非光滑型能量泛函的交替迭代算法

非光滑型能量泛函的交替迭代算法

0圖像恢復(fù)中的拉格朗日模型圖像恢復(fù)采用系統(tǒng)和噪聲模糊的圖像來恢復(fù)理想的圖像，該圖像已廣泛應(yīng)用于各行各業(yè)的評估、醫(yī)學(xué)三維重建、遙感、雷達(dá)圖像和數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域。在圖像恢復(fù)模型的建立上,由擬合項(xiàng)和正則項(xiàng)組成的非光滑型能量泛函正則化模型在圖像恢復(fù)模型的求解上,主要有整體處理和分開處理兩種形式。整體處理是同時利用擬合項(xiàng)和正則項(xiàng)進(jìn)行算法設(shè)計(jì)。若擬合項(xiàng)和正則項(xiàng)都是光滑函數(shù),可以設(shè)計(jì)基于梯度迭代算法,牛頓迭代算法和預(yù)條件迭代算法等本文關(guān)注的是系統(tǒng)和椒鹽噪聲退化圖像的恢復(fù)問題。為降低數(shù)據(jù)處理的規(guī)模并準(zhǔn)確描述圖像的特征,對圖像進(jìn)行緊框架變換,利用變化域的系數(shù)對圖像進(jìn)行處理。在模型的建立上,提出用L1圖像恢復(fù)的正態(tài)模型1.1小框架算子緊框架變換是利用一組小框架函數(shù)作為基函數(shù)用L式中,〈·,·〉表示內(nèi)積,W表示緊框架變換。對ψ={ψ式中若給定對稱尺度函數(shù)ue788Ф(x)如圖1(a)所示,由式(3)構(gòu)造具有兩個生成子的小框架函數(shù),如圖1(b)(c)。利用圖1小框架函數(shù)組成緊框架算子W對理想圖像u和觀測圖像g進(jìn)行緊框架變換v=Wu,f=Wg。緊框架算子滿足W1.2擬合項(xiàng)和正則項(xiàng)對成像系統(tǒng)和椒鹽噪聲模糊的圖像,用L式中,E(v)=‖Av-f‖由于式(4)的擬合項(xiàng)和正則項(xiàng)都是非光滑函數(shù),模型求解很困難。為使模型容易求解,利用增廣拉格朗日乘子技術(shù),引入輔助變量η,且v=η,將式(4)轉(zhuǎn)化為有條件約束的最優(yōu)化問題,表達(dá)式為由增廣拉格朗日原理,將有條件約束最優(yōu)化問題式(5)轉(zhuǎn)化為容易處理的無條件約束最優(yōu)化問題,表達(dá)式為2模型分解和迭代算法2.1優(yōu)解+v,婦人v最小化目標(biāo)函數(shù)式(6)無法同時獲得最優(yōu)解^v,^η。最近發(fā)展起來一種變量分裂交替迭代算法引人注目1)計(jì)算v2)計(jì)算η3)更新拉格朗日乘子,表達(dá)式為2.2拉格朗日乘子法給定η式中,C表示與v無關(guān)的常數(shù)。從式(10)可知,該能量泛函是v的非光滑函數(shù),無法直接求解。為解決此問題,將光滑與非光滑部分分離,最小化表達(dá)式為式中,E式(11)的對偶表達(dá)式為式中,-D將式(15)和式(16)代入式(14),則有利用拉格朗日乘子,將式(17)有條件約束的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無條件約束的最優(yōu)化問題,表達(dá)式為式中,拉格朗日乘子λ式(18)的互補(bǔ)條件為由式(20)可知,當(dāng)︱v由式(21),則有將式(22)代入式(19),則有將式(23)表示成不動點(diǎn)的形式,則有原始解v和對偶解v*滿足極值條件對式(25)進(jìn)行整理,寫成迭代形式,則有將式(24)迭代獲得的對偶解v給定v式(18)獲得極值的條件是一階導(dǎo)數(shù)為零,將獲得的表達(dá)式寫成迭代的形式,則有將式(28)寫成松弛迭代的形式,表達(dá)式為2.3拉格朗日乘子更新1)設(shè)置β,α≥0,η2)計(jì)算式(24)獲得對偶變量(v4)計(jì)算式(29)獲得輔助變量η5)計(jì)算式(9)更新拉格朗日乘子λ6)若‖E(v7)循環(huán)結(jié)束,輸出恢復(fù)系數(shù)v2.4迭代算法的收斂分析定理若τ<1/8,由式(24)產(chǎn)生的序列對偶變量3快速迭代軟閾值算法測試所用的計(jì)算機(jī)配置為:Intel(R)Core(TM)i7-4700MQCPU@2.40GHz,使用的軟件環(huán)境為MATLABR2011a,操作系統(tǒng)為Windows8。利用模擬與真實(shí)圖像進(jìn)行恢復(fù)實(shí)驗(yàn)。采用本文算法,快速迭代軟閾值算法采用定性與定量兩種方法分析圖像恢復(fù)算法的有效性。在定性分析上,對合成圖像,分析圖像的3維表面,若恢復(fù)圖像的3維表面與原始合成圖像的3維表面顏色接近,說明恢復(fù)算法好。對真實(shí)圖像,由于3維表面比較復(fù)雜,不利于觀察,為有利于分析,檢測恢復(fù)圖像的邊緣并對局部進(jìn)行放大。在定量指標(biāo)分析上用2維可分離的高斯函數(shù)生成點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)式中,σ算子D采用有限前向差分進(jìn)行逼近,表達(dá)式為式中,I3.1邊緣恢復(fù)效果實(shí)驗(yàn)中采用的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)為圖2(a)。圖3為合成的模擬圖像,圖4為合成圖像的3維表面。圖5和圖6為不同算法恢復(fù)結(jié)果定性對比,表1為不同算法恢復(fù)獲得的定量評價指標(biāo),表2為不同算法的執(zhí)行效率。圖5(a)的視覺效果非常差,而且圖5(e)的3維表面嚴(yán)重偏離原始圖像3維表面。從文獻(xiàn)[2]算法恢復(fù)的圖像5(b)可知,邊緣恢復(fù)效果較差,圖5(f)的3維表面非常不規(guī)則。用文獻(xiàn)[5]算法恢復(fù)的圖像好于文獻(xiàn)[2]算法,但3維表面圖5(g)產(chǎn)生“毛刺”現(xiàn)象,說明邊緣恢復(fù)效果不理想。而本文算法恢復(fù)的3維表面圖5(h)與原始圖像的3維表面接近,說明恢復(fù)性能好。從圖6(a)可知,圖像視覺效果非常不理想,圖6(e)的3維表面非常不規(guī)則。文獻(xiàn)[2]算法恢復(fù)的圖像6(b),邊緣模糊,在平穩(wěn)區(qū)域產(chǎn)生斑點(diǎn),導(dǎo)致圖6(f)的3維表面不規(guī)則。文獻(xiàn)[5]算法恢復(fù)圖像的3維表面圖6(g)產(chǎn)生“毛刺”現(xiàn)象,視覺效果好于文獻(xiàn)[2]算法。而本文算法恢復(fù)的3維表面圖6(h)幾乎接近原始圖像的3維表面,說明圖像恢復(fù)性能比較理想。從表1可知,用文獻(xiàn)[2]算法獲得RE,MAE數(shù)值最大,PSNR,SSIM數(shù)值最小,本文算法獲得的RE,MAE數(shù)值最小,PSNR,SSIM數(shù)值最大,說明本文算法恢復(fù)性最好,文獻(xiàn)[2]算法恢復(fù)性能最差。從表2算法執(zhí)行時間來說,本文算法的執(zhí)行效率高于其他兩種算法。3.2局部放大法仿真圖像實(shí)驗(yàn)中采用的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)為圖2(b)。圖7為真實(shí)圖像,圖8—圖11為不同算法恢復(fù)結(jié)果定性對比。表3為不同算法獲得的定量評價指標(biāo),表4為不同算法的執(zhí)行效率。從定性結(jié)果來看,對于Camera圖像,用文獻(xiàn)[2]算法恢復(fù)效果較差,圖像的紋理幾乎全部消失,如圖8(b)。文獻(xiàn)[5]算法恢復(fù)效果好于文獻(xiàn)[2]算法,但圖8(k)可知,產(chǎn)生邊緣丟失現(xiàn)象,說明算法2在某種程度上抹殺圖像的邊緣。而本文算法恢復(fù)圖像的邊緣接近原始圖像的邊緣,局部放大圖8(l)。對于rose圖像,文獻(xiàn)[2]算法恢復(fù)圖像效果不理想,將小幅值邊緣幾乎全部抹殺,如圖9(f)和9(j)所示。文獻(xiàn)[5]算法恢復(fù)性能好于文獻(xiàn)[2]算法,但從圖9(g)和局部放大圖9(k)可知,恢復(fù)圖像產(chǎn)生虛假邊緣和邊緣丟失現(xiàn)象。而本文算法產(chǎn)生的邊緣好于文獻(xiàn)[5]算法,但有少許邊緣丟失。對于toy圖像,文獻(xiàn)[2]算法恢復(fù)效果最差,大量邊緣被抹殺,如圖10(g)“熊手”的邊緣明顯少于圖10(g)的邊緣,且“小狗”尾巴的上方的“圈”邊緣丟失,從圖10(k)可知,恢復(fù)圖像比較模糊。而用本文算法,恢復(fù)圖像邊緣幾乎與原始圖像的邊緣一致。對于panda圖像,文獻(xiàn)[2]算法幾乎無法恢復(fù)出原始圖像。文獻(xiàn)[5]算法恢復(fù)性能好于算法1,但產(chǎn)生虛假邊緣,如圖11(k)所示。本文算法恢復(fù)性能好于算法2,如圖11(l)。從表3定量評價結(jié)果來看,用文獻(xiàn)[2]算法獲得的RE、MAE最大,PSNR和SSIM數(shù)值最小,說明恢復(fù)效果最差,這與定性視覺分析效果相吻合。用本文算法獲得的RE、MAE最小,PSNR和SSIM數(shù)值最大,說明恢復(fù)效果最好。從算法執(zhí)行時間來看,本文算法的執(zhí)行效率高于其他兩種算法。這是由于文獻(xiàn)[2]算法是依賴梯度的一階算法,復(fù)雜度為O(ξ),ξ是像素數(shù),而文獻(xiàn)[5]算法是近似Lev-enbergMarquardt算法4增廣拉格朗日方程的算法提出一種圖像恢復(fù)算法,該算法能有效地恢復(fù)系統(tǒng)和椒鹽噪聲模糊的圖像。由于能量泛函正則化模型的非光滑特性,無法直接求解,通過引入輔助變量