數(shù)列的證明（典型例題+跟蹤訓(xùn)練）【解答題搶分】2023年高考數(shù)學（新高考通用）解析版

【解答題搶分專題】備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學解答題典型例題+跟蹤訓(xùn)練（新高考通用）

專題10數(shù)列的證明

目錄一覽

一、梳理必備知識

二、典型例題講解

三、基礎(chǔ)知識過關(guān)

四、解題技巧實戰(zhàn)

五、跟蹤訓(xùn)練達標

六、高考真題銜接

一、梳理必備知識

1

1.等差數(shù)列的判定與證明方法

定義法an—an-\=d(n>2，〃CN*)o{a”}是等差數(shù)列

等差中項法2an=an_]+an+1(n>2,n￡N*)={afJ}是等差數(shù)列

通項公式法an=pn+q（p,q為常數(shù)）=是等差數(shù)列

前〃項和公式法S?=An2+Bn（A,8為常數(shù)）=｛z｝是等差數(shù)列

2.等比數(shù)列的判定與證明方法

若如一g（〃WN*）或""-q（n>2,?GN*）,q為非零常數(shù)，則｛a“｝

定義法ClnCln—\

是等比數(shù)列

中項公式法若數(shù)列｛小｝中，a/0且晶+i=a,「a"+2（〃CN*）,則｛a”｝是等比數(shù)列

若數(shù)列｛劣｝的通項公式z=b/c（c,q均為非零常數(shù)，〃GN*）,

通項公式法

則｛斯｝是等比數(shù)列

前n項和若數(shù)列｛端的前〃項和S產(chǎn)店"一楸為非零常數(shù),夕視,1),則｛姐

公式法是等比數(shù)列

3.數(shù)列中明與S“之間的關(guān)系：

⑸，(〃=1)

%=ce，、注意通項能否合并。

⑸-S0T,(〃22).

4.等差數(shù)列

(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，即%一%T=d,(n>2,

〃GN+),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。

(2)等差中項：若三數(shù)%4b成等差數(shù)列=4=史辿

2

(3)通項公式：an=a^(n-X)d=am+(n-m)d

或a“=p〃+q(p、g是常數(shù)).

，、4h,八八n(n-\\n(a.+a?)

(4)前〃項和公式：S=〃q+」——Ld=-^一U

"'22

(5)常用性質(zhì)

①若m+n=p+q(m,n,p,qeN*),則am+an=ap+aq.

②下標為等差數(shù)列的項(%,ak+m,ak+2m，…)，仍組成等差數(shù)列；

③數(shù)列口4+b｝(4力為常數(shù))仍為等差數(shù)列；

④若｛%｝、｛〃｝是等差數(shù)列，則｛而“｝、｛kan+pbn](k、P是非零常數(shù))、｛ap+"qMp,qsN*)....也成

等差數(shù)列。

⑤若等差數(shù)列｛怎｝的前〃項和s“,則S*、S2k-Sk、Sik-S2k...是等差數(shù)列.

5.等比數(shù)列

(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等

比數(shù)列。

(2)等比中項：若三數(shù)a、G、b成等比數(shù)列nG2=ab,(ab同號)，反之不一定成立。

nm

(3)通項公式：an=a｝q"-'=amq-

(4)前〃項和公式：S=.二，

〃M11

Y—q\—q

(5)常用性質(zhì)

①若加+〃=p+q(m,n,p,qeN+),貝!I%='q；

②4，%+2m，…為等比數(shù)列，公比為q"'(下標成等差數(shù)列，則對應(yīng)的項成等比數(shù)列)

③數(shù)列｛九%｝(4為不等于零的常數(shù))仍是公比為4的等比數(shù)列；

④若等比數(shù)列｛4｝的前〃項和S“，則S*、S2k-SkyS3k-S2k...是等比數(shù)列.

三、基礎(chǔ)知識過關(guān)

一、單選題

1.若數(shù)列｛q｝滿足3a,用=3%+1,則數(shù)列｛凡｝是()

A.公差為的等差數(shù)列B.公比為;的等比數(shù)列

C.公差為:的等差數(shù)列D.不是等差數(shù)列

【答案】C

【分析】對等式進行變形，結(jié)合等差數(shù)列的定義即可得出結(jié)果.

【詳解】解：因為％,向=34+1,所以°用=/+；,

即。,,+「見=；，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知：

數(shù)列｛?！埃秊橐?為公差的等差數(shù)列.

故選：C

2.設(shè)5“是數(shù)列｛叫的前〃項和，已知S,,=〃2(〃eN*),則數(shù)列｛4｝()

A.是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列

C.是等比數(shù)列，也是等差數(shù)列D.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列

【答案】B

【分析】根據(jù),與S,,的關(guān)系求出通項，然后可知答案.

22

【詳解】當〃=1時，q=S]=l,當"22時，an=Sn-Sn_｝=n-(M-1)=2M-1,

綜上，｛。“｝的通項公式為%=2〃-l,

"a?-a?_,=2M-1-[2(M-1)-1]=2

二數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列

同理，由等比數(shù)列定義可判斷數(shù)列｛q,｝不是等比數(shù)列.

故選：B

3."%+。9=2*'是"數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合充分條件與必要條件的證明即可得出答案.

【詳解】如果數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，根據(jù)等差中項的擴展可得一定有色+。9=%6，

反之生+%=2a6成立，不一定有數(shù)列｛??｝是等差數(shù)列，

故選：B.

4.數(shù)列｛%｝中，如果%=3"(〃=1,2,3,...),那么這個數(shù)列是

A.公差為2的等差數(shù)列B.公差為3的等差數(shù)列

C.首項為3的等比數(shù)列D.首項為1的等比數(shù)列

【答案】C

【解析】由：=亍=3,可得｛。,,｝為等比數(shù)列，進而可得本題答案.

【詳解】因為%=3"(〃=1,2,3「一)，所以4=3嗎=9M“T=3"\則有&=生=3,所以｛叫為等比數(shù)列,

an-\a\

且公比4=3,首項q=3.

故選：C

【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的判斷方法，屬基礎(chǔ)題.

5.在數(shù)列｛%｝中，a“+i=-3a“且生=-3,則。“=()

A.3"2B.(-3)7C.-3"TD.(-3)“T

【答案】D

【分析】由等比數(shù)列的定義知也,｝為等比數(shù)列，由得SJ的通項公式.

【詳解】Va?+1=-3a?,即：T=一3,

???｛*｝為等比數(shù)列，公比9=-3,

2

.?.%=a2-尸=(-3)x(-3)"-=(一3嚴

故選：D.

6.已知5,為數(shù)列｛%｝的前〃項和，若$2=6,。，川=2%,貝1JW0。=()

A.2"-4B.252-2C.2'00-2D.2101-2

【答案】D

【分析】利用=2%得到公比q=2,利用$2=6求出首項，利用求和公式求出答案.

【詳解】因為見+1=2?！埃詳?shù)列｛《,｝為等比數(shù)列，公比9=2,

所以$2=6+勿|=6,解得：4=2,

所以5儂=昨善=2⑶一2

故選：D

二、填空題

7.設(shè)數(shù)列｛““｝的首項4=-7,且滿足見+[=a“+2(〃eN),貝Ijq+%+…+%7=

【答案】153

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式可得數(shù)列｛““｝為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的前〃項和公式求解即可.

【詳解】解：根據(jù)勺+產(chǎn)氏+2得到數(shù)列｛%｝是首項與=-7,公差"==2的等差數(shù)列

則可+4-----bal7=17x(-7)+x2=153.

故答案為：153.

8.已知數(shù)列｛4“｝滿足：4=1,J-『一=l("22,"eN+),則。2必=.

1

【答案】

2021

【分析】根據(jù)已知條件，利用等差數(shù)列的定義判定數(shù)列,為首項為1,公差為1的等差數(shù)列，寫出通項

公式，進而得到數(shù)列｛對｝的通項公式，從而得解.

【詳解】—卜，又?￡-六

二2,〃￡N.),

...數(shù)列[十;為首項為1,公差為1的等差數(shù)列,

111

二丁〃，即.?%=畫

故答案為：獲？

9.已知數(shù)列｛4“｝滿足4+3%=0,%=81,則&的值是,

【答案】61

【分析】由條件可知，數(shù)列｛對｝是以-3為公比的等比數(shù)列，將公比代入%=81,求出生的值，用等比數(shù)列

前〃項和公式計算Ss即可.

【詳解】因為。"+3%_1=0,所以‘上=-3,即數(shù)列｛6,｝是以_3為公比的等比數(shù)列，%=。卜3)'=81,所以%=1,

an-\

1(1-(-3)5)244

怎=下田=丁=6「

故答案為：61

10.在數(shù)列｛q｝中，S,是其前〃項和，且S.=2%+1,則數(shù)列的通項公式%=.

【答案】a?=-r-',〃eN*.

fS],〃=1

【分析】利用勺=;°、，，求解數(shù)列的通項公式.

【詳解】當〃=1時，1=%=2%+1,解得：q=T,

令"=2時，S2=2a2+l,即％+出=2。2+1，解得：a2=O,-1=-2,

當〃22時，a?=S?-S,i=2a?+1-2a,,,,-1=2a?-2a,,..,

故見=2《i，

所以“22時，｛%｝為公比為2的等比數(shù)歹!J,

所以%=%/-2=-2X2"-2=-2"T,

顯然〃=1時，q=-1滿足=-2"-，

綜上：a?=-2"-',?>!.

故答案為：a?=-2'-',?€N*.

11.已知數(shù)列｛%｝的前〃項之和為5.,滿足S,=2S,i(〃N2),且q=l,則〃22時，氏=

【答案】2-2

【分析】先得到｛SJ是等比數(shù)列，求出S“=2"T,從而利用〃W2時，%=S,-S,T求出答案.

【詳解】?.?S“=2S"T(〃=2),5,=?,=1,

，｛S,,｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，

:.S“=2-',

時，a-"上

故答案為：2T.

四、解題技巧實戰(zhàn)

1.已知數(shù)列｛《,｝中，《=2,。用=q+2"+2,證明數(shù)列｛”,-2"｝為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項公式；

【答案】證明見解析；%=2"+25-1).

【解析】利用等差數(shù)列的定義進行證明，只要證明(。向-2")-(%-2")等于常數(shù)即可，然后利用等差數(shù)列

的通項公式求出勺-2",從而可得知

【詳解】證明：因為％印=%+2"+2

所以(a?+l-2"”)_(見-2")=(%+2"+2-*)--2")=2,

因為4一21=0,

所以數(shù)列｛%-2"｝為首項為0,公差為2的等差數(shù)列.

所以％-2"=0+2(〃-1),即%=2"+2(〃-1).

【點睛】此題考查等差數(shù)列的證明和通項公式的求解，屬于基礎(chǔ)題.

2.設(shè)S,,是數(shù)列｛叫的前〃項和，且q=T,*=S￡,/S.xO).

(1)證明：數(shù)列]是等差數(shù)列；

【答案】(1)詳見解析；

【分析】(1)首先根據(jù)?！癕與S用,S"的關(guān)系得到一一-9=1,即可證明數(shù)列?是等差數(shù)列；

>+13”[3〃.

【詳解】(1)因為,=4，。向=S￡s(S,尸0),

所以S.+1-s,=S"S”+|,

兩邊同除以S“S用得丁=-白=-1,

因為％=T,所以1=7,

因此數(shù)列｛1｝是首項為T,公差為-1的等差數(shù)列；

3.在數(shù)列｛q｝中，a,=4,an+]-4an-3n+\,?eN'.

⑴設(shè)“=%-〃，求證:數(shù)列物,｝是等比數(shù)列;

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)利用。用=4”“-3〃+1,化簡可知〃川=他,，進而可知數(shù)列出｝是首項為3、公比為4的等比

數(shù)列；

【詳解】(1)證明：???。田=4%-3〃+1,

b?+i=a?+l-(n+\)=4a?-3n+]-n-\=4(an-n)=4bn,

又，；t\=at-1=4-1=3,

數(shù)列｛4｝是首項為3、公比為4的等比數(shù)列；

4.設(shè)數(shù)列應(yīng)｝的前〃項和為S“，已知囚=1,“向=--S?(?eN*).

n

(1)證明：數(shù)列｛,｝是等比數(shù)列；

【答案】(1)見解析；(2)?；=(〃-1)2+1.

【詳解】試題分析：(1)利用。向。向=S.M-S,,推導(dǎo)出辿=2?2，由此能證明［2］是等比

數(shù)列；

試題解析：(D由%及ae=S“M-S,,，得心「5,=生吆3,

nn

ccc

整理，得〃5向=2(〃+1電，；.3^=2①，又？=1,

.?1｝｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列

考點：等比數(shù)列的定義；數(shù)列求和.

五、跟蹤訓(xùn)練達標

L(2022?四川?眉山市彭山區(qū)第一中學校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛4“｝滿足q=2,an=2--(n>2).

an-\

⑴求證：數(shù)列［七］是等差數(shù)列;

【答案】⑴證明見解析

【分析】(1)由題意可得。,7=1--L,左右同取倒數(shù)，整理可得--二=1,根據(jù)等差數(shù)列的定

義，即可得證.

⑴證明：由已知q=2,an-2----匚(〃22)得a“-1=1——,

an-\an-\

1*1a

-_n-\+1=1?1

所以4T1__L%-1a,TTa,Tf

所以」y-一二=1,

所以數(shù)列1丁\］是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.

2.(2021?貴州貴陽?統(tǒng)考二模)已知數(shù)列｛《,｝中，4=3,且滿足a“+La,,+2n+2,6“=a“-〃MeN)

(1)證明：數(shù)列也｝是等差數(shù)列，并求｛4｝的通項公式；

【答案】(D證明見解析，b?=n+\.(2)10.

【分析】（1）根據(jù)已有的遞推關(guān)系可得“+「4=1,從而可證數(shù)列｛a｝是等差數(shù)，求出首項后可求其通項公

式.

【詳解】⑴證明:因為。向=%+為+2,

所以-Y"+爐=對-/+1,故%也=1,

所以數(shù)列｛"｝是等差數(shù)列，且公差為1,

而4=q_l=2,故=2+（〃-1）=〃+1.

3.（2020?四川巴中?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛“"｝滿足"=2,%=2%+2叫

（1）證明：數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列；

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】（D由%=2%+2向變形得：爵=墨+1,可得證明.

【詳解】⑴由%=2%+2""變形得：蔚q+1

又q=2,故$1

,數(shù)列[祟）是以1為首項1為公差的等差數(shù)列.

4.（2023?廣東廣洲?統(tǒng)考二模）設(shè)數(shù)列｛”“｝的前〃項和為S,,,且S.=2%-2（〃eN*）.

⑴求｛%｝的通項公式；

【答案】⑴。"=2"

【分析】（1）利用。“=5“-，_1計算整理得。“=23,再利用等比數(shù)列的通項公式求解即可；

【詳解】⑴???S“=2a“-2（〃eN*）①，

.?.當“22時，S,i=2《i-2②，

①-②得4=2ati-2%，即??=2%,

又當〃=1時，〃[=S[=2q-2,解得《=2,

數(shù)列｛4｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

5.（2023?云南紅河?云南省建水第一中學?？寄M預(yù)測）記5“為數(shù)列｛%｝的前〃項和.已知一+〃=2an+1.

⑴證明：｛2｝是等差數(shù)列；

【答案】⑴證明見解析；

,[S.,w=1

【分析】（1）依題意可得25,+〃2=2叫1+〃，根據(jù)%=，作差即可得到%從而得

證；

2V

【詳解】（1）因為一+〃=2即+1,即25“+"2=2〃。,,+〃（$）,

n

當〃22時，2s.T+5-1）2=2（”-1）%T+（〃T）②，

22

①-②得，2S?+n-2S?^-（M-1）=2;;a?+n-2（M-l）a?_l-（n-1）,

即2a,+2〃-1=2以-+1,

即2（〃-l）a“-2（〃-l）a“T=2（〃-l）,所以?>2fineN*,

所以｛6｝是以1為公差的等差數(shù)列.

6.（2021?甘肅平?jīng)?靜寧縣第一中學校考模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S,,,且滿足端+2%=4S”,

〃wN*.

（1）求證：數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列；

（2）若，=卜0『-2%，求數(shù)列出｝的前〃項和7；,.

【答案】（1）證明見解析；【解析】（1）當〃22時，得到a3+2a,i=4S,i,作差得到%-。,-=2,進而得

到數(shù)列｛a“｝是等差數(shù)列；

【詳解】（D由題意，正項數(shù)列｛對｝的前〃項和為S“，且滿足d+2%=4S“，

當〃22,。3+2?！癬|=4S“_|,

作差可得-咄+2勺=4S.-4S,i=4??（?>2）,

整理得（4-a?.l）（a?+a?,l）=2（a?+%）,

所以。〃一為T=2（?>2）,

當〃=1時，，+2q=4q,所以q=0或2,

因為。">。所以q=2,

所以數(shù)列｛4｝是以2為首項，2為等公差的等差數(shù)列.

7.(2022?貴州貴陽?統(tǒng)考二模)記S”為數(shù)列｛%｝的前〃項和，已知%>0,0=34,且數(shù)列｛后｝是等差數(shù)列,

證明：｛對｝是等差數(shù)列.

【答案】證明見解析.

【分析】先根據(jù)病-何求出數(shù)列｛瘋｝的公差d,進一步寫出｛后｝的通項，從而求出｛4｝的通項公式，

最終得證.

【詳解】I?數(shù)列｛瘋｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為"=厄-網(wǎng)=如高-苑=用

:?厄=肥+(〃-1)弧=〃狐,(?eN*)

2

：.Sn=axn,(〃eN*)

22

...當〃N2時，an=Sn-S,_|=atn-^(n-l)=2atn-at

當”=1時，2qxl-q=q,滿足““=2印7-《，

，｛4｝的通項公式為a“=2q〃-q,(〃eN*)

4-.=(2w-4)-[24-1)-q]=2q

是等差數(shù)列.

【點睛】在利用a“=Sn-S“_\求通項公式時一定要討論"=1的特殊情況.

8.(2022?上海寶山?統(tǒng)考一模)已知數(shù)列｛q｝滿足q=l,a?=3a?_,+4(?>2).

⑴求證：數(shù)列｛/+2｝是等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛。,,｝的通項公式；

【答案】⑴證明見解析；

(2)%=3"-2；

【分析】(1)利用構(gòu)造法，得到q+2=3以一+2),可證明｛%+2｝是等比數(shù)列;

(2)根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，求出《,+2=3)進而可求｛““｝的通項公式；

【詳解】（1）%=3ai+4（〃*2）,等式兩邊同時加上2,

得%+2=3（凡_1+2）,又「aLl,q+2=3

則｛”"+2｝為首項是3,公比g=3的等比數(shù)列

（2）由（1）得，｛。,,+2｝為首項是3,公比4=3的等比數(shù)列，

an+2=3",故a"=3"-2.

9.（2022?遼寧?建平縣實驗中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝中，6=|且2%M=4%+"l（ceN）

⑴求證：數(shù)列為等比數(shù)列：

【答案】⑴證明見解析

【分析】（D計算得出。用+等=2,+g）,利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；

（2）求得a"=2"-利用分組求和法可求得S..

M1

⑴證明：因為2%+]=4%+〃-1,所以，an+l=2an+---,

貝！I%+等=2即+”=2（/檔），

又因為％+；=|+；=2,數(shù)列.“+野是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.

10.（2022?重慶沙坪壩,重慶八中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的首項4=2,且滿足%T+%=4X3".

⑴證明：｛見-3"｝是等比數(shù)列；

【答案】⑴證明見解析

【分析】（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為=-1,由此證得數(shù)列｛為-3"｝是等比數(shù)列.

an~5

<1）由%T+%=4X3",得.一3向=一（。"一3”），

又％=2,故％-3=-1,

故。向一3"“=一（%-3”戶0,

所以"”"一；'=T,

所以數(shù)列｛勺-3"｝是以-1為首項，T為公比的等比數(shù)列.

1L（福建省石獅市永寧中學2023屆高三上學期"月月考數(shù)學試題）在數(shù)列｛a,J中，4=1,%=3,

限=30e一+1.

⑴證明｛。向-6一〃｝為等比數(shù)列;

(2)求對.

【答案】⑴證明見解析

(2)。,,=2叫個

a

【分析】(D依題意可得-^i-(?+1)=2(a?it-a?-n),結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；

(2)由(1)可得a?+l-an-n=2"'',從而得到2"<+〃-1,最后用累加法即可求出乙，同時驗證%=1

是否滿足即可.

【詳解】(1)證明：由。"+2=3。向-2a“-"+1得4+2-?！?1-("+1)=2(%+|-%-")，

又。2-4-1=1,

所以｛。用-《,-〃｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列；

(2)解：由(1)可得/…"一"=2"'

a”-??,i~(?-1)=2"、，即&-a”-i=2"'+n-1,

a“_i-a"-2=2"3+(”-2),…，a2-a,=1+1,

用累加法即可得%-1=2"~+2”—+...+l+(n—l)+(n—2)+...+1,

即a,,-l=2"T-l+3/，

又q=1也滿足上式,

12.(2022?江蘇南京?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛a,,｝的前〃項和為S”，％=3,5?=2+a?+1.

⑴證明：數(shù)列⑸-2｝為等比數(shù)列；

【答案】⑴證明見解析；

【分析】(D根據(jù)S,與區(qū),的關(guān)系，結(jié)合已知等式，利用等比數(shù)列的定義進行證明即可;

【詳解】(1)因為S“=2+a.M=2+(S“M-S”)，所以2sLs…+2,

所以S“M-2=2(S,,-2),

S-2

因為E-2H0,所以S,-lwO,H=2,

故數(shù)列｛S,-2｝為等比數(shù)列，首項為2=1,公比為2；

13.(2022?內(nèi)蒙古通遼?統(tǒng)考二模)已知數(shù)列｛/｝的前”項和為S“，且2S“+l=3a”.

⑴證明：｛4｝為等比數(shù)列.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)由"=1可求得4的值，令〃22,由2s,+1=3q,可得2s+1=3%,兩式作差可推導(dǎo)出數(shù)列｛叫

為等比數(shù)列；

【詳解】(1)證明：因為2S,,+1=3”“，所以當〃=1時，2q+I=3q,可得q=l；

當〃22時，由2s“+1=3?！翱傻?s“t+1=3%,

所以2a“=3a?-3an_l(n>2),所以a“=3a,,...

即｛《｝是首項為1,公比為3的等比數(shù)列，所以，%=1X3"T=3"T.

14.(2023?云南昆明?統(tǒng)考一模)已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,4=；,且滿足(〃-1)，+2〃《用=0

⑴設(shè)a=也，證明：也｝是等比數(shù)列

n

【答案】(1)證明見解析

S1c

【分析】⑴由題設(shè)可得(〃-l)S,+2〃(“-g)=0,整理變形得—=；x',結(jié)合等比數(shù)列定義即可證

〃+12n

結(jié)論；

【詳解】(Q由題設(shè),(〃-1)，+S”)=0,則2〃5,川=(〃+1)5?,

所以生=；x2,即%=；6“，而

n+l2n2I2

故｛4｝是首項與公比都為3的等比數(shù)列.

六、高考真題銜接

1.(2021年全國高考甲卷數(shù)學(文)試題)記S“為數(shù)列｛q｝的前八項和，已知得＞0,%=34,且數(shù)列｛瘋｝

是等差數(shù)列，證明：｛4｝是等差數(shù)列.

【答案】證明見解析.

【分析】先根據(jù)病-"求出數(shù)列｛瘋｝的公差d,進一步寫出｛四｝的通項，從而求出｛4｝的通項公式，

最終得證.

【詳解】???數(shù)列｛卮｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為"=病-向=再成-用="

二7^7=?+(〃-1)百="而，(neN,)

2

Sn=a1n9(nGN*)

22

.?.當時，a?=S?-S?_I=a,H-?,(?-1)=2aln-iZl

當”=1時，2alxl-a1=a1,滿足

｛??｝的通項公式為a“,(neN*)

：?4一3=(2W-aJ-[2a1(M-l)-a1]=2a1

是等差數(shù)列.

【點睛】在利用-S,i求通項公式時一定要討論〃=1的特殊情況.

2C

2.(2022年全國高考甲卷數(shù)學(理)試題)記S”為數(shù)列｛a,,｝的前〃項和.已知二遼+〃=2a“+1.

n

⑴證明：｛勺｝是等差數(shù)列；

【答案】⑴證明見解析；

【分析】(1)依題意可得25,+〃2=2〃%+〃，根據(jù)%=，。、.，作差即可得到%從而得

IA1f-I，""

證；

【詳解】(1)因為巴+〃=2&+1，即2S,+〃2=2〃"+〃①,

當〃22時，2s“_1+("1)2=2(〃-1)%+(〃-1?

①一②得，2s“+”2-2S,_1-（“-if=2〃”“

即2?！?2〃-1=2na?-2（n-l）??_1+1,

即=2（〃-l）,所以。“-4_|=1,〃22且〃€1'1*,

所以｛勺｝是以I為公差的等差數(shù)列.

3.（2021年全國高考乙卷數(shù)學（理）試題）記5“為數(shù)列｛對｝的前〃項和，％為數(shù)列｛SJ的前〃項積，已知

（1）證明：數(shù)列出｝是等差數(shù)列；

（2）求｛%｝的通項公式.

3

-

2

【答案】（）證明見解析；（）1

12%=<>2

?-

\!+1

2?2力2/J2/?2人

【分析】（1）由已知3+77=2得S“=―"-,KbnX0,取"=1,得自=；，由題意得

s?42b“-l22h,-\26,-12fe?-l

消積得到項的遞推關(guān)系蠟七=導(dǎo)，進而證明數(shù)列｛”,｝是等差數(shù)列；

3.

->?=1

（）由（）可得，的表達式，由此得到“的表達式,然后利用和與項的關(guān)系求得與=

21S]

,?>2

〃（/7+1）

【詳解】（D［方法一］:

由已知U+:=2得^且女產(chǎn)0，b產(chǎn)；,

取〃=1,由S、=）得4=5,

由于。為數(shù)列｛SJ的前n項積,

2b\2b22b,

所以=b",

2b「12b“-1

2b\2瓦2%

所以=%

24-1lb2-\2%-1

2aM

所以--姐

2bM-1b“'

由于配產(chǎn)0

所以焉即%其中

所以數(shù)列也｝是以4=；為首項，以為