彈性力學及有限元法

彈性力學及有限元法第1頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月學習目標了解彈性力學的基本假設(shè)；掌握彈性力學的基本概念；掌握彈性力學問題的實質(zhì)及其基本方程之間關(guān)系；掌握邊界上的位移和應(yīng)力邊界條件的建立，及圣維南原理的應(yīng)用；了解虛位移原理；掌握強度理論選用原則。2第2頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1彈性力學基本假設(shè)由于工程實際問題的復(fù)雜性是由多方面因素構(gòu)成的，如果不分主次地考慮所有因素，問題是十分復(fù)雜的，數(shù)學推導(dǎo)將困難重重，以至于不可能求解。根據(jù)問題性質(zhì)建立力學模型時，必須作出一些基本假設(shè)，忽略部分可以暫時不予考慮的因素，使研究的問題限制在一個方便可行的范圍之內(nèi)?；炯僭O(shè)是彈性力學討論問題的基礎(chǔ)。超出基本假設(shè)的問題將由固體力學的其他分支來討論，如非線性彈性力學，塑性力學，復(fù)合材料力學等?；炯僭O(shè)的必要性3第3頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月——假設(shè)所研究的整個彈性體內(nèi)部完全由組成物體的介質(zhì)所充滿，各個質(zhì)點之間不存在任何空隙?！冃魏笕匀槐３诌@種連續(xù)性。根據(jù)這一假設(shè)，物體的所有物理量，例如位移、應(yīng)變和應(yīng)力等均成為物體所占空間的連續(xù)函數(shù)。是宏觀假設(shè)，微觀上這個假設(shè)不可能成立。固體材料都是由微粒組成

工程材料內(nèi)部的缺陷1.1彈性力學基本假設(shè)1.連續(xù)性假設(shè)4第4頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月——假設(shè)彈性物體是由同一類型的均勻材料組成的。因此，物體各個部分的物理性質(zhì)都是相同的，不隨坐標位置的變化而改變?！?/p>

物體的彈性性質(zhì)處處都是相同的。根據(jù)這個假設(shè)，在處理問題時，可以取出物體的任意一個小部分討論，然后將分析結(jié)果應(yīng)用于整個物體。工程材料，例如混凝土顆粒遠遠小于物體的的幾何形狀，并且在物體內(nèi)部均勻分布，從宏觀意義上講，也可以視為均勻材料。對于環(huán)氧樹脂基碳纖維復(fù)合材料，不能處理為均勻材料。1.1彈性力學基本假設(shè)2.均勻性假設(shè)5第5頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1彈性力學基本假設(shè)3.各向同性假設(shè)——假定物體在各個不同的方向上具有相同的物理性質(zhì)，這就是說物體的彈性常數(shù)將不隨坐標方向的改變而變化。對于由晶體構(gòu)成的金屬材料，由于單晶體是各向異性的，微觀上顯然不是各向同性的。但是由于晶體尺寸極小，而且排列是隨機的，因此宏觀上，材料性能是顯示各向同性。當然，像木材，竹子以及纖維增強材料等，屬于各向異性材料。6第6頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1彈性力學基本假設(shè)4.完全彈性假設(shè)——對應(yīng)一定的溫度，如果應(yīng)力和應(yīng)變之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，而且這個關(guān)系和時間無關(guān)，也和變形歷史無關(guān)，稱為完全彈性材料。完全彈性分為線性和非線性彈性，這里彈性力學研究限于線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系。這就是說，彈性力學問題研究在胡克定理成立的條件之下。完全彈性假設(shè)使研究對象的材料彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或應(yīng)變的變化而改變。7第7頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1彈性力學基本假設(shè)5.小變形假設(shè)——假設(shè)在外力或者其他外界因素（如溫度等）的影響下，物體的變形與物體自身幾何尺寸相比屬于高階小量。在彈性體的平衡等問題討論時，可以不考慮因變形所引起的尺寸變化。忽略位移、應(yīng)變和應(yīng)力等分量的高階小量，使基本方程成為線性的偏微分方程組。

8第8頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1彈性力學基本假設(shè)6.無初應(yīng)力假設(shè)——假設(shè)物體處于自然狀態(tài)，即在外界因素（如外力或溫度變化等）作用之前，物體內(nèi)部沒有應(yīng)力。彈性力學求解的應(yīng)力僅僅是外力或溫度改變而產(chǎn)生的。9第9頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1彈性力學基本假設(shè)彈性力學的基本假設(shè)，主要包括彈性體的連續(xù)性、均勻性、各向同性、完全彈性和小變形假設(shè)等。這些假設(shè)都是關(guān)于材料變形的宏觀假設(shè)。彈性力學問題的討論中，如果沒有特別的提示，均采用基本假設(shè)。這些基本假設(shè)被廣泛的實驗和工程實踐證實是可行的。10第10頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2彈性力學基本概念外力（Load)內(nèi)力和應(yīng)力（Stress)位移（Displacement）應(yīng)變（Strain)主應(yīng)力（principalstress）和主平面（principalplane)11第11頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1、外力(Load)外力分為：體力(BodyForce)

面力(SurfaceForce)體力是作用于物體內(nèi)部各個質(zhì)點上的力:例如物體的重力，慣性力，電磁力等等；面力是作用于物體表面的作用力:例如風力，靜水壓力，物體之間的接觸力等；面力和體力大小用集度表示，即分別為物體單位體積或者單位面積的載荷。12第12頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1.體力矢量大小和方向？2.體力分量？3.量綱？1、外力：體力一般來講，物體內(nèi)部各點處的體力是不相同的。13第13頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1.面力矢量大小和方向？2.面力分量？3.量綱？1、外力：面力面力是表面坐標的函數(shù)。一般條件下，面力邊界條件是彈性力學問題求解的主要條件。14第14頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2、內(nèi)力與應(yīng)力1.內(nèi)力？2.應(yīng)力矢量？3.應(yīng)力矢量的特點？受外力作用，物體內(nèi)部各截面之間產(chǎn)生附加內(nèi)力，用一截面截開物體，其中一部分對另一部分的作用，表現(xiàn)為內(nèi)力，它們是分布在截面上分布力的合力。為物體在該截面上A點的應(yīng)力。過M點取截面的一部分，面積為ΔS，作用于其上的內(nèi)力為ΔF

，平均集度為ΔF/ΔS，其極限為15第15頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2、內(nèi)力與應(yīng)力1.內(nèi)力？2.應(yīng)力矢量？3.應(yīng)力矢量的特點？應(yīng)力矢量Pn的方向由內(nèi)力矢量ΔF確定，同時受ΔS方位變化的影響。通常將應(yīng)力沿截面的法線和切線方向分解為:正應(yīng)力σn剪應(yīng)力τn應(yīng)力必須說明其坐標和作用面的方位。16第16頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2、內(nèi)力與應(yīng)力1.內(nèi)力？2.應(yīng)力矢量？3.應(yīng)力矢量的特點？應(yīng)力分量應(yīng)力不僅和點的位置有關(guān)，和截面的方位也有關(guān)，稱為張量。在任意坐標系都具有協(xié)變性的量就是張量取一點平行于坐標平面的單元體，各面上的應(yīng)力沿坐標軸的分量稱為應(yīng)力分量。xyzo17第17頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2、內(nèi)力與應(yīng)力1.內(nèi)力？2.應(yīng)力矢量？3.應(yīng)力矢量的特點？應(yīng)力符號第一下標表示所在的平面，第二下標表示沿坐標軸的方向。σyτyxτyzxyzo符號規(guī)定：正面：單元體面的外法線與坐標軸同向負面：單元體面的外法線與坐標軸反向在正面上，應(yīng)力分量與坐標軸同向為正，反向為負。18第18頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月圖示單元體面為負面在法線為y的負面上，正應(yīng)力記為

,沿y軸反向為正，剪應(yīng)力τyx、τyz，沿x軸、z軸的反向為正。2、內(nèi)力與應(yīng)力1.內(nèi)力？2.應(yīng)力矢量？3.應(yīng)力矢量的特點？

xyzo19第19頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2、內(nèi)力與應(yīng)力1.內(nèi)力？2.應(yīng)力矢量？3.應(yīng)力矢量的特點？點的應(yīng)力狀態(tài)：一點所有截面的應(yīng)力矢量的集合取一個微小的六面體：獨立應(yīng)力分量：xyzo20第20頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2、內(nèi)力與應(yīng)力例1矩形薄板，板上受面力時，；時，；試繪出面力的方向。例2矩形薄板，板受面力如圖示，試寫出邊界條件。力的概念－舉例21第21頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2、內(nèi)力與應(yīng)力例3已知單元體各面上的應(yīng)力分量，試在單元上標出方向與數(shù)值。力的概念－舉例22第22頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月3、位移1.位移分量？物體內(nèi)部各點空間位置發(fā)生變化

M(x,y,z)——>M’(x,y,z)

位移：剛體位移變形位移點的位移矢量:位移是點的坐標的單值連續(xù)函數(shù)23第23頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4、應(yīng)變1.正應(yīng)變？2.切應(yīng)變？3.如何表示？應(yīng)變反映局部各點相對位置的變化，與應(yīng)力直接相關(guān)。棱邊的伸長和縮短棱邊之間夾角變化點的應(yīng)變矢量:線應(yīng)變剪應(yīng)變點的應(yīng)變狀態(tài)也是坐標的單值連續(xù)函數(shù)24第24頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月O點應(yīng)力狀態(tài)：斜截面的法線方向余弦：5.主應(yīng)力與主平面1）任意斜截面上的應(yīng)力設(shè)S為ΔABC的面積，則ΔOBC=lS

ΔOCA=mS

ΔOAB=nS設(shè)h為O點至斜面ABC的高，

ΔABC的法線方向的單位矢量可表示為

：

n=li+mj+nk

25第25頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月5.主應(yīng)力與主平面1）任意斜截面上的應(yīng)力微四面體在應(yīng)力矢量和體積力作用下滿足平衡條件，由x方向的平衡可得：

對于微分四面體單元，h與單元體棱邊相關(guān)，為趨近于零的極小量，因此同理26第26頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月5.主應(yīng)力與主平面2）主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力1）切應(yīng)力為零的微分面稱為主微分平面，簡稱主平面。

2）主平面的法線稱為應(yīng)力主軸或者稱為應(yīng)力主方向。3）主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。27第27頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月5.主應(yīng)力與主平面2）主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力設(shè)過點O與坐標軸傾斜的微分面ABC為主平面，其法線方向n的三個方向余弦分別為l，m，n，微分面上的應(yīng)力矢量

Pn，即主應(yīng)力的三個分量為px,py,pz。

根據(jù)主平面的定義，應(yīng)力矢量Pn

的方向應(yīng)與法線方向n一致，設(shè)Pn

為主應(yīng)力，則應(yīng)力矢量的三個分量與主應(yīng)力的關(guān)系為

px

=Pn

l,

py=Pn

m,

pz

=Pn

n

28第28頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月5.主應(yīng)力與主平面2）主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力px

=pnl,

py

=pnm,

pz

=pnn

方程組有非零解的條件求解主應(yīng)力29第29頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月5.主應(yīng)力與主平面2）主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力特征方程應(yīng)力張量元素構(gòu)成的行列式主對角線元素之和

應(yīng)力張量第一不變量行列式按主對角線展開的三個代數(shù)主子式之和應(yīng)力張量第二不變量應(yīng)力張量第三不變量30第30頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月5.主應(yīng)力與主平面2）主平面、應(yīng)力主方向與主應(yīng)力求解主應(yīng)力說明：1、受外力處于平衡的結(jié)構(gòu)內(nèi)，任意點有三個主應(yīng)力，且主平面相互垂直。２、主應(yīng)力值和方向只取決于受力狀態(tài)，與選取的坐標系無關(guān)。３、所有截面中，解得的三個實數(shù)根即為三個主應(yīng)力，將主應(yīng)力代入方程組，可得三個主方向。31第31頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3彈性力學基本方程平衡微分方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程物理方程32第32頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1.平衡微分方程外力和應(yīng)力關(guān)系平衡物體整體平衡，內(nèi)部任意部分也是平衡的。對于彈性體，必須討論一點的平衡。微分平行六面體單元33第33頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月平衡微分方程解釋微小六面體邊長dx,dy,dz單元體的體力X,Y,Z應(yīng)力是位置坐標的函數(shù)，所以34第34頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月平衡微分方程示意圖35第35頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月平衡微分方程靜力平衡條件

平衡微分方程Navier方程36第36頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2、幾何方程應(yīng)變和位移關(guān)系微六面體：MA=dxMB=dyMC=dz37第37頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2、幾何方程應(yīng)變和位移關(guān)系因此38第38頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2、幾何方程應(yīng)變和位移關(guān)系

切應(yīng)變與位移：因此39第39頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2、幾何方程應(yīng)變和位移關(guān)系

空間幾何方程：由幾何方程可知，已知位移函數(shù)u,v,w，則該點應(yīng)變分量確定。但是，應(yīng)變分量確定，無法求出位移分量。40第40頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月3、變形協(xié)調(diào)方程設(shè)ex=3x,ey=2y,gxy=xy,ez=gxz=gyz=0,求其位移。顯然該應(yīng)變分量沒有對應(yīng)的位移。要使這一方程組不矛盾，則六個應(yīng)變分量必須滿足一定的條件。以下我們將著手建立這一條件。

解：41第41頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月3、變形協(xié)調(diào)方程42第42頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月變形協(xié)調(diào)方程也稱變形連續(xù)方程，或相容方程。描述六個應(yīng)變分量之間所存在的關(guān)系式。同一平面內(nèi)的正應(yīng)變與剪應(yīng)變之間的關(guān)系（3個）：從幾何方程中消去位移分量，第一式和第二式分別對y和x求二階偏導(dǎo)數(shù)，然后相加可得3、變形協(xié)調(diào)方程43第43頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月不同平面內(nèi)的正應(yīng)變與剪應(yīng)變之間的關(guān)系(3個）：將幾何方程的四，五，六式分別對z，x，y求一階偏導(dǎo)數(shù)前后兩式相加并減去中間一式，則3、變形協(xié)調(diào)方程對x求一階偏導(dǎo)數(shù)，則44第44頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月3、變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學意義使3個位移為未知函數(shù)的六個幾何方程不相矛盾。變形協(xié)調(diào)方程的物理意義物體變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿足一定的關(guān)系，變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或嵌入現(xiàn)象。為使變形后的物體保持連續(xù)體，應(yīng)變分量必須滿足的關(guān)系。

45第45頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4、物理方程應(yīng)變和應(yīng)力關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系屬于材料性能稱為物理方程或者本構(gòu)方程單向拉伸或者扭轉(zhuǎn)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以通過實驗確定單向拉伸實驗可以測出彈性模量E

薄壁管扭轉(zhuǎn)實驗可以測定剪切彈性模量G復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)難以直接通過實驗確定46第46頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4、物理方程桿受拉沿受力方向引起伸長，同時垂直于力方向則引起縮短，實驗證明，在彈性范圍內(nèi)有

泊松比，也稱橫向變形系數(shù)。

應(yīng)變和應(yīng)力關(guān)系取一個單元體，在各正應(yīng)力作用下，沿Ｘ軸方向的正應(yīng)變：[])(E1

E

x321zyxzyxxxxEEssmssmsmseeee+-=--=++=47第47頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月廣義虎克定律

4、物理方程應(yīng)變和應(yīng)力關(guān)系剪應(yīng)變：

48第48頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月寫成矩陣形式：

簡記為其中，［Ｄ］為彈性矩陣，它完全取決于彈性系數(shù)Ｅ和μ。4、物理方程應(yīng)變和應(yīng)力關(guān)系49第49頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月彈性力學問題總結(jié)

位移應(yīng)變

和應(yīng)力和一、基本力學量：50第50頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月彈性力學問題總結(jié)二、基本方程和主要關(guān)系式：1.幾何方程（空間彈性結(jié)構(gòu)內(nèi)任一點P的位移與應(yīng)變的關(guān)系）直角坐標51第51頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月彈性力學問題總結(jié)52第52頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月彈性力學問題總結(jié)53第53頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1.4邊界條件應(yīng)力邊界條件位移邊界條件圣維南原理54第54頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月邊界條件應(yīng)力邊界條件：結(jié)構(gòu)在邊界上所受的面力與應(yīng)力分量之間的關(guān)系。由于物體表面受到表面力，如壓力和接觸力等的作用，設(shè)單位面積上的面力分量為Fsx、Fsy和Fsz

，物體外表面法線n的方向余弦為l，m，n。參考應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系，可得

應(yīng)力邊界條件：55第55頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)構(gòu)在邊界上位移為位置坐標的已知函數(shù)。結(jié)構(gòu)在一部分邊界上位移為位置坐標的已知函數(shù)，其它邊界上所受的面力為已知函數(shù)，或者結(jié)構(gòu)在邊界上部分面力分量和位移分量為位置坐標的已知函數(shù)。邊界條件

位移邊界條件：混合邊界條件：56第56頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月圣維南原理如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（即主矢量相同、對同一點的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但遠處所受的影響可以忽略不計。57第57頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月圣維南原理圣維南局部影響原理也可以表述為：如果物體的任一部分作用一個平衡力系，則此平衡力系在物體內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)力分布，僅局限于該力系作用的局部區(qū)域，在離該區(qū)域比較遠處，這種影響便急劇減少。58第58頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月圣維南原理（例）59第59頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1.5虛位移原理（虛功原理）虛位移：假定的、在約束條允許范圍內(nèi)，彈性體可能發(fā)生的、任意的、微小的位移，只說明位移產(chǎn)生的可能性，必須滿足變形協(xié)調(diào)條件和幾何邊界條件。變形勢能：彈性體受力變形后，彈性體內(nèi)部應(yīng)力在其應(yīng)變上所做的功。虛位移原理：若彈性體在已知的面力和體力的作用下處于平衡狀態(tài)，那么使彈性體產(chǎn)生虛位移時，所有作用在彈性體上的外力在虛位移上所做得虛功等于彈性體所具有的虛變形勢能。60第60頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月外力虛功：體力面力

彈性體的虛變形勢能：

虛功方程：虛位移原理解釋61第61頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1.7失效理論

一般應(yīng)力狀態(tài)下材料失效形式：屈服脆斷材料力學中，常用強度條件為：

材料何時以何種形式失效，不僅與主應(yīng)力的大小有關(guān)，而且與3個主應(yīng)力的比值有密切關(guān)系。假定無論何種應(yīng)力狀態(tài)下，材料只要發(fā)生相同形式的失效，其原因便是相同的。利用單向拉伸的試驗結(jié)果，即可建立一般應(yīng)力狀態(tài)下的失效判據(jù)。62第62頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月失效理論關(guān)于斷裂的強度理論：第一強度理論（最大拉應(yīng)力理論）當一個單元體的三個主應(yīng)力的最大拉應(yīng)力到達材料的拉應(yīng)力極限時，材料發(fā)生破壞。極限條件為：這個理論最大缺點是只考慮三個主應(yīng)力中的一個，其它兩個發(fā)生變化也不影響極限狀態(tài)，因此，不夠合理。實踐證明，這個理論與脆性材料的拉斷實驗相符.63第63頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于斷裂的強度理論：第二強度理論（最大伸長線應(yīng)變理論）該理論認為最大線應(yīng)變是引起材料斷裂破壞的主要因素，破壞條件為：

由物理方程可得：此理論可適用于脆性材料在雙向拉伸—