2023年北京西城區(qū)高三二模數(shù)學試題及答案

2023北京西城高三二模數(shù)學2023.5本試卷共6頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）復數(shù)z=i+i)的虛部為（B）?1（D）?i（A）1（C）i（2）已知集合A{x|1=?x≤，B={x|3x1}，則A≤（A）[?0)（B）(?,0)D(?,1]（）（C）[1]?（3）已知拋物線C與拋物線y24x關(guān)于的準線方程是=yC（A）x（C）x=?=?2（B）x（D）x==211（4）在△ABC中，1,==A=，則=（A）1（B）1?（C）2（D）?221（5）設a=，b=lg32，c=lg6，則32（A）a（C）abcc（B）bacbcab（D）（6）將邊長為2的正方形ABCD沿對角線AC折起，折起后點D記為D．若=2，則四面體ABCD的體積為222（A）（B）33（C）22（D）2（7）已知數(shù)軸上兩點O,P的坐標為O(0),P(70)，現(xiàn)O,P兩點在數(shù)軸上同時相向運動．點O21P的運動規(guī)律為每秒運動5O,P（A）(40)（B）(35)1（C）(30)（D）(20)f(x)為偶函數(shù)”的f(x)=sin(x+)f(=f（8）已知函數(shù)．則“”是“（A）充分而不必要條件（C）充分必要條件（B）必要而不充分條件（D）既不充分也不必要條件（9）某放射性物質(zhì)的質(zhì)量每年比前一年衰減5%，其初始質(zhì)量為0，10年后的質(zhì)量為mm，則下列各數(shù)中與最接近的是0（A）70%（C）60%（B）65%（D）55%（10）在坐標平面內(nèi)，橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點．點P從原點出發(fā)，在坐標平面內(nèi)跳躍行進，每次跳躍的長度都是5且落在整點處．則點P到達點Q(33,33)所跳躍次數(shù)的最小值是（A）9（C）11（B）10（D）12第二部分（非選擇題共分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。1x?2（）函數(shù)f(x)=+x?1的定義域為．121499（12）設等比數(shù)列{a}nS，a=，a=2，則a=；使S≥5n成立的nn1100n的最小值為．4345（13）在△ABC中，若a=2，A=?，cosB=，則b=．（14）已知兩點F(1,0),F0)．點?P(cos,sin)滿足||||?=PF1F2，則的面積是；2的1212一個取值為．11+xl:yb和曲線C:y==+（15）已知直線，給出下列四個結(jié)論：2①存在實數(shù)k和b，使直線l和曲線C沒有交點；②存在實數(shù)k，對任意實數(shù)b，直線l和曲線C恰有1個交點；③存在實數(shù)b，對任意實數(shù)k，直線l和曲線C不會恰有2個交點；④對任意實數(shù)k和b，直線l和曲線C不會恰有3個交點．其中所有正確結(jié)論的序號是．2三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（1613分）如圖，在直三棱柱ABCABC中，?M,N,P分別為的中點．AB,BC,1B1111（Ⅰ）求證：∥平面1MN；（Ⅱ）若ABAC,AAABAC2，求直線⊥===BC與平面所成角的正弦1MN111值．（1714分）π已知函數(shù)f(x)sin(2x=++)2x，其中||．再從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已2知，使f(x)存在，并完成下列兩個問題．（Ⅰ）求的值；ππ（Ⅱ）當x[?,]y=f(x)y=mm63πf()=1；6π條件②：?是f(x)的一個零點；12π條件③：f(0)=f()．3注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．（1813分）體重指數(shù)（，簡稱BMI）是國際上衡量人體胖瘦程度的一項常用指標．已知WH=，其中W表示體重（單位：H表示身高（單位：m≥，則身體處2于肥胖狀態(tài)．某企業(yè)為了解員工的身體狀況，從全體員工中隨機抽取30人，測量他們的體重（單位：）和身高BMI=283假設用頻率估計概率．（Ⅰ）該企業(yè)員工總數(shù)為1500人，試估計該企業(yè)員工身體處于肥胖狀態(tài)的人數(shù)；（Ⅱ）從該企業(yè)身體處于肥胖狀態(tài)的員工中隨機抽取3人，設其中體重在80kg以上的人數(shù)為X，估計X的分布列和數(shù)學期望；(aa1a（1915分）x2y2a2b2（Ⅰ）求橢圓E的方程和離心率；已知橢圓E:+=1(ab0)的短軸長為22，一個焦點為1(?0)．（Ⅱ）設直線l:xmy??2=0與橢圓E,BMFM1C1m（2015分）已知函數(shù)f(x)=x2+ln(x+．1（Ⅰ）求f(x)在區(qū)間[?,0]上的最大值和最小值；2（Ⅱ）若(exa+ax)f(x)≥0恒成立，求實數(shù)的值．（2115分）給定奇數(shù)n≥3，設A是nn的數(shù)陣．表示數(shù)陣第i行第j列的數(shù)，1或?ij,aa=ija=a且ijji0ij=j,ii=設T=t,t,．定義變換ttt?1t．．將A經(jīng)過變換得到A，A經(jīng)過變換得到120t11t2，，s1經(jīng)過變換得到A．記數(shù)陣A中1的個數(shù)為T(r)．tsrA00101（Ⅰ）當n3時，設=A=0110，T=，寫出A,A，并求T,T(2)；AA0012?11（Ⅱ）當n5,s2時，對給定的數(shù)陣0，證明：≥=T(2)?T是4的倍數(shù)；AA004(n?2（Ⅲ）證明：對給定的數(shù)陣A，總存在T，使得T(s)≤．0A025參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40）（1）A（6）A（2）D（7）B（3）D（8）C（4）B（9）C（5）A（10）B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25）1（）（13）[1,2)（12）7132π14）（答案不唯一）26（15）①②③（注：選對1個給2分，選對2個給3分，全對給5分；錯選0三、解答題（共6小題，共85分）（16分）解：（Ⅰ）連接1M．因為M,N分別為AB,的中點，所以MN∥AC．在三棱柱ABC中，?∥C．1111所以AC，M,N,C,A四點共面．………1分1111因為∥AB，AB，=M,P分別為的中點，AB,1B11111所以BM∥1P，1P．所以四邊形1P為平行四邊形．所以∥MA1．=………4分………5分因為BP平面CMN1，MA1CMN平面1，所以∥平面1MN．………6分（Ⅱ）由題設平面ABC，所以⊥AA1⊥ABAA1⊥，．1因為AB⊥AC，所以AB,AC,兩兩垂直．．1A?如圖建立空間直角坐標系………7分所以(0,0,0),B(2,0),C(0,2,0),M0),N0),B(2,2),C(0,2)．11MN=0)，NC=(2)，BC=(．111my=?x+y+2z=0.m=(x,y,z)設平面1的法向量為，則即mNC=1令x=2，則y0，=z=1．于是m=(2,．………10分設直線BC與平面CMN所成角為，則111|m|m5sin=|m,BC|=．………13分11|16（17分）解：②．πππf(?)=sin(?+)+cos(?)=0．………1分1266π3所以?)=?．………2分………3分………4分………5分62ππ2πππ因為?，所以??．22π3363π所以?=?．6π所以=?．6π（Ⅱ）由（Ⅰ）f(x)=sin(2x?)+2x631=sin2x+cos2x………7分………8分22π=sin(2x+)．6ππππ5π因為?≤x≤，所以?≤2x+≤．………9分………分………12分………13分………14分63666πππ于是，當且僅當2x+=，即x=時，f(x)取得最大值1；626πππ12當且僅當2x+=?，即x=?時，f(x)取得最小值?．666πππ1又2x+=，即x=時，f()=sin=．66336211所以m的取值范圍是[?,)．22③．2π2πsin+0=sin(+)+．………1分………2分33π3整理得?)=?．6以下同②．2（18分）解：（Ⅰ）因為樣本中身體處于肥胖狀態(tài)的員工共6人，所以估計該企業(yè)員工身體處于肥胖狀態(tài)的人數(shù)為1500………2分6=300．………4分30（Ⅱ）因為樣本中身體處于肥胖狀態(tài)的員工共6人，且其中恰有2人體重在80kg以上，所以從該企業(yè)身體處于肥胖狀態(tài)的員工中隨機抽取1人，估計其體重在80kg以上2613=的概率為．………5分1由題設，X~B)；X的所有可能取值為2,3．371811349P(X=0)估計為?)3=；P(X=估計為1?)2=；3327311211P(X=2)估計為C2()2?)=；P(X估計為()=3=．……9分3339327所以X的分布列為XP02293149818421估計X的數(shù)學期望=0+++123=1．………分………13分279927（Ⅲ）a165或170=．（19分）c=解：（Ⅰ）由題設b22,=………3分222a=b+c.a=6,解得b=2.x2y2所以橢圓E的方程為+=1．………4分62c6E的離心率為=．………5分………6分a3（Ⅱ）設橢圓E的另一個焦點為F(2,0)，則直線l過點F．22x=+由得(m2+y2+4my?2=0．?4m………7分………9分x2+3y=62?2設(x,yB(x,y)，則y+y=，yy=．112212m2+12m2+33由題設，點M為線段FC的中點，所以點F和點C到直線的距離相等．11F2倍．………10分11?2又yy=0，12m2+31所以四邊形1BC=2△1AB=2|FF|(|y|+|y|)21212=4|y?y|=4(y+y)2?41y12．………分1212216m28m2+1+所以四邊形1BC=4+=86．………13分(m2+2m2+3(m22設t=m2+1，則t≥1．t14所以四邊形1BC=86=862≤43．………14分t+2)t++4t8當且僅當t=2，即m1m（20分）=1時，S=431．．四邊形1BC=15分………1122(x+)+21x+12=+=0，解：（Ⅰ）因為f(x)2x………2分………3分x+11所以f(x)在區(qū)間[?,0]上單調(diào)遞增．211所以f(x)的最小值為f(?)=?2；f(x)的最大值為f(0)=0．……5分24（Ⅱ）f(x)的定義域為(?+)．由（Ⅰ）知f(0)=0，且f(x)在(?+)上單調(diào)遞增，所以當x0時，f(x)0；當?1x0時，f(x)0．………7分設g(x)=xe+ax．若g(x)f(x)≥0恒成立，則當x0時，g(x)≥0；當?1x0時，g(x)≤0．所以g(0)=0，即e0+a00，解得=a=?1．………9分下面證明：當a=?1時，g(x)f(x)≥0恒成立．此時，g(x)=ex?x，g(x)=xe+sinx．當x0時，g(x)1x0．≥+所以g(x)在+)上單調(diào)遞增，g(x)g(0)=0．=………分當?1x0時，設h(x)g(x)．因為h(x)excos=+x0，所以g(x)在(0)上單調(diào)遞增．?π1e1又g(e?=1+sin(e??1+?=?0，g=10，sin()42所以存在唯一的x(?0)，使得g(x)0．=0………13分0所以g(x)在(x)上單調(diào)遞減，在(x,0)上單調(diào)遞增．001e1e12因為g(?=?cos(??0，且g(0)=0，所以當?1x0時，g(x)0恒成立．綜上，a=?1．………15分………2分（21分）0?11011解：（Ⅰ）由題設A=?1011，A=101．12101109所以T=4，T(2)=0．………4分A0A0（Ⅱ）設數(shù)陣A中第t行和第t列中1的個數(shù)均為x，?1的個數(shù)均為4x．?t2122t2經(jīng)過變換，A的第t行和第t列均有x個1變?yōu)?1，有4?x個?1變?yōu)?．t122tt222所以T(2)T=2(4tx)4(2x)．???=?A0A0tt222即T(2)T是的倍數(shù)．?4………9分A0A0m經(jīng)過tAm第tm1tm11tm1．m+11由（Ⅱ）可知，T(mT(m)+2[(n2tm1]T(m)2n+=??=+?2?4ytm1．A0A0A0………10分設當T=時，T(s)取得最小值T(s)，其中=t,t,1