數(shù)學(xué)人教A版高中必修一（2019新編）2-3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式 （第1課時(shí)）（分層作業(yè)）

2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（第1課時(shí)）（分層作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·陜西漢中·高一期末）若關(guān)于x的不等式的解集是R，則m的取值范圍是（

）A．（1，+∞） B．（0，1） C．（1，1） D．[1，+∞）【答案】A【分析】分和兩種情況求解【詳解】當(dāng)時(shí)，，得，不合題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集是R，所以，解得，綜上，m的取值范圍是（1，+∞），故選：A2．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集是（

）A． B．或 C． D．或【答案】A【分析】由二次函數(shù)與一元二次不等式關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖象確定不等式解集.【詳解】由二次函數(shù)圖象知：有.故選：A3．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）一元二次方程的根的情況是（

）．A．方程沒有實(shí)數(shù)根B．方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．方程的根是、和【答案】C【分析】把方程整理為一般形式，再用判別式求解即可【詳解】∵原方程可化為，∴，，，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：C．4．（2022·江蘇·高一）已知不等式的解集為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集和一元二次方程根的關(guān)系直接求解即可.【詳解】由不等式的解集知：和是方程的兩根，.故選：A.5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則實(shí)數(shù)m滿足（

）A．或 B．C．或 D．【答案】B【分析】一元二次不等式的解集為，即，求解關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式即可.【詳解】解：由于關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，所以，解得．故選：B．6．（2022·廣東珠海·高一期末）不等式的解集是（

）A． B． C． D．，或【答案】C【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法計(jì)算可得；【詳解】解：由，解得，即不等式的解集為；故選：C7．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）不等式的解集為（

）A．或 B．C．或 D．【答案】B【分析】解一元二次不等式，首先確保二次項(xiàng)系數(shù)為正，兩邊同時(shí)乘，再利用十字相乘法，可得答案，【詳解】法一：原不等式即為，即，解得，故原不等式的解集為．法二：當(dāng)時(shí)，不等式不成立，排除A，C；當(dāng)時(shí)，不等式不成立，排除D．故選：B．8．（2021·廣東·普寧市華僑中學(xué)高一階段練習(xí)）已知不等式的解集是，則（

）A．-10 B．-6 C．0 D．2【答案】A【解析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧?所以的兩根為，則，即，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查由一元二次不等式的解集求解參數(shù)，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題9．（2021·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）下列四個(gè)不等式中，解集為的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由一元二次不等式的性質(zhì)，結(jié)合各一元二次不等式的判別式、函數(shù)開口方向即可判斷各選項(xiàng)是否為空集.【詳解】A選項(xiàng)，，所以的解集不可能為空集；B選項(xiàng)，，而開口向上，所以解集為空集；C選項(xiàng)，的解集為，所以不為空集；D選項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)等號(hào)成立，而開口向下，所以為空集；故選：BD10．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下面所給關(guān)于x的不等式，其中一定為一元二次不等式的是（

）A．3x+4<0 B．x2+mx-1>0C．a(chǎn)x2+4x-7>0 D．x2<0【答案】BD【分析】利用一元二次不等式的定義和特征對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A是一元一次不等式，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，D，不等式的最高次是二次，二次項(xiàng)系數(shù)不為0，故正確；當(dāng)時(shí)，選項(xiàng)C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即錯(cuò)誤.故選：BD.三、填空題11．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）若方程有唯一的實(shí)數(shù)根3，則不等式的解集為______．【答案】【分析】由題設(shè)條件得到拋物線的圖象特點(diǎn)，即可求得不等式的解集【詳解】由已知得拋物線的開口向下，與x軸交于點(diǎn)，故不等式的解集為．故答案為：12．（2021·重慶復(fù)旦中學(xué)高一開學(xué)考試）已知關(guān)于的二次方程有一正數(shù)根和一負(fù)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【分析】由二次項(xiàng)系數(shù)非零及兩根之積小于0，可得關(guān)于m的不等式組，解之即可.【詳解】由題意知，二次方程有一正根和一負(fù)根，得，解得.故答案為：13．（2021·新疆·烏魯木齊市第四中學(xué)高一期中）設(shè)k為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是__________.【答案】.【分析】一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，即根的判別式小于0.【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根∴∴解得：.故答案為：.14．（2022·江蘇·高一）若關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)m的值為______.【答案】3【分析】根據(jù)二次不等式的解，結(jié)合韋達(dá)定理即可求出m.【詳解】由題可知，－7和－1是二次方程的兩個(gè)根，故.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意故答案為：3.15．（2022·湖南衡陽(yáng)·高一期末）已知，則關(guān)于的不等式的解集是________.（用區(qū)間表示）【答案】【分析】對(duì)因式分解，再根據(jù)，解一元二次不等式即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋杂?，所以不等式的解集?故答案為：.四、解答題16．（2021·浙江·高一期末）已知不等式x2?2x+5?2a0.（1）若不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若存在實(shí)數(shù)a∈[4,]使得該不等式成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.【答案】（1）a2；（2）x∈(?∞,?1]∪[3,+∞).【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出a的范圍即可；（2）將問題轉(zhuǎn)化為，解不等式即可．【詳解】(1)∵x2?2x+5?2a0在R恒成立，∴△0，即4?4(5?2a)0，可得a2；(2)若存在實(shí)數(shù)a∈[4,]使得該不等式成立，即x2?2x+58，解得：x3或x?1，∴x∈(?∞,?1]∪[3,+∞).【能力提升】一、單選題1．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）若不等式的解集為，則不等式的解集是（

）A． B．或C． D．【答案】A【分析】由題知，，進(jìn)而將不等式轉(zhuǎn)化為，再解不等式即可.【詳解】解：由，整理得①．又不等式的解集為，所以，且，即②．將①兩邊同除以得：③．將②代入③得：，解得．故選：A2．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】參變量分離，得到在上恒成立問題.【詳解】由，恒成立，可得在上恒成立，即即.故選：D.二、多選題3．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）不等式的解集是，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像與二次不等式關(guān)系求解即可.【詳解】解：因?yàn)椴坏仁降慕饧?，所以，且，所以所以，，，故AC正確，D錯(cuò)誤．因?yàn)槎魏瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，2，且圖像開口向下，所以當(dāng)時(shí)，，故B正確．故選：ABC．4．（2021·江蘇·蘇州中學(xué)高一階段練習(xí)）關(guān)于x的不等式的解集為，則下列正確的是（

）A．B．關(guān)于x的不等式的解集為C．D．關(guān)于x的不等式的解集為【答案】ACD【解析】根據(jù)一元二次不等式解集的特點(diǎn)判斷出的正負(fù)，然后根據(jù)解集可得到與的數(shù)量關(guān)系，據(jù)此分析各個(gè)選項(xiàng)是否正確.【詳解】A．由已知可得且是方程的兩根，A正確，B．由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，解得，則不等式可化為：，即，所以，B錯(cuò)誤，C．因?yàn)?，C正確，D．不等式可化為：，即，解得或，D正確，故選：ACD．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：形如的不等式的解集為或，則為一元二次方程的兩個(gè)根.三、填空題5．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________.【答案】【分析】存在量詞命題是假命題，則其否定全稱量詞命題是真命題，寫出其全稱量詞命題，是一個(gè)二次不等式恒成立問題，分情況討論，求的范圍.【詳解】由題意可知，“，”的否定是真命題，即“，”是真命題，當(dāng)時(shí)，，不等式顯然成立，當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)可知，，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.6．（2022·湖南·雅禮中學(xué)高一開學(xué)考試）若二次函數(shù)在時(shí)的最大值為3，那么m的值是________．【答案】或【分析】討論二次函數(shù)對(duì)稱軸與x=的位置關(guān)系，結(jié)合已知最大值求參數(shù)m.【詳解】，拋物線開口向下，拋物線的對(duì)稱軸為，①當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)最大值為3，，解得：（舍去）；②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)最大值為3，，解得：．③當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)最大值為3，，解得（舍去）或，綜上所述，或.故答案為：或7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是______．【答案】【分析】由題知，且，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解不等式即可.【詳解】解：由不等式的解集是，可知，且，所以，不等式可化為，解得．所以不等式的解集是.故答案為：8．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，．設(shè)，．記的最小值為A，的最大值為B，則______．【答案】【分析】令，可得或，由題易知的最小值，的最大值，則可求出答案.【詳解】，，令，得或．因?yàn)?，，所以的最小值，的最大值，所以．故答案為?9．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若存在實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【分析】先分離參數(shù)將不等式化為，再結(jié)合二次函數(shù)求最值即可.【詳解】解：由題意可得，存在實(shí)數(shù)時(shí)，令，即，對(duì)稱軸為：所以在單調(diào)遞增故即所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為：故答案為：四、解答題10．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)．(1)若不等式的解集為R，求m的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式；(3)若不等式對(duì)一切恒成立，求m的取值范圍．【答案】(1)；(2)答案見解析；(3).【分析】（1）對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的判別式即可容易求得結(jié)果；（2），對(duì)，與分類討論，可分別求得其解集（3），通過分離常數(shù)與利用基本不等式結(jié)合已知即可求得m的取值范圍．（1）根據(jù)題意，當(dāng)，即時(shí)，，不合題意；

當(dāng)，即時(shí)，的解集為R，即的解集為R，即，故時(shí)，或.故

．（2），即，即，當(dāng)，即時(shí)，解集為；當(dāng)，即時(shí)，，，解集為或；當(dāng)，即時(shí)，，，解集為．綜上所述：當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為或.（3），即，恒成立，，設(shè)則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，．【點(diǎn)睛】本題考察二次函數(shù)恒成立問題，以及含參二次函數(shù)不等式的求解，其中正確的分類討論，是解決本題的關(guān)鍵，屬綜合困難題.11．（2021·廣東·化州市第三中學(xué)高一期中）已知二次函數(shù)．(1)若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(2)解關(guān)于的不等式（其中．【答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）結(jié)合分離常數(shù)法、基本不等式求得的取值范圍；（2）將原不等式轉(zhuǎn)化為，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此求得不等式的解集.(1)不等式即為：，當(dāng)，時(shí)，可變形為：，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，，即，實(shí)數(shù)的取值范圍是：；(2)不等式，即，等價(jià)于，即，

①當(dāng)時(shí)，不等式整理為，解得：；當(dāng)時(shí)，方程的兩根為：，，②當(dāng)時(shí)，可得，解不等式得：或；③當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，解不等式得：；④?dāng)時(shí)，因?yàn)椋坏仁降慕饧癁?；⑤?dāng)時(shí)，因?yàn)?，解不等式得：；綜上所述，不等式的解集為：①當(dāng)時(shí)，不等式解集為；②當(dāng)時(shí)，不等式解集為；③當(dāng)時(shí)，不等式解集為；④當(dāng)時(shí)，不等式解集為；⑤當(dāng)時(shí)，不等式解集為.12．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)a為正數(shù)，函數(shù)滿足且（1）若f(1)=1，求f(x)；（2）設(shè)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)t，總存在x1、x2∈[t-1，t+1]，使得f(x1)-f(x2)≥g(x3)-g(x4)對(duì)所有x3,x4∈都成立，求a的取值范圍.【答案】（1），（2）【分析】（1）由題意得，且，，解方程可得，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式；（2）求得在上的最值，可得的最大值為1，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)，總存在，使得，討論的對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，可得的最值，解不等式可得所求范圍【詳解】解：（1）函數(shù)滿足且，所以，且，得，因?yàn)?，所以，得，所以，?），當(dāng)可得的最小值為，最大值為，所以的最大值為，所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)，總存在，使得，設(shè)在上的最大值為，最小值為，的對(duì)稱軸為直線，令，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，①當(dāng)時(shí)，在上遞增，可得，則，此時(shí)，得，②當(dāng)時(shí)，，，，所以，③當(dāng)時(shí)，，，，所以，④當(dāng)時(shí)，在上遞減，可得，，則，此時(shí)，得，綜上，的取值范圍為【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)恒成立問題的解法，考查轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，考查計(jì)算能