江蘇省常州市14校聯(lián)盟2023年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．不等式x-1>4A．xx<-3 B．xx>52．下列關(guān)于積分的結(jié)論中不正確的是（）A． B．C．若在區(qū)間上恒正，則 D．若，則在區(qū)間上恒正3．已知X的分布列為X－101P設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為A． B．4 C．－1 D．14．已知面積為的等腰內(nèi)接于拋物線，為坐標(biāo)原點，，為拋物線的焦點，點.若是拋物線上的動點，則的最大值為（）A． B． C． D．5．在第二屆烏鎮(zhèn)互聯(lián)網(wǎng)大會中,為了提高安保的級別同時又為了方便接待，現(xiàn)將其中的五個參會國的人員安排酒店住宿，這五個參會國要在、、三家酒店選擇一家，且每家酒店至少有一個參會國入住，則這樣的安排方法共有A．種 B．種C．種 D．種6．從5種主料中選2種，8種輔料中選3種來烹飪一道菜，烹飪方式有5種，那么最多可以烹飪出不同的菜的種數(shù)為A．18 B．200 C．2800 D．336007．己知復(fù)數(shù)z滿足，則A． B． C．5 D．258．設(shè)，若是的等比中項，則的最小值為（）A．8 B． C．1 D．49．的展開式中的系數(shù)是（）A．58 B．62 C．52 D．4210．已知向量，，則（）A． B． C． D．11．曲線與直線圍成的封閉圖形的面積為()A． B． C． D．12．已知拋物線的焦點為F，點是拋物線C上一點，以點M為圓心的圓與直線交于E，G兩點，若，則拋物線C的方程是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則展開式中項的系數(shù)為______.14．若對任意實數(shù)，都有，則__________。15．若與的夾角為，，，則________.16．函數(shù)在其極值點處的切線方程為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，已知．（1）求證：；（2）若，求A的值．18．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，滿足，且，.（1）求，，的值；（2）猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法予以證明.19．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以直角坐標(biāo)系的原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為.（1）求圓的直角坐標(biāo)方程（化為標(biāo)準(zhǔn)方程）及曲線的普通方程；（2）若圓與曲線的公共弦長為，求的值.20．（12分）已知圓C經(jīng)過P(4，－2)，Q(－1，3)兩點，且圓心C在直線x＋y－1＝0上．(1)求圓C的方程；(2)若直線l∥PQ，且l與圓C交于點A，B且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，求直線l的方程．21．（12分）設(shè)橢圓：的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，且橢圓的長軸長為1．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線交橢圓于，兩點，（）為橢圓上一點，求面積的最大值．22．（10分）某學(xué)校課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生細(xì)心程度的關(guān)系，在本校隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生進(jìn)行研究.研究結(jié)果表明：在數(shù)學(xué)成績及格的60名學(xué)生中有45人比較細(xì)心，另外15人比較粗心；在數(shù)學(xué)成績不及格的40名學(xué)生中有10人比較細(xì)心，另外30人比較粗心.（I）試根據(jù)上述數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表：（II）能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與細(xì)心程度有關(guān)系？0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：，其中.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

不等式x-1>4等價于x-1<-4或x-1>4【詳解】x-1>4?x-1>4或x-1<-4?x>5或x<-3，故選：C【點睛】本題考查絕對值不等式的解法，考查絕對值不等式的等價條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。2、D【解析】

結(jié)合定積分知識，對選項逐個分析可選出答案.【詳解】對于選項A，因為函數(shù)是R上的奇函數(shù)，所以正確；對于選項B，因為函數(shù)是R上的偶函數(shù)，所以正確；對于選項C，因為在區(qū)間上恒正，所以圖象都在軸上方，故正確；對于選項D，若，可知的圖象在區(qū)間上，在軸上方的面積大于下方的面積，故選項D不正確.故選D.【點睛】本題考查了定積分，考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】由條件中所給的隨機(jī)變量的分布列可知EX=﹣1×+0×+1×=﹣，∵E（2X+3）=2E（X）+3，∴E（2X+3）=2×（﹣）+3=．故答案為：A．4、B【解析】

根據(jù)題意求得兩點關(guān)于對稱，得到直線的方程為，由的面積為，求得，再把過點N的直線方程為，代入，求得判別式求得，最后利用拋物線的定義，即可求解.【詳解】設(shè)等腰直角三角形的頂點，且，由，得，所以，即，因為，所以，即兩點關(guān)于對稱，所以直線的方程為，由，解得或，故，所以，因為的面積為，所以，過點N的直線方程為，代入可得，所以由，可得，此時直線的傾斜角為，過M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A，則，所以，所以直線的傾斜角為或時，此時的最大值為，故選B.【點睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中求得兩點關(guān)于對稱，合理利用拋物線的定義是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.5、D【解析】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①把5個個參會國的人員分成三組，一種是按照1、1、3；另一種是1、2、2；由組合數(shù)公式可得分組的方法數(shù)目，②，將分好的三組對應(yīng)三家酒店；由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①、五個參會國要在a、b、c三家酒店選擇一家，且這三家至少有一個參會國入住，

∴可以把5個國家人分成三組，一種是按照1、1、3；另一種是1、2、2

當(dāng)按照1、1、3來分時共有C53=10種分組方法；

當(dāng)按照1、2、2來分時共有種分組方法；

則一共有種分組方法；

②、將分好的三組對應(yīng)三家酒店，有種對應(yīng)方法；

則安排方法共有種；

故選D．【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類、分步計數(shù)原理的應(yīng)用，對于復(fù)雜一點的計數(shù)問題，有時分類以后，每類方法并不都是一步完成的，必須在分類后又分步，綜合利用兩個原理解決．6、C【解析】

根據(jù)組合定義以及分布計數(shù)原理列式求解.【詳解】從5種主料中選2種，有種方法,從8種輔料中選3種，有種方法,根據(jù)分布計數(shù)原理得烹飪出不同的菜的種數(shù)為，選C.【點睛】求解排列、組合問題常用的解題方法：分布計數(shù)原理與分類計數(shù)原理，具體問題可使用對應(yīng)方法：如(1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法.7、B【解析】

先計算復(fù)數(shù)再計算.【詳解】故答案選B【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡，復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題型.8、D【解析】∵是的等比中項，∴3=3a?3b=3a+b，∴a+b=1．a(chǎn)＞2，b＞2．∴==2．當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時取等號．故選D．點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤9、D【解析】

由題意利用二項展開式的通項公式，賦值即可求出．【詳解】的展開式中的系數(shù)是.選D.【點睛】本題主要考查二項式定理的展開式以及賦值法求展開式特定項的系數(shù)．10、A【解析】

先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，列出方程，求出.【詳解】由得，解得，故選A．【點睛】本題主要考查向量的加減法運(yùn)算以及向量平行的坐標(biāo)表示．11、B【解析】由，直線，令,可得或，曲線與直線交于點或，因此圍成的封閉圖形的面積，故選B.12、C【解析】

作，垂足為點D．利用點在拋物線上、，結(jié)合拋物線的定義列方程求解即可.【詳解】作，垂足為點D．由題意得點在拋物線上，則得．①由拋物線的性質(zhì)，可知，，因為，所以．所以，解得：．②．由①②，解得：（舍去）或．故拋物線C的方程是．故選C．【點睛】本題考查拋物線的定義與幾何性質(zhì)，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-2【解析】

利用定積分可求=2，則二項式為，展開式的通項：．令5-2r=-1，解得r=1．繼而求出系數(shù)即可．【詳解】∵=2，則二項式的展開式的通項：，令5-2r=-1，解得r=1．∴展開式中x-1的系數(shù)為.故答案為：-2．【點睛】本題考查二項式定理通項的應(yīng)用，根據(jù)通項公式展開即可，屬于基礎(chǔ)題.14、6【解析】

將原式變?yōu)?，從而可得展開式的通項，令可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：則展開式通項為：當(dāng)，即時，本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查利用二項式定理求解指定項的系數(shù)的問題，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出合適的形式來進(jìn)行展開.15、【解析】

，由此求出結(jié)果.【詳解】解：與的夾角為，，，.故答案為：.【點睛】本題考查向量的模的求法，考查向量的數(shù)量積公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】，令，此時函數(shù)在其極值點處的切線方程為考點：：導(dǎo)數(shù)的幾何意義.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）．【解析】試題分析：（1）已知的向量的數(shù)量積，要證明的是角的關(guān)系，故我們首先運(yùn)用數(shù)量積定義把已知轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，由已知可得，即，考慮到求證式只是角的關(guān)系，因此我們再應(yīng)用正弦定理把式子中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，即有，而這時兩邊同除以即得待證式（要說明均不為零）.（2）要求解的大小，一般是求出這個角的某個三角函數(shù)值，本題應(yīng)該求，因為（1）中有可利用，思路是.試題解析：(1)∵,∴,即.2分由正弦定理,得,∴.4分又∵,∴.∴即.6分(2)∵,∴.∴.8分∴,即.∴.10分由(1),得,解得.12分∵,∴.∴.14分考點：（1）向量的數(shù)量積的定義與正弦定理；（2）已知三角函數(shù)值，求角.18、（1），，（2）猜想，證明見解析.【解析】

1利用代入計算，可得結(jié)論；2猜想，然后利用歸納法進(jìn)行證明，檢驗時等式成立，假設(shè)時命題成立，證明當(dāng)時命題也成立．【詳解】1，且，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，或舍，當(dāng)時，，，或舍，，，；2由1猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時，，顯然成立，②假設(shè)時，結(jié)論成立，即，則當(dāng)時，由，有，，，或舍，時結(jié)論成立，由①②知當(dāng)，均成立．【點睛】本題考查了歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：驗證成立；假設(shè)成立；利用已知條件證明也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項一種常用求解的方法，屬中檔題．19、(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為,曲線的普通方程為;(2).【解析】分析：（1）由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可得圓的直角坐標(biāo)方程；消去參數(shù)即可得曲線的普通方程；（2）聯(lián)立圓C與曲線，因為圓的直徑為，且圓與曲線的公共弦長為，即公共弦直線經(jīng)過圓的圓心，即可得到答案.詳解：(1）由，得，所以，即，故曲線的直角坐標(biāo)方程為.曲線的普通方程為（2）聯(lián)立，得因為圓的直徑為，且圓與曲線的公共弦長為，所以直線經(jīng)過圓的圓心，則，又所以點睛：求解與極坐標(biāo)有關(guān)的問題的主要方法(1)直接利用極坐標(biāo)系求解，可與數(shù)形結(jié)合思想配合使用；(2)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系，用直角坐標(biāo)求解．使用后一種方法時，應(yīng)注意若結(jié)果要求的是極坐標(biāo)，還應(yīng)將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)．20、（1）（2）y＝－x＋4或y＝－x－3【解析】

（1）由圓的性質(zhì)知圓心在線段的垂直平分線上，因此可求得線段的垂直平分線的方程，與方程聯(lián)立，可求得圓心坐標(biāo)，再求得半徑后可得圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)的方程為．代入圓方程，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝m＋1，x1x2＝－1．而以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，則有，即，由此可求得，得直線方程．【詳解】(1)∵P(4，－2)，Q(－1，3)，∴線段PQ的中點M，斜率kPQ＝－1，則PQ的垂直平分線方程為，即．解方程組得∴圓心C(1，2)，半徑．故圓C的方程為．(2)由l∥PQ，設(shè)l的方程為．代入圓C的方程，得．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝m＋1，x1x2＝－1．故y1y2＝(m－x1)(m－x2)＝m2＋x1x2－m(x1＋x2)，依題意知OA⊥OB，則．∴(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝2，于是m2＋2x1x2－m(x1＋x2)＝2，即m2－m－12＝2．∴m＝4或m＝－3，經(jīng)檢驗，滿足Δ>2．故直線l的方程為y＝－x＋4或y＝－x－3．【點睛】本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查