可能取值的范圍,而不能預知它取什么值,由于試驗的各個結果的出現(xiàn)有一定的概率,因此隨機變量取各個值也有一定的概率.如果我們用表示某臺電視機的壽命,并且規(guī)定壽命超過10000小時者為合格品,則該電視機為合格品這一事件就可以表示為如果用表示某位同學大學英語四級考試的成績,則表示“該同學通過考試”這一事件，而表示“該同學成績優(yōu)秀”這一事件.8/14/20234引入隨機變量以后,隨機事件就可以用隨機變量在某范圍的第二節(jié)離散型隨機變量及其分布律如果隨機變量只取有限或可列無窮多個值，則稱隨機變量為離散型隨機變量.對于離散型隨機變量，關鍵是要確定：1）所有可能的取值是什么？2）取任意可能值的概率是多少？設隨機變量的可能取值為，且（1）則稱（1）式為的概率分布或分布律.8/14/20235第二節(jié)離散型隨機變量及其分布律如果隨機變量只取分布律（1）也常常寫成如下的表格形式.顯然有：或者也可以表示為8/14/20236分布律（1）也常常寫成如下的表格形式.顯然有：或者也

例1擲一顆勻稱的骰子，以表示出現(xiàn)的點數(shù)，求的分布律.解的可能取值為而由等可能性，它取每一個值的概率均為1/6，故其分布律為8/14/20237例1擲一顆勻稱的骰子，以表示出現(xiàn)的點數(shù)，求

例２設一汽車在開往目的地的路上需經過四盞燈,每盞信號燈以0.5的概率允許或禁止汽車通過,以X表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)（設各盞信號燈的工作是相互獨立的），求其分布律。

解

以p表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則X的分布律為將代入，得8/14/20238例２設一汽車在開往目的地的路上需經過四盞燈,每盞信號燈以下面，重點介紹三種離散型隨機變量的概率分布。（一）0-1分布若的分布律為或者

01

則稱隨機變量服從參數(shù)為p的0-1分布.如果試驗的結果只有兩個：成功與失敗，并且成功的概率為p，則成功的次數(shù)服從參數(shù)為p的0-1分布。8/14/20239下面，重點介紹三種離散型隨機變量的概率分布。（一）0（二）二項分布(BinomialDistribution)若隨機變量的分布律為：則稱隨機變量服從參數(shù)為n,p的二項分布，

二項分布的背景是伯努利試驗：如果每次試驗中成功的概率均為p，則在n重伯努利試驗中成功的次數(shù)服從參數(shù)為n,p的二項分布。注意，當n=1時二項分布就是0-1分布。記為或8/14/202310（二）二項分布(BinomialDistribution)

例3設某批產品共有N件，其中有M件次品。按如下兩種方式從中任選n件產品:(1)一次次從中取出產品，每次取一件，并在觀察后放回;(2)從中一次性地任選n件。設取得的次品數(shù)為，試分別就所述的兩種情形，求的分布律。解(1)由于是有放回的抽取，所以每次抽取時抽到一件次品的概率均為M/N，所以故有8/14/202311例3設某批產品共有N件，其中有M件次品。按如下兩種(2)在N件產品中任選n件，所有可能的取法有種，而其中恰好有k件次品的取法共有種，所以有此時我們稱服從超幾何分布。8/14/202312(2)在N件產品中任選n件，所有可能的取法有種，而其

例4某人進行射擊，設每次擊中的概率均為0.02,獨立射擊400次，試求至少擊中兩次的概率。

解將每次射擊看成是一次試驗,設擊中的次數(shù)為，則所以有直接計算上式比較麻煩，為此需要一個近似計算公式。我們先引入一個重要的分布。8/14/202313例4某人進行射擊，設每次擊中的概率均為0.02,獨(三)泊松分布(PoissonDistribution)如果隨機變量的分布律為：則稱隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布。記為

實例：1）普魯士騎兵每年被馬踢死的人數(shù)服從參數(shù)為0.61的泊松分布；2）1500年到1932年之間每年發(fā)生戰(zhàn)爭的次數(shù)（規(guī)模超過50000人）服從參數(shù)為0.69的泊松分布。8/14/202314(三)泊松分布(PoissonDistribution)泊松分布與二項分布之間有密切的聯(lián)系，這一點由下面的泊松定理所闡述。

泊松定理設隨機變量且則有證略因此,由定理,當n很大p很小時，就有8/14/202315泊松分布與二項分布之間有密切的聯(lián)系，這一點由下面的泊松

泊松定理表明,當n很大(不小于20)p很小(不大于0.05)時,二項分布可近似的用泊松分布來表示.這實際上也就表明了大量實驗中稀有事件發(fā)生的次數(shù)可以用泊松分布來描述.而泊松分布的值可以通過查表得到.8/14/202316泊松定理表明,當n很大(不小于20)p很小(不大

續(xù)例4現(xiàn)在我們運用泊松定理來做近似計算,由于此時故,于是因此

該例題表明,即使是一個命中率很低的射手,在大量的射擊中至少擊中兩次或兩次以上概率還是很大的.因此在大數(shù)次的試驗中,不能忽略小概率事件.8/14/202317續(xù)例4現(xiàn)在我們運用泊松定理來做近似計算,由于此時故

例5

為了保證設備正常工作，需配備適量的維修工人(工人配備多了浪費,配備少了又要影響生產),現(xiàn)有同類型的設備300臺,各臺工作是相互獨立的,發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺設備的故障可由一個人來處理(我們也只考慮這種情形),問至少需配備多少工人,才能保證當設備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01?

解

設需配備N人,記同一時刻發(fā)生故障的設備臺數(shù)為X,則X~B(300,0.01).所需解決的問題是確定最小的N,使得8/14/202318例5為了保證設備正常工作，需配備適量的維修工人(工由泊松定理(1)于是(1)式化為經查表計算知,滿足上式最小的N是8.因此,為達到上述要求,至少需配備8個工人.8/14/202319由泊松定理(1)于是(1)式化為經查表計算知,滿足上式最小的

例6

設有80臺同類型設備,各臺工作是相互獨立的,發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺機器的故障能由一個人處理.考慮兩種配備維修工人的方法,其一是由4人維修,每人負責20臺;其二是由3人共同維修80臺.試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小.

解先考慮第一種方法以X表示第一個人維護的20臺機器中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù),則X~B(20,0.01).于是,第一個人來不及維修的概率為8/14/202320例6設有80臺同類型設備,各臺工作是相互獨立的,發(fā)設A為“四個人中至少有一個人來不及維修”這一事件，則有以Y表示3個人共同維護的80臺機器中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù),則Y~B(80,0.01).于是他們來不及維修的概率為按第二種方法效率更高！8/14/202321設A為“四個人中至少有一個人來不及維修”這一事件，則

例6社會上定期發(fā)行某種獎券,中獎率為p.某人每次購買一張獎券,如果沒有中獎則下次繼續(xù)購買1張,直至中獎為止.求該人購買次數(shù)的分布律.

解設該人購買的次數(shù)為X,則X的可能取值為表示第一次購買就中獎,其概率為p.表示購買兩次獎券,但第一次未中獎,其概率為1-p,而第二次中獎,其概率為p.由獨立性知,有8/14/202322例6社會上定期發(fā)行某種獎券,中獎率為p.某人每(1)

一般的,如果某隨機變量的分布律具有(1)的形式,則稱該隨機變量服從參數(shù)為p的幾何分布.表示共購買了k次獎券,其中前k-1次都未中獎,而第k次中獎,因此有

因此,購買次數(shù)的分布律為8/14/202323(1)一般的,如果某隨機變量的分布律具有(1)的形第三節(jié)隨機變量的分布函數(shù)定義

設X是一個隨機變量,x是任意實數(shù),函數(shù)稱為X的分布函數(shù).若已知隨機變量X的分布函數(shù),則我們就可以確定X落在任一子區(qū)間上的概率:8/14/202324第三節(jié)隨機變量的分布函數(shù)定義設X是一個隨機變量,分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性.如果將看成是數(shù)軸上隨機點的坐標,則就是落在區(qū)間上的概率.即有因此可以認為8/14/202325分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性.如果將看成是數(shù)軸上分布函數(shù)F(x)的基本性質1)F(x)是一個單調不減的函數(shù).2)且3)F(x)是右連續(xù)的,即事實上,8/14/202326分布函數(shù)F(x)的基本性質1)F(x)是一個單調不減的函數(shù)例1設隨機變量的分布律為-123求的分布函數(shù),并求解

由概率的可加性,得所求的分布函數(shù)為8/14/202327例1設隨機變量的分布律為-12即又8/14/202328即又8/1/202328xy-1231

F(x)的圖形如圖所示為一階梯形曲線,它在可能的取值處-1,2,3處發(fā)生跳躍，跳躍值為取該值的概率.8/14/202329xy-1231F(x)的圖形如圖所示為一階梯一般,設離散型隨機變量的分布律為則由概率的可加性可得分布函數(shù)為這里和式是對所有滿足的k求和.F(x)在處發(fā)生跳躍，其跳躍值為

離散型隨機變量的分布函數(shù)不是連續(xù)函數(shù)，并且常見的離散型分布的分布函數(shù)都是階梯函數(shù)。8/14/202330一般,設離散型隨機變量的分布律為則由概率的可加性可得例2向半徑為R的圓形靶射擊，擊中點落在以靶心O為中心,x為半徑的圓內的概率與該圓的面積成正比，并且不會發(fā)生脫靶的情況.以表示擊中點與靶心O之間的距離，求的分布函數(shù).解

顯然，當時，有又由題意，當時，8/14/202331例2向半徑為R的圓形靶射擊，擊中點落在以靶心O為中心,x當時,按題意,有OR從而

注意,此分布函數(shù)為一連續(xù)函數(shù).因此,存在著與離散型隨機變量不同的另一種隨機變量.由于故于是8/14/202332當時,按題意,有OR從而注意,此分布函數(shù)為一連續(xù)下面我們來分析一下這一類隨機變量的一些特征.為此,令則有這就是說,該例中的分布函數(shù)可以表示為某一非負函數(shù)在上的積分.這不是偶然的.事實上,它是一大類隨機變量的分布函數(shù)所具有的共同特征,這一類隨機變量就是我們下面要講的連續(xù)型隨機變量.8/14/202333下面我們來分析一下這一類隨機變量的一些特征.為此,第四節(jié)連續(xù)型隨機變量的概率密度一.概率密度及其性質定義如果隨機變量X的分布函數(shù)可表示成其中為非負的函數(shù),則稱X為連續(xù)型隨機變量,f(x)稱為X的概率密度函數(shù),簡稱為概率密度或密度.記作8/14/202334第四節(jié)連續(xù)型隨機變量的概率密度一.概率密度及其性質定義概率密度具有如下兩條基本性質:另外,連續(xù)型隨機變量還具有如下性質:2)在的連續(xù)點處,有1)8/14/202335概率密度具有如下兩條基本性質:另外,連續(xù)型隨機變量還具有如下4)連續(xù)型隨機變量取任何一個指定值的概率為0.即,對于任意常數(shù)C,有5)若是連續(xù)型隨機變量,則3)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù).因為8/14/2023364)連續(xù)型隨機變量取任何一個指定值的概率為0.即,對于任例1已知隨機變量的的概率密度為且試確定常數(shù)并求解

解方程組得8/14/202337例1已知隨機變量的的概率密度為且試確定常數(shù)并求解解方從而8/14/202338從而8/1/202338

例2設隨機變量X和Y具有相同的分布函數(shù)，X的概率密度為已知事件與相互獨立，且求常數(shù)a.解由題設知8/14/202339例2設隨機變量X和Y具有相同的分布函數(shù)，解得于是又由題設由此可知應有8/14/202340解得于是又由題設由此可知應有8/1/202340二.三種重要的連續(xù)型分布(一)均勻分布(UniformDistribution)如果隨機變量的概率密度為則稱在［a,b]上服從均勻分布，記為8/14/202341二.三種重要的連續(xù)型分布(一)均勻分布(Uniform上式表明,落在區(qū)間[a,b]中任意等長度的子區(qū)間內的概率是相同的.在這個意義上我們說,服從均勻分布的隨機變量在其可能取值的區(qū)間內具有等可能性.設則8/14/202342上式表明,落在區(qū)間[a,b]中任意等長度的子區(qū)間內的概率是相

例3

設隨機變量現(xiàn)在對進行三次獨立的觀測，求至少有兩次觀測值大于3的概率.解由題設知的概率密度為于是8/14/202343例3設隨機變量現(xiàn)在對進行三次獨立的觀測，求至少若以Y表示三次獨立觀測中觀測值大于3的次數(shù)(即在三次試驗中{X>3}出現(xiàn)的次數(shù)),則故所求的概率為8/14/202344若以Y表示三次獨立觀測中觀測值大于3的次數(shù)(即在三次試驗中{二.指數(shù)分布(ExponentialDistribution)如果隨機變量的概率密度為則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布.（其中是常數(shù)）8/14/202345二.指數(shù)分布(ExponentialDistributio如果隨機變量的概率密度為（其中是常數(shù)）

注：教育部關于研究生入學考試的大綱上對指數(shù)分布的定義如下：則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布.8/14/202346如果隨機變量的概率密度為（其中是常數(shù)）注：教育部關于易知，若則其分布函數(shù)為指數(shù)分布在排隊論和可靠性理論中有廣泛的應用，常常用它來作為各種“壽命”的分布的近似.例如,電子元件的壽命,電話的通話時間,微生物的壽命,隨機服務系統(tǒng)中的服務時間等都可認為是近似服從指數(shù)分布.8/14/202347易知，若則其分布函數(shù)為指數(shù)分布在排隊論和可靠性理論指數(shù)分布的一個重要性質就是“無后效性”或“無記憶性”.具體敘述如下.設則對于任意的s>0,t>0,有事實上，有8/14/202348指數(shù)分布的一個重要性質就是“無后效性”或“無記憶性假如把服從指數(shù)分布的隨機變量解釋為某元件工作的壽命,則上式表明,在該元件已工作了s小時的條件下,它還能繼續(xù)工作t小時的概率與已經工作過的時間s無關.換句話說,如果元件在時刻s還“活著”,則它的剩余壽命的分布還是原來壽命的分布,而與它已工作了多長的時間無關.所以有時又稱指數(shù)分布是“永遠年輕”的.值得指出的是,我們可以證明,指數(shù)分布是唯一具有無記憶性的連續(xù)型分布.8/14/202349假如把服從指數(shù)分布的隨機變量解釋為某元件工作的壽命下面的例子說明了泊松分布和指數(shù)分布之間的關系。即服從參數(shù)為指數(shù)分布。8/14/202350下面的例子說明了泊松分布和指數(shù)分布之間的關系。即

例4設某電子元件的壽命X(單位:小時)服從的指數(shù)分布,(1)求該元件使用500小時沒有壞的概率;(2)若已知該元件使用了200小時沒有壞,求它還可以繼續(xù)使用500小時的概率.解設X的分布函數(shù)為F(x),則(1)所求的概率為(2)由指數(shù)分布的無記憶性,有8/14/202351例4設某電子元件的壽命X(單位:小時)服從三.正態(tài)分布(NormalDistribution)若隨機變量X的概率密度為則稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布.記為稱相應的分布函數(shù)為正態(tài)分布,相應的概率密度為正態(tài)密度.服從正態(tài)分布的隨機變量統(tǒng)稱為正態(tài)變量.正態(tài)變量的分布函數(shù)為8/14/202352三.正態(tài)分布(NormalDistribution)若隨機正態(tài)分布是概率論中最重要的一個分布.高斯在研究誤差理論時曾用它來刻劃誤差,所以又稱為高斯分布.經驗表明,許多實際問題中的隨機變量,如測量誤差,炮彈落點的分布,人的身高,學生考試的成績,農作物的產量,產品的尺寸等都可以認為服從正態(tài)分布.在理論上,正態(tài)分布具有很多優(yōu)良的性質,許多分布都可以用正態(tài)分布來逼近,還有一些分布可以由正態(tài)分布來導出.8/14/202353正態(tài)分布是概率論中最重要的一個分布.高斯在研究誤差理若則稱服從標準正態(tài)分布.其概率密度函數(shù)通常用表示,分布函數(shù)記作的圖形如圖所示.8/14/202354若則稱服從標準正態(tài)分布.其概率密度函數(shù)通常用表示,分布函數(shù)記標準正態(tài)密度的圖形8/14/202355標準正態(tài)密度的圖形8/1/20235正態(tài)密度的幾何特性：(1)關于直線對稱,并在達到最大值大,圖形就扁，(2)反之,小,圖形就尖,這一點可由上圖看出.8/14/202356正態(tài)密度的幾何特性：(1)關于直線對稱,并在達到最大值大,標準正態(tài)分布的分布函數(shù)可通過查書后的附表得到.但是表中只列出了時的分布函數(shù)值,對于時的情形,可利用下面的公式計算問題：對于一般的正態(tài)分布,如何計算其分布函數(shù)的值?設其分布函數(shù)為則8/14/202357標準正態(tài)分布的分布函數(shù)可通過查書后的附表得到.但是表中只列出于是,有通常稱這個公式為正態(tài)概率計算公式,它把一般正態(tài)變量的概率計算轉換為標準正態(tài)分布來計算.8/14/202358于是,有通常稱這個公式為正態(tài)概率計算公式,它把一般正更進一步的，還有下面的結論。若則引理

證明8/14/202359更進一步的，還有下面的結論。若則引理證明8/1/設,則有即,X落在內幾乎是肯定的事.這就是所謂的“”法則.8/14/202360設,則有即,X落在

例5由歷史記錄知,某地區(qū)總降雨量(單位:mm).求(1)明年降雨量在400mm~700mm之間的概率；(2)明年降雨量至少為300mm的概率;(3)明年降雨量小于何值的概率為0.1?解1)2)8/14/202361例5由歷史記錄知,某地區(qū)總降雨量(單位:mm).求3)設該值為則有即查表得從而8/14/2023623)設該值為則有即查表得從而8/1/202362第五節(jié)隨機變量函數(shù)的分布一.離散型隨機變量函數(shù)的分布關鍵是要確定兩點：1)可能的取值;2)取任一值的概率.本節(jié)的基本任務:已知隨機變量的分布(分布律或概率密度),求的概率分布.8/14/202363第五節(jié)隨機變量函數(shù)的分布一.離散型隨機變量函數(shù)的分布關鍵是解

X可能的取值為-3,1,5,9,并且所以X的分布律為-31590.20.10.30.4

例1設隨機變量的概率分布為-10120.20.10.30.4且分別求X,Y的概率分布.8/14/202364解X可能的取值為-3,1,5,9,并且所以X的分布律Y的可能取值為0,1,4,并且所以Y的分布律為0