水工結(jié)構(gòu)工程計(jì)算中的組合網(wǎng)格算法

水工結(jié)構(gòu)工程計(jì)算中的組合網(wǎng)格算法

科學(xué)、技術(shù)計(jì)算中存在許多接觸問題。例如，在地質(zhì)工程中會遇到在幾百米的地層中分析幾十厘米厚的斷層，重力壩和拱壩工程中的壩踵開裂、接縫張開和閉合、邊坡穩(wěn)定等，接觸區(qū)域常常又是工程的關(guān)鍵部位。對于這種問題，常規(guī)有限元計(jì)算經(jīng)常采用的方法是在局部加密以代替整體加密；但是局部加密常常會帶來有限元網(wǎng)格剖分十分困難，即便能剖分網(wǎng)格，粗細(xì)網(wǎng)格的過渡也會造成節(jié)點(diǎn)過多，矩陣病態(tài)的問題，使得計(jì)算精度降低或計(jì)算無法進(jìn)行。特別是三維問題，在六面體網(wǎng)格方面想要得到一個(gè)具有局部加密的高質(zhì)量的網(wǎng)格還是很不容易的。常規(guī)有限元解決混凝土壩的接觸問題，網(wǎng)格尺寸通常為10～30m，一旦一個(gè)單元發(fā)生拉開或剪切，則10～30m內(nèi)的混凝土全部拉開或發(fā)生剪切破壞。這對精確描述混凝土壩的接觸行為顯然是不夠的。為此，我們提出了用組合網(wǎng)格法(cgm)來解決混凝土壩的接觸問題。1采用粗網(wǎng)格求解組合網(wǎng)格算法采用兩套網(wǎng)格求解，在整個(gè)求解區(qū)域采用較粗網(wǎng)格，并且不考慮接觸的影響。即認(rèn)為：在整體區(qū)域是連續(xù)的，在接縫附近區(qū)域采用較細(xì)網(wǎng)格考慮接縫的影響，整體粗網(wǎng)格求解和局部細(xì)網(wǎng)格求解反復(fù)迭代，求得最終結(jié)果。其中，引入插值矩陣使得粗細(xì)兩套有限元網(wǎng)格無需嵌套，并能夠適用于非規(guī)則網(wǎng)格。即，粗細(xì)網(wǎng)格皆可獨(dú)立生成，彼此互不制約，同時(shí)能真正地應(yīng)用于工程實(shí)際問題。在整體區(qū)域和局部區(qū)域材料參數(shù)相同的條件下，許進(jìn)超和周愛輝教授1.1組合網(wǎng)格法的計(jì)算格式為了闡述方便，我們考慮如下的齊次邊值問題：式中，L問題對應(yīng)的虛功方程為：將式（2）中兩式相加得由此可得到如下組合網(wǎng)格法的計(jì)算格式：式中，u1.2算法步驟初始化：n=0,u步1：求v步2：求u2整體區(qū)域收斂控制準(zhǔn)則基于以上討論，本文選用北京飛箭有限元公司的有限元程序生成系統(tǒng)（FEPG）作為開發(fā)工具和平臺，開發(fā)、設(shè)計(jì)相應(yīng)的數(shù)值模擬分析程序軟件。為了數(shù)值分析的高效及可靠性，本文采用模塊化設(shè)計(jì)思路。程序設(shè)計(jì)分：整體區(qū)域不考慮接縫影響計(jì)算、局部區(qū)域考慮接縫影響計(jì)算、局部區(qū)域不考慮接縫影響計(jì)算、局部區(qū)域考慮接縫影響反力計(jì)算、局部區(qū)域不考慮接縫影響反力計(jì)算5個(gè)模塊。收斂控制準(zhǔn)則通過整體區(qū)域計(jì)算結(jié)果來實(shí)現(xiàn)。每個(gè)相對獨(dú)立模塊間的數(shù)據(jù)通訊由批處理指令自動(dòng)執(zhí)行。程序計(jì)算流程：(1）整體區(qū)域不考慮接縫影響計(jì)算。(2）讀入（1）的計(jì)算結(jié)果并插值作為局部區(qū)域邊界，局部區(qū)域考慮接縫影響計(jì)算。(3）讀入（1）的計(jì)算結(jié)果并插值作為局部區(qū)域邊界，局部區(qū)域不考慮接縫影響計(jì)算。(4）讀入（2）的計(jì)算結(jié)果，局部區(qū)域考慮接縫影響反力計(jì)算。(5）讀入（3）的計(jì)算結(jié)果，局部區(qū)域不考慮接縫影響反力計(jì)算。(6）讀入（4）和（5）的計(jì)算結(jié)果并將（5）-（4）的值通過插值讀入（1）中，進(jìn)入下一流程，直至滿足收斂要求。軟件框架（見圖2）。3計(jì)算3.1靜力中斷3.1.1基于約束條件的乘子求解包含lagrange乘子的有限元方程：式中，A為剛度矩陣；U為位移項(xiàng)；F為右端載荷項(xiàng)；B表示位移與接觸力的相關(guān)矩陣；λ表示接觸力；g為點(diǎn)對中某端受約束的約束值。綜合式（7）、（8）得：對于等式約束，無需修正乘子λ，由式（9）直接求解乘子λ，利用求解得到的乘子λ帶入U(xiǎn)=A對于有摩擦的不等式約束，通過整體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換矩陣T，將乘子轉(zhuǎn)到局部坐標(biāo)系下λ式中，μ表示摩擦系數(shù)；c表示粘聚力；λ迭代結(jié)束后通過λ=T局部區(qū)域連續(xù)模塊和接縫模塊用一套網(wǎng)格，連續(xù)模塊用等式約束來實(shí)現(xiàn)，接縫模塊用不等式約束實(shí)現(xiàn)。3.1.2與組合網(wǎng)格法計(jì)算結(jié)果比較計(jì)算模型示意見圖3。模型參數(shù)：彈性模量E=1.0×10按照前面接觸問題的組合網(wǎng)格算法，在縫的附近取1個(gè)3m×3m幾何模型作為局部區(qū)域，整體區(qū)域不考慮縫的影響，整體區(qū)域粗網(wǎng)格尺寸為0.5m，局部區(qū)域細(xì)網(wǎng)格尺寸為0.1m（如圖4、5所示）。為了驗(yàn)證組合網(wǎng)格法計(jì)算結(jié)果的合理有效性，將整體加密（網(wǎng)格尺寸為0.1m）計(jì)算結(jié)果與組合網(wǎng)格法計(jì)算結(jié)果加以比較（見圖6）。從圖6可以看出，兩種方法得到節(jié)點(diǎn)對的開裂位移結(jié)果基本一致，說明組合網(wǎng)格法計(jì)算接觸問題算法是合理有效的。通過比較在靜力開裂情況下組合網(wǎng)格法與整體加密方法計(jì)算的節(jié)點(diǎn)對開裂位移，說明組合網(wǎng)格法在計(jì)算接觸類問題是有效可靠的，為下一步計(jì)算大型水工結(jié)構(gòu)中的壩踵開裂、大壩加高后在地震作用下的反應(yīng)以及橫縫接觸問題奠定了基礎(chǔ)。3.2各網(wǎng)格的組合網(wǎng)格法為了研究丹江口水庫加高后新老混凝土接觸面的地震反應(yīng)，在新老混凝土接觸面附近用細(xì)網(wǎng)格加密作為局部計(jì)算區(qū)域，而在整體區(qū)域上新老混凝土接觸面認(rèn)為是連續(xù)的，并不考慮接縫的影響，這樣可以在整體區(qū)域采用較粗的網(wǎng)格。整體區(qū)域粗網(wǎng)格尺寸在1m左右，其計(jì)算模型及網(wǎng)格示意如圖7。局部區(qū)域細(xì)網(wǎng)格尺寸為0.2m，其計(jì)算模型及網(wǎng)格示意如圖8。兩套網(wǎng)格相互獨(dú)立，按照前面接觸問題的組合網(wǎng)格法算法計(jì)算上述兩個(gè)獨(dú)立的區(qū)域。節(jié)點(diǎn)對開裂位移時(shí)程如圖9、10所示