典型環(huán)節(jié)數(shù)學模型與階躍響應課件

第四節(jié)典型環(huán)節(jié)數(shù)學模型與階躍響應一、典型環(huán)節(jié)的數(shù)學模型二、傳遞函數(shù)與階躍響應任何一個復雜的系統(tǒng)都可看成是由一個典型環(huán)節(jié)組合而成的。掌握這些典型環(huán)節(jié)的特點就可以方便地分析較復雜系統(tǒng)內部各單元間的關系。第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第四節(jié)典型環(huán)節(jié)數(shù)學模型與階躍響應一、典型環(huán)節(jié)的數(shù)學模型二、1常見的典型環(huán)節(jié)包括：比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)等。1、比例環(huán)節(jié)（1）特點：輸出量與輸入量成正比，無失真和延時；（2）微分方程：式中，K為比例環(huán)節(jié)的放大系數(shù)(3)傳遞函數(shù)：一、二典型環(huán)節(jié)第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型常見的典型環(huán)節(jié)包括：比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、2整理過程：將上式兩邊取拉氏變換有

C(s)=KR(s)整理后得該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)G(s)，即當r(t)=1(t)時，有得到

c(t)=L-1［C(s)］=K

第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型整理過程：將上式兩邊取拉氏變換有當r(t)=1(t)時，有3（4）比例環(huán)節(jié)方框圖及響應曲線比例環(huán)節(jié)方框圖及響應曲線如圖(b)所示?？梢?比例環(huán)節(jié)的輸出量能立即響應輸入量。（5）常見的比例環(huán)節(jié)，如電阻分壓器、比例運算放大器、齒輪減速器和測速發(fā)電機等，如圖顯示。比例環(huán)節(jié)是最基本的環(huán)節(jié)。第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（4）比例環(huán)節(jié)方框圖及響應曲線第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型4圖比例環(huán)節(jié)方框圖及響應曲線

(a）比例環(huán)節(jié)方框圖；(b）比例環(huán)節(jié)單位階躍響應第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型圖比例環(huán)節(jié)方框圖及響應曲線5圖常見的比例環(huán)節(jié)第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型圖常見的比例環(huán)節(jié)第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型62.積分環(huán)節(jié)(IntegralElement)輸出量與輸入量對時間的積分成正比的環(huán)節(jié)稱為積分環(huán)節(jié)，如圖(a)所示，其微分方程為式經(jīng)拉氏變換，并整理可得該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為式中，T為積分時間常數(shù)。第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2.積分環(huán)節(jié)(IntegralElement)7當輸入量r(t)=1(t)時，輸出量C(s)為則輸出量響應為第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型當輸入量r(t)=1(t)時，輸出量C(s)為則輸出量響8圖積分環(huán)節(jié)方框圖及響應曲線

(a）積分環(huán)節(jié)方框圖；(b）積分環(huán)節(jié)單位階躍響應第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型圖積分環(huán)節(jié)方框圖及響應曲線9積分環(huán)節(jié)的方框圖與階躍響應曲線如上圖所示?？梢?積分環(huán)節(jié)的輸出量隨時間的變化而不斷增加，其斜率為1/T。積分環(huán)節(jié)是過程控制中最重要的環(huán)節(jié)，常見的積分環(huán)節(jié)如下圖所示。第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型積分環(huán)節(jié)的方框圖與階躍響應曲線如上10

3.理想微分環(huán)節(jié)(DerivativeElement)

輸出量與輸入量的導數(shù)成正比的環(huán)節(jié)稱為微分環(huán)節(jié),其微分方程為式中，T為微分時間常數(shù)。經(jīng)拉氏變換，得該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型3.理想微分環(huán)節(jié)(Derivati11當輸入量r(t)=1(t)時，微分環(huán)節(jié)輸出量C(s)為則響應式中，δ(t)為單位脈沖函數(shù)。第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型當輸入量r(t)=1(t)時，微分環(huán)節(jié)輸出量C(s)為則響12圖微分環(huán)節(jié)方框圖及響應曲線

(a）微分環(huán)節(jié)方框圖；(b）微分環(huán)節(jié)單位階躍響應第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型圖微分環(huán)節(jié)方框圖及響應曲線第三章13c(t)方框圖及階躍響應曲線如上圖中的c(t)所示，c(t)是理想微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應曲線，其在t=0的時刻，輸出c(t)從0→∞，再從∞→0。實際上微分特性總是含有慣性的，實際微分環(huán)節(jié)的微分方程為其傳遞函數(shù)為第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型c(t)方框圖及階躍響應曲線如上圖中14則單位階躍響應c′(t)的輸出量變化曲線如圖(b)所示。第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型則單位階躍響應c′(t)的輸出量變化曲線如圖(b)所示。154.慣性環(huán)節(jié)(InertialElement)

含有一個儲能元件和一個耗能元件的環(huán)節(jié)，其輸出量與輸入量的微分方程為式中，T為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)；K為慣性環(huán)節(jié)的放大系數(shù)。第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型4.慣性環(huán)節(jié)(InertialElement)式中，16對上式作拉氏變換并整理，得慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)G(s)為慣性環(huán)節(jié)的方框圖如圖(a)所示。第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型對上式作拉氏變換并整理，得慣性環(huán)節(jié)17圖慣性環(huán)節(jié)方框圖及響應曲線

(a）慣性環(huán)節(jié)方框圖；(b）慣性環(huán)節(jié)單位階躍響應第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型圖慣性環(huán)節(jié)方框圖及響應曲線第三章18當輸入量r(t)=1(t)時，輸出量C(s)為可得其單位階躍響應為

c(t)=L-1［C(s)］=K(1-e-t/T)第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型當輸入量r(t)=1(t)時，輸出量C(s)為可得其單位19當K=1時，慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應曲線如上圖(b)所示。對慣性環(huán)節(jié)的階躍響應曲線進行分析，可得C(0)=0，C(T)=0.632，C(3T)=0.95，C(4T)=0.982，C(∞)→1。因此，慣性環(huán)節(jié)在輸入量突變時，輸出量不能突變，只能隨著時間的推移按指數(shù)規(guī)律變化，這表明該環(huán)節(jié)具有慣性特點。常見的慣性環(huán)節(jié)如下圖所示。第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型當K=1時，慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響20圖常見的慣性環(huán)節(jié)第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型圖常見的慣性環(huán)節(jié)第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型215.一階微分環(huán)節(jié)(ProportionalDerivetiveElement)

一階微分環(huán)節(jié)也稱比例微分環(huán)節(jié)，它是由比例環(huán)節(jié)加微分環(huán)節(jié)構成的，它的微分方程為式中，T為微分時間常數(shù)。對上式作拉氏變換并整理，得傳遞函數(shù)G(s)為比例微分環(huán)節(jié)的方框圖如下圖(a)所示。5.一階微分環(huán)節(jié)(ProportionalDerivet22圖比例微分環(huán)節(jié)方框圖及響應曲線

(a）比例微分環(huán)節(jié)方框圖；(b）比例微分環(huán)節(jié)單位階躍響應第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型圖比例微分環(huán)節(jié)方23當輸入量r(t)=1(t)時，即R(s)=1/s，有輸出量C(s)為則其單位階躍響應為c(t)=L-1［C(s)］=Tδ(t)+1比例微分環(huán)節(jié)的響應曲線如上圖(b)所示。第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型當輸入量r(t)=1(t)時，即R(24一階微分環(huán)節(jié)的實例如下圖所示。分析該環(huán)節(jié)，不難得到其傳遞函數(shù)為其中，K=-R1/R0為比例放大系數(shù)；T0=R0C0為微分時間常數(shù)。第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型一階微分環(huán)節(jié)的實例如下圖所示。分析25圖一階微分環(huán)節(jié)第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型圖一階微分環(huán)節(jié)第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型26

6.振蕩環(huán)節(jié)(OscillatingElement)

振蕩環(huán)節(jié)也稱二階環(huán)節(jié)，它的微分方程通常表達為式中,T為振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)；ζ為振蕩環(huán)節(jié)的阻尼比（又稱阻尼系數(shù)）。第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型6.振蕩環(huán)節(jié)(OscillatingE27對上式作拉氏變換，可得T2s2C(s)+2ζTsC(s)+C(s)=R(s)移項整理有第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型對上式作拉氏變換，可得第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型28令T=1/ωn,ωn為該環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率,則上式可改寫成如下形式:振蕩環(huán)節(jié)的方框圖如下圖(a)所示。第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型令T=1/ωn,ωn為該環(huán)節(jié)的無阻29圖振蕩環(huán)節(jié)方框圖及單位階躍響應曲線

(a）振蕩環(huán)節(jié)方框圖；(b）振蕩環(huán)節(jié)單位階躍響應圖振蕩環(huán)節(jié)方框圖及單位階躍響應曲線30若輸入量為r(t)=1(t)，則輸出量的傳遞函數(shù)為查表，可得該環(huán)節(jié)的單位階躍響應為第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型若輸入量為r(t)=1(t)，則輸出量的傳遞函數(shù)為查表，31振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應曲線一般如上圖(b)所示。振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應，隨著阻尼比ζ的不同，表現(xiàn)出不同的動態(tài)響應過程，如下圖所示。第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應曲線一般如上圖32圖振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應曲線第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型圖振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應曲線第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模33又令2ζT=RC,得為系統(tǒng)的阻尼比。第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型又令2ζT=RC,得為系統(tǒng)的阻尼比。第三章自動控制系34根據(jù)ζ的不同取值，該二階系統(tǒng)可形成如下單位階躍響應uc(t)的過程：（1）當ζ=0，即R=0時，響應uc(t)