第三章線性方程組向量組相關性習題課分析課件

第三章線性方程組習題課第三章線性方程組習題課第三章線性方程組向量組相關性習題課分析課件定義1.線性組合2.線性表出定義1.線性組合2.線性表出定義定義3.線性相關定義:如果向量組中有一向量稱為線性相關的.可經(jīng)其余向量線性表出，則向量組定義：向量組稱為線性相關如果存在

P上不全為零的數(shù)

使3.線性相關定義:如果向量組4.線性無關定義：若向量組不線性相關，則稱若不存在P中不全為零的數(shù)，使

向量組為線性無關的.即則稱向量組為線性無關的.必有等價的，對于一個向量組若由則稱向量組為線性無關的.4.線性無關定義：若向量組線性相關性的性質(zhì)1）一向量組線性相關的充要條件是其中至少有一個向量可由其余向量線性表出.

部分相關->整體相關（整體無關->部分無關）線性相關性的性質(zhì)1）一向量組線性相關的充要條件是其中至少有一短向量線性無關，則加長向量線性無關；長向量線性相關，則縮短向量線性相關短向量線性無關，則加長向量線性無關；定理2設與為兩個i)向量組可經(jīng)線性表出；則向量組必線性相關.ii)向量組，若推論1

若向量組

可經(jīng)向量組

線性表出，且

線線性無關，則

推論2

任意

n＋1個

n

維向量必線性相關.

推論3兩個線性無關的等價向量組必含相同個數(shù)的向量定理2設與定義5.向量組的秩定義5.向量組的秩等價的向量組的秩相等．定理矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩．定理設向量組B能由向量組A線性表示，則向量組B的秩不大于向量組A的秩．推論１等價的向量組的秩相等．定理矩陣的秩等于它的列向量組的推論：一個向量組的任意兩個極大無關組都等價.命題2：一個向量組的任意兩個極大無關組都含有

相同個數(shù)的向量.命題1：向量組和它的任一極大無關組等價.極大無關組的性質(zhì)1）一個向量組的極大無關組不是唯一的.2）一個線性無關的向量組的極大無關組是其自身.注：推論：一個向量組的任意兩個極大無關組都等價.命題2：一個向向量組的秩的性質(zhì)一個向量組線性相關的充要條件是它的秩＜它所含向量個數(shù).1）一個向量組線性無關的充要條件是它的秩與它所含向量個數(shù)相同；2）等價向量組必有相同的秩.反之，有相同的秩的兩個向量組不一定等價.3）若向量組可經(jīng)向量組

線性表出，則秩

秩

向量組的秩的性質(zhì)一個向量組線性相關的充要條件是它的秩＜它所6.矩陣的秩矩陣的行秩與矩陣的列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩，定義1.設，則定理5設，

則6.矩陣的秩矩陣的行秩與矩陣的列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩，定義1.推論1齊次線性方程組有非零解系數(shù)矩陣的行列式=0只有零解個級子式不等于0，且所有級子式等于0．定理6

矩陣的秩為的充要條件是中有一推論1齊次線性方程組有非零解系數(shù)矩陣7線性方程組定理7

線性方程組有解的充分必要條件是的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等，即7.1齊次線性方程組解的性質(zhì)；基礎解系1.基礎解系的條件2.基礎解系的性質(zhì)：與基礎解系等價的線性無關組任意n-r個線性無關的解向量3.基礎解系的求法7線性方程組定理7線性方程組有解的充分必要條件是的系數(shù)矩7.2非齊次線性方程組解的性質(zhì)解的結(jié)構(gòu)推論非齊次線性方程組（3）在有解的條件下，解是唯一的充要條件是它的導出（4）只有零解.7.2非齊次線性方程組解的性質(zhì)推論非齊次線性方程組（3）在一、向量組線性關系的判定二、求向量組的秩三、基礎解系的證法四、解向量的證法典型例題一、向量組線性關系的判定二、求向量組的秩三、基礎解系的證法四一、向量組線性關系的判定一、向量組線性關系的判定研究這類問題一般有兩個方法方法1從定義出發(fā)整理得線性方程組研究這類問題一般有兩個方法方法1從定義出發(fā)整理得線性方程組第三章線性方程組向量組相關性習題課分析課件方法２利用矩陣的秩與向量組的秩之間關系判定方法２利用矩陣的秩與向量組的秩之間關系判定例１研究下列向量組的線性相關性解一例１研究下列向量組的線性相關性解一整理得到整理得到解二解二分析分析證明證明第三章線性方程組向量組相關性習題課分析課件證明向量組的一個部分組構(gòu)成極大線性無關組的基本方法就是：分析根據(jù)極大線性無關組的定義來證，（本身線性無關，其余向量可由其線性表出）它往往還與向量組的秩相聯(lián)系．證明向量組的一個部分組構(gòu)成極大線性無分析根據(jù)極大線性無證明證明第三章線性方程組向量組相關性習題課分析課件證明：只需證明向量部分組線性無關即可，兩向量組等價，具有相同的秩因為向量組個數(shù)=秩，則該向量組線性無關即證證明：向量組(I)的極大無關組可由向量組(II)線性表出，而且(II)的極大無關組與(II)等價，即，向量組(I)的極大無關組可由(II)的極大無關組線性表出，(I)的極大無關組線性無關，由定理2的推論1，知，R(I)<=R(II)證明：只需證明向量部分組線性無關即可，證明：向量組(I)的極證明：兩向量組等價，具有相同的秩n因為向量組個數(shù)=秩，則該向量組線性無關即證證明2：R(a1,a2,…an)=r<=n，R(II)=n,向量組II,可由向量組(I)線性表出，所以R(II)=n<=R(I)=r所以r=n因此(I)線性無關即證證明：證明2：證明：必要性：已知：向量組I線性無關，結(jié)論:任一n維向量可被向量組(I)線性表出。向向量組I中任意添加一向量，構(gòu)成的新向量組共有n+1個n維向量構(gòu)成，線性相關（定理2推論2）證明：充分性：已知：任一n維向量可被向量組(I)線性表，結(jié)論:出向量組I線性無關。任一n維向量可被向量組I線性表出，則n維單位向量也可被其線性表出，由(t13)可知，向量組I線性無關證明：必要性：已知：向量組I線性無關，結(jié)論:任一n維向量可證第三章線性方程組向量組相關性習題課分析課件求一個向量組的秩，可以把它轉(zhuǎn)化為矩陣的秩來求，這個矩陣是由這組向量為行（列）向量所排成的．如果向量組的向量以列向量的形式給出，把向量作為矩陣的列，對矩陣作初等行變換，這樣，不僅可以求出向量組的秩，而且可以求出極大線性無關組．二、求向量組的秩若矩陣A經(jīng)過初等行變換化為矩陣B，則A和B中任何對應的列向量組都有相同的線性相關性．求一個向量組的秩，可以把它轉(zhuǎn)化為矩陣的秩來求，如果向量組的向解解第三章線性方程組向量組相關性習題課分析課件第三章線性方程組向量組相關性習題課分析課件例5證明與基礎解系等價的線性無關的向量組也是基礎解系．三、基礎解系的證法分析(3)方程組的任一解均可由該向量組線性表示．(1)該組向量都是方程組的解；(2)該組向量線性無關；要證明某一向量組是方程組的基礎解系，需要證明三個結(jié)論:例5證明與基礎解系等價的線性無關的向量組三、基礎解系的證法證明證明

注當線性方程組有非零解時，基礎解系的取法不唯一，且不同的基礎解系之間是等價的．注當線性方程組有非零解時，基礎解系的取四、解向量的證法四、解向量的證法證明證明第三章線性方程組向量組相關性習題課分析課件第三章線性方程組向量組相關性習題課分析課件第三章線性方程組向量組相關性習題課分析課件注意(1)本例是對非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)作進一步的分析和討論，即非齊次線性方程組一定存在著個線性無關的解，題中(2)的證明表明了它的存在性．

(3)對非齊次線性方程組，有時也把如題中所給的個解稱為的基礎解系，所不同的是它的線性組合只有當線性組合系數(shù)之和為1時，才是方程組的解．

(2)對齊次線性方程組，當時，有無窮多組解，其中任一解可由其