數(shù)學(xué)分析1期末考試試卷A卷

數(shù)學(xué)分析1期末考試試卷A卷1、根據(jù)題目要求，格式錯誤已被刪除。數(shù)學(xué)分析1期末考試試卷（A卷）一、填空題（本題共5個小題，每小題3分，滿分15分）1.設(shè)$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x+2a}{x-a}=8$，則$a=$____________。2.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{e^x-1}{x(x-2)}$，則函數(shù)的第一類間斷點是____________，第二類間斷點是____________。3.設(shè)$y=\ln(x+1+x)$，則$dy=$____________。4.設(shè)$f(x)$是連續(xù)函數(shù)，且$f(x)=x+2\int_{0}^{x}f(t)dt$，則$f(x)=$____________。5.$\int_{0}^{1}\arctanxdx=$____________。二、單項選擇題（本題共5個小題，每小題3分，滿分15分）1.設(shè)數(shù)列$\{x_n\}$與數(shù)列$\{y_n\}$滿足$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=a$，則下列斷言正確的是（）。（A）若$x_n$發(fā)散，則$y_n$必發(fā)散。（B）若$x_n$無界，則$y_n$必?zé)o界。（C）若$x_n$有界，則$y_n$必為無窮小。（D）若$\{y_n\}$為無窮小，則$\{x_n\}$必為無窮小。2.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^x$，則$f'(0)$為（）。（A）1。（B）不存在。（C）0。（D）-1。3.若$f(-x)=f(x)$（$-\infty<x<+\infty$），在$(-\infty,0)$內(nèi)$f'(x)>0$，$f''(x)<0$，則$f(x)$在$(0,+\infty)$內(nèi)有（）。（A）$f'(x)>0$，$f''(x)<0$。（B）$f'(x)>0$，$f''(x)>0$。（C）$f'(x)<0$，$f''(x)<0$。（D）$f'(x)<0$，$f''(x)>0$。4.設(shè)$f(x)$是連續(xù)函數(shù)，且$F(x)=\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt$，則$F'(x)$等于（）。（A）$-e^{-x}f(x)-\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt$。（B）$-e^{-x}f(x)+\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt$。（C）$e^{-x}f(x)-\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt$。（D）$e^{-x}f(x)+\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt$。5.設(shè)函數(shù)$f(x)=a\sinx+\sin3x$在$x=\frac{\pi}{6}$處取得極值，則（）。（A）$a=1$，$f(\frac{\pi}{6})$是極小值。（B）$a=1$，$f(\frac{\pi}{6})$是極大值。（C）$a=2$，$f(\frac{\pi}{6})$是極小值。（D）$a=2$，$f(\frac{\pi}{6})$是極大值。三、計算題（本題共7個小題，每小題6分，滿分42分）1.求$\lim\limits_{x\to\ln(1+x)}\frac{1+\tanx-\sinx}{3x^2+ax+b}$。2.設(shè)$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2+ax+b}{x-x^2}=4$，求$a$、$b$。3.設(shè)$y=\ln(1+t^2)$，$x=t+\arctant$，求$\frac{dy}{dx}$。4.設(shè)$f(x)$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，求$\lim\limits_{dx\to0}\frac{f(\sin^2x+dx)-f(\sin^2x)}{dx}$。5.求不定積分$\int\frac{\cos2x+1}{\sinx+\cosx}dx$。6.求$\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{x}dx$。7.求曲線$y=\sqrt{x}$與$y=x^2$所圍圖形的面積。2、設(shè)函數(shù)$f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$，求$\int_0^1f(x)dx$。解：$\becausef(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$，$\thereforef(0)=1$。$\because$當(dāng)$x>0$時，$f(x)<1$，$\therefore$在$(0,1]$上，$f(x)$是單調(diào)遞減的。$\therefore\int_0^1f(x)dx<\sum\limits_{i=1}^nf\left(\dfrac{i}{n}\right)\cdot\dfrac{1}{n}<f(0)\cdot1=1$。$\becausef(x)$在$[0,1]$上連續(xù)，$\therefore\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^nf\left(\dfrac{i}{n}\right)\cdot\dfrac{1}{n}=\int_0^1f(x)dx$。$\therefore\int_0^1f(x)dx\leq1$。綜上所述，$0<\int_0^1f(x)dx<1$。六、（本題8分）設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上可導(dǎo)，證明：存在ξ∈(a,b)，使得2ξ[f(b)-f(a)]=(b-a)f'(ξ)。證明：設(shè)g(x)=x^2，則f(x)與g(x)在[a,b]上滿足