控制系統(tǒng)的分析方法

控制系統(tǒng)的分析方法第1頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)控制系統(tǒng)的時域分析 一個動態(tài)系統(tǒng)的性能常用典型輸入作用下的響應來描述。響應是指零初始值條件下某種典型的輸入函數(shù)作用下對象的響應，控制系統(tǒng)常用的輸入函數(shù)為單位階躍函數(shù)和脈沖激勵函數(shù)（即沖激函數(shù)）。在MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中提供了求取這兩種輸入下系統(tǒng)響應的函數(shù)。一、時域分析的一般方法求取系統(tǒng)單位階躍響應：step()求取系統(tǒng)的沖激響應：impulse()第2頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月1、step()函數(shù)的用法exp4_3_.my=step(num,den,t)：其中num和den分別為系統(tǒng)傳遞函數(shù)描述中的分子和分母多項式系數(shù)，t為選定的仿真時間向量，一般可以由t=0:step:end等步長地產(chǎn)生出來。該函數(shù)返回值y為系統(tǒng)在仿真時刻各個輸出所組成的矩陣。[y,x,t]=step(A,B,C,D,iu)：其中A,B,C,D為系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述矩陣，iu用來指明輸入變量的序號。x為系統(tǒng)返回的狀態(tài)軌跡。[y,x,t]=step(num,den)：此時時間向量t由系統(tǒng)模型的特性自動生成,

狀態(tài)變量x返回為空矩陣。第3頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月例exp4_3.m已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

求系統(tǒng)在單位負反饋下的階躍響應曲線。線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值可以通過函數(shù)dcgain()來求取，其調(diào)用格式為：dc=dcgain(num,den)或dc=dcgain(a,b,c,d)如果對具體的響應值不感興趣，而只想繪制系統(tǒng)的階躍響應曲線，可調(diào)用以下的格式：step(num,den)；step(num,den,t)；step(A,B,C,D,iu,t)；step(A,B,C,D,iu)；第4頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月2、impulse()函數(shù)的用法求取脈沖激勵響應的調(diào)用方法與step()函數(shù)基本一致。y=impulse(num,den,t)；[y,x,t]=impulse(num,den)；[y,x,t]=impulse(A,B,C,D,iu,t)impulse(num,den)；impulse(num,den,t)impulse(A,B,C,D,iu)；impulse(A,B,C,D,iu,t)例exp4_4.m已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

求系統(tǒng)在單位負反饋下的脈沖激勵響應曲線。第5頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月例exp4_5.m已知某典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

求系統(tǒng)的階躍響應曲線。例exp4_6.m已知某閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：求其階躍響應曲線。第6頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月仿真時間t的選擇：對于典型二階系統(tǒng)根據(jù)其響應時間的估算公式可以確定。對于高階系統(tǒng)往往其響應時間很難估計，一般采用試探的方法，把t選大一些，看看響應曲線的結果，最后再確定其合適的仿真時間。一般來說，先不指定仿真時間，由MATLAB自己確定，然后根據(jù)結果，最后確定合適的仿真時間。在指定仿真時間時，步長的不同會影響到輸出曲線的光滑程度，一般不易取太大。例exp4_6_.m第7頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月二、常用時域分析函數(shù)

時間響應探究系統(tǒng)對輸入和擾動在時域內(nèi)的瞬態(tài)行為，系統(tǒng)特征如：上升時間、調(diào)節(jié)時間、超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差都能從時間響應上反映出來。MATLAB除了提供前面介紹的對系統(tǒng)階躍響應、沖激響應等進行仿真的函數(shù)外，還提供了大量對控制系統(tǒng)進行時域分析的函數(shù)，如：covar：連續(xù)系統(tǒng)對白噪聲的方差響應initial：連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應lsim：連續(xù)系統(tǒng)對任意輸入的響應對于離散系統(tǒng)只需在連續(xù)系統(tǒng)對應函數(shù)前加d就可以，如dstep，dimpulse等。它們的調(diào)用格式與step、impulse類似，可以通過help命令來察看自學。第8頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月三、時域分析應用實例例exp4_7.m 某2輸入2輸出系統(tǒng)如下所示：求系統(tǒng)的單位階躍響應和沖激響應。MATLAB的step()和impulse()函數(shù)本身可以處理多輸入多輸出的情況，因此編寫MATLAB程序并不因為系統(tǒng)輸入輸出的增加而變得復雜。第9頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第10頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第11頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)控制系統(tǒng)的頻域分析頻率響應是指系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應，從頻率響應中可以得出帶寬、增益、轉折頻率、閉環(huán)穩(wěn)定性等系統(tǒng)特征。頻率特性是指系統(tǒng)在正弦信號作用下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比對頻率的關系特性。頻率特性函數(shù)與傳遞函數(shù)有直接的關系，記為：一、頻域分析的一般方法求取系統(tǒng)對數(shù)頻率特性圖（波特圖）：bode()求取系統(tǒng)奈奎斯特圖（幅相曲線圖或極坐標圖）：nyquist()頻域分析法是應用頻率特性研究控制系統(tǒng)的一種典型方法。采用這種方法可直觀地表達出系統(tǒng)的頻率特性，分析方法比較簡單，物理概念比較明確，對于諸如防止結構諧振、抑制噪聲、改善系統(tǒng)穩(wěn)定性和暫態(tài)性能等問題，都可以從系統(tǒng)的頻率特性上明確地看出其物理實質(zhì)和解決途經(jīng)。通常將頻率特性用曲線的形式進行表示，包括對數(shù)頻率特性曲線和幅相頻率特性曲線簡稱幅相曲線，MATLAB提供了繪制這兩種曲線的函數(shù)。第12頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月1、對數(shù)頻率特性圖（波特圖）exp4_10.mexp4_10_.m對數(shù)頻率特性圖包括了對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖。橫坐標為頻率w，采用對數(shù)分度，單位為弧度/秒；縱坐標均勻分度，分別為幅值函數(shù)20lgA(w)，以dB表示；相角，以度表示。MATLAB提供了函數(shù)bode()來繪制系統(tǒng)的波特圖，其用法如下：bode(a,b,c,d)：自動繪制出系統(tǒng)的一組Bode圖，它們是針對連續(xù)狀態(tài)空間系統(tǒng)[a,b,c,d]的每個輸入的Bode圖。其中頻率范圍由函數(shù)自動選取，而且在響應快速變化的位置會自動采用更多取樣點。bode(a,b,c,d,iu)：可得到從系統(tǒng)第iu個輸入到所有輸出的波特圖。bode(num,den)：可繪制出以連續(xù)時間多項式傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)的波特圖。bode(a,b,c,d,iu,w)或bode(num,den,w)：可利用指定的角頻率矢量繪制出系統(tǒng)的波特圖。當帶輸出變量[mag,pha,w]或[mag,pha]引用函數(shù)時，可得到系統(tǒng)波特圖相應的幅值mag、相角pha及角頻率點w矢量或只是返回幅值與相角。相角以度為單位，幅值可轉換為分貝單位：magdb=20×log10(mag)第13頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月2、奈奎斯特圖（幅相頻率特性圖）exp4_11.mexp4_11_.m對于頻率特性函數(shù)G(jw)，給出w從負無窮到正無窮的一系列數(shù)值，分別求出Im(G(jw))和Re(G(jw))。以Re(G(jw))為橫坐標，Im(G(jw))為縱坐標繪制成為極坐標頻率特性圖。MATLAB提供了函數(shù)nyquist()來繪制系統(tǒng)的極坐標圖，其用法如下：nyquist(a,b,c,d)：繪制出系統(tǒng)的一組Nyquist曲線，每條曲線相應于連續(xù)狀態(tài)空間系統(tǒng)[a,b,c,d]的輸入/輸出組合對。其中頻率范圍由函數(shù)自動選取，而且在響應快速變化的位置會自動采用更多取樣點。nyquist(a,b,c,d,iu)：可得到從系統(tǒng)第iu個輸入到所有輸出的極坐標圖。nyquist(num,den)：可繪制出以連續(xù)時間多項式傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)的極坐標圖。nyquist(a,b,c,d,iu,w)或nyquist(num,den,w)：可利用指定的角頻率矢量繪制出系統(tǒng)的極坐標圖。當不帶返回參數(shù)時，直接在屏幕上繪制出系統(tǒng)的極坐標圖（圖上用箭頭表示w的變化方向，負無窮到正無窮）。當帶輸出變量[re,im,w]引用函數(shù)時，可得到系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的實部re和虛部im及角頻率點w矢量（為正的部分）。可以用plot(re,im)繪制出對應w從負無窮到零變化的部分。第14頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月二、常用頻域分析函數(shù)MATLAB除了提供前面介紹的基本頻域分析函數(shù)外，還提供了大量在工程實際中廣泛應用的庫函數(shù)，由這些函數(shù)可以求得系統(tǒng)的各種頻率響應曲線和特征值。如：margin：求幅值裕度和相角裕度及對應的轉折頻率freqs：模擬濾波器特性nichols：求連續(xù)系統(tǒng)的尼科爾斯頻率響應曲線（即對數(shù)幅相曲線）ngrid：尼科爾斯方格圖第15頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月margin()函數(shù)exp4_12.mexp4_12_.mmargin函數(shù)可以從頻率響應數(shù)據(jù)中計算出幅值裕度、相角裕度以及對應的頻率。幅值裕度和相角裕度是針對開環(huán)SISO系統(tǒng)而言，它指示出系統(tǒng)閉環(huán)時的相對穩(wěn)定性。當不帶輸出變量引用時，margin可在當前圖形窗口中繪制出帶有裕量及相應頻率顯示的Bode圖，其中幅值裕度以分貝為單位。幅值裕度是在相角為-180度處使開環(huán)增益為1的增益量，如在-180度相頻處的開環(huán)增益為g，則幅值裕度為1/g；若用分貝值表示幅值裕度，則等于：-20*log10(g)。類似地，相角裕度是當開環(huán)增益為1.0時，相應的相角與180度角的和。margin(mag,phase,w)：由bode指令得到的幅值mag（不是以dB為單位）、相角phase及角頻率w矢量繪制出帶有裕量及相應頻率顯示的bode圖。margin(num,den)：可計算出連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)表示的幅值裕度和相角裕度并繪制相應波特圖。類似，margin(a,b,c,d)可以計算出連續(xù)狀態(tài)空間系統(tǒng)表示的幅值裕度和相角裕度并繪制相應波特圖。[gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w)：由幅值mag（不是以dB為單位）、相角phase及角頻率w矢量計算出系統(tǒng)幅值裕度和相角裕度及相應的相角交界頻率wcg、截止頻率wcp，而不直接繪出Bode圖曲線。第16頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月freqs()函數(shù)exp4_13.mfreqs用于計算由矢量a和b構成的模擬濾波器H(s)=B(s)/A(s)的幅頻響應。h=freqs(b,a,w)用于計算模擬濾波器的幅頻響應，其中實矢量w用于指定頻率值，返回值h為一個復數(shù)行向量，要得到幅值必須對它取絕對值，即求模。[h,w]=freqs(b,a)自動設定200個頻率點來計算頻率響應，這200個頻率值記錄在w中。[h,w]=freqs(b,a,n)設定n個頻率點計算頻率響應。不帶輸出變量的freqs函數(shù)，將在當前圖形窗口中繪制出幅頻和相頻曲線，其中幅相曲線對縱坐標與橫坐標均為對數(shù)分度。第17頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月三、頻域分析應用實例Nyquist曲線是根據(jù)開環(huán)頻率特性在復平面上繪出的幅相軌跡，根據(jù)開環(huán)的Nyquist曲線，可以判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：Nyquist曲線按逆時針包圍臨界點(-1,j0)的圈數(shù)R，等于開環(huán)傳遞函數(shù)位于s右半平面的極點數(shù)P，否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)正實部特征根個數(shù)Z=P-R。若剛好過臨界點，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。第18頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月Pade函數(shù)可以近似表示延時環(huán)節(jié)e^(-st)，它的調(diào)用格式為：(num,den)=pade(t,n)，產(chǎn)生最佳逼近時延t秒的n階傳遞函數(shù)形式。(a,b,c,d)=pade(t,n)，則產(chǎn)生的是n階SISO的狀態(tài)空間模型。第19頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)控制系統(tǒng)的根軌跡分析所謂根軌跡是指，當開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在s平面上的軌跡。一般來說，這一參數(shù)選作開環(huán)系統(tǒng)的增益K，而在無零極點對消時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點。根軌跡分析方法是分析和設計線性定?？刂葡到y(tǒng)的圖解方法，使用十分簡便。利用它可以對系統(tǒng)進行各種性能分析，例exp4_18.m一、根軌跡分析方法的概念第20頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）穩(wěn)定性當開環(huán)增益K從零到無窮大變化時，圖中的根軌跡不會越過虛軸進入右半s平面，因此這個系統(tǒng)對所有的K值都是穩(wěn)定的。如果根軌跡越過虛軸進入右半s平面，則其交點的K值就是臨界穩(wěn)定開環(huán)增益。（2）穩(wěn)態(tài)性能開環(huán)系統(tǒng)在坐標原點有一個極點，因此根軌跡上的K值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)，如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則可由根軌跡確定閉環(huán)極點容許的范圍。（3）動態(tài)性能當0<K<0.5時，所有閉環(huán)極點位于實軸上，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應為非周期過程；當K=0.5時，閉環(huán)兩個極點重合，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應仍為非周期過程，但速度更快；當K>0.5時，閉環(huán)極點為復數(shù)極點，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應為阻尼振蕩過程，且超調(diào)量與K成正比。第21頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月二、根軌跡分析函數(shù) 通常來說，繪制系統(tǒng)的根軌跡是很繁瑣的事情，因此在教科書中介紹的是一種按照一定規(guī)則進行繪制的概略根軌跡。在MATLAB中，專門提供了繪制根軌跡的有關函數(shù)。pzmap：繪制線性系統(tǒng)的零極點圖rlocus：求系統(tǒng)根軌跡。rlocfind：計算給定一組根的根軌跡增益。sgrid：在連續(xù)系統(tǒng)根軌跡圖和零極點圖中繪制出阻尼系數(shù)和自然頻率柵格。第22頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月1、零極點圖繪制exp4_19.mMATLAB提供了函數(shù)pzmap()來繪制系統(tǒng)的零極點圖，其用法如下：[p,z]=pzmap(a,b,c,d)：返回狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的極點矢量和零點矢量，而不在屏幕上繪制出零極點圖。[p,z]=pzmap(num,den)：返回傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的極點矢量和零點矢量，而不在屏幕上繪制出零極點圖。pzmap(a,b,c,d)或pzmap(num,den)：不帶輸出參數(shù)項，則直接在s復平面上繪制出系統(tǒng)對應的零極點位置，極點用×表示，零點用o表示。pzmap(p,z)：根據(jù)系統(tǒng)已知的零極點列向量或行向量直接在s復平面上繪制出對應的零極點位置，極點用×表示，零點用o表示。第23頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月2、根軌跡圖繪制exp4_20.mMATLAB提供了函數(shù)rlocus()來繪制系統(tǒng)的根軌跡圖，其用法如下：rlocus(a,b,c,d)或者rlocus(num,den)：根據(jù)SISO開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述模型和傳遞函數(shù)模型，直接在屏幕上繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。開環(huán)增益的值從零到無窮大變化。rlocus(a,b,c,d,k)或rlocus(num,den,k)：通過指定開環(huán)增益k的變化范圍來繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。r=rlocus(num,den,k)或者[r,k]=rlocus(num,den)：不在屏幕上直接繪出系統(tǒng)的根軌跡圖，而根據(jù)開環(huán)增益變化矢量k，返回閉環(huán)系統(tǒng)特征方程1＋k*num(s)/den(s)=0的根r，它有l(wèi)ength(k)行，length(den)-1列，每行對應某個k值時的所有閉環(huán)極點?；蛘咄瑫r返回k與r。若給出傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的分子項num為負，則利用rlocus函數(shù)繪制的是系統(tǒng)的零度根軌跡。（正反饋系統(tǒng)或非最小相位系統(tǒng)）第24頁，課件共27頁，創(chuàng)作