彈性力學課件二九

Everyelasticbodyisspatialand,ingeneral,everyexternalforcesystemisspatial.

Hence,strictlyspeaking,anyelasticityproblemisaspatialproblem.

Foritssolution,wehavetoconsiderallthecomponentsofstress,strainanddisplacement.

However,ifthebodyhasa

particularshape

andtheexternalforcesare

distributedinaparticular

manner,wemayconsiderthespatialproblemasaplaneoneandneglectsomeofthecomponents.Thiswillgreatlysimplifythemathematicalaspectofsolutionwhiletheresultsmaystillbeappliedinengineeringdesignwithsufficientaccuracy.

2TheoryofPlaneProblems2—1PlaneStressandPlaneStrain2—2DifferentialEquationsofEquilibrium2—3

GeometricalEquations.Rigid-bodyDisplacement2—4PhysicalEquations2—5StressataPoint2—6BoundaryConditions.

Saint-Venant’sPrinciple2—7SolutionofPlaneProbleminTermsofDisplacements2—8SolutionofPlaneProbleminTermsofStresses2—9CaseofConstantBodyForces.StressFunction

第二章平面問題的基本理論2—1平面應力問題與平面應變問題2—2平衡微分方程2—3幾何方程剛體位移2—4物理方程2—5平面問題中一點的應力狀態(tài)2—6邊界條件圣維南原理2—7按位移求解平面問題2—8按應力求解平面問題相容方程2—9常體力情況下的簡化應力函數(shù)2—1PlaneStressandPlaneStrain空間問題平面問題轉化平面應力問題平面應變問題SpatialproblemPlaneproblemPlanestressproblemPlanestrainproblem轉化條件：構件的形狀荷載性質ParticularshapeParticularforces一、平面應力問題PlaneStress1、構件的形狀：薄板：t

其它兩個方向的尺寸xyozoytThinPlateofuniformthicknesst2、荷載的性質：面力：沿板邊，平行于板面，沿厚度不變體力：平行于板面，沿厚度均布xyozoytAlltheforcesbeingparalleltothefacesoftheplateanddistributeduniformlyoverthethickness板面不受力，即：

z

z=+t/2=0結論：

zx

z=+t/2=0

zy

z=+t/2=0因為板很薄，荷載不沿厚度變化，應力是連續(xù)分布的，所以可以認為，在整個薄板：

z=0

zx=0

zy=0

平面應力問題有那些應變分量和位移分量？薄板的應力為：

x

y

xy

且與z無關，為x、y的函數(shù),稱為平面應力問題Theremainingstresscomponents

x，

y，

xy，maybeconsideredtobefunctionsofx、yonly，suchaproblemiscalledaplanestressproblem.

二、平面應變問題PlaneStrian1、構件的形狀：yzx（1）足夠長柱體，兩端光滑剛性約束（2）無限長柱體，兩端自由Verylongcylindricalorprismatialbody2、荷載的性質：（1）平行于橫截面（2）沿長度不變（任意橫截面上的受力是相同的）Alltheforcesbeingparalleltoacrosssectionofthebodyandnotvaryingalongtheaxialdirection.稱為辜平面蘿應變?nèi)粏栴}結論車：yzx平面促應變爆問題消有那捷些應淡力分綱量？（1）應力、應變只是x、y的函數(shù)（２）w=0（

z＝０），應變分量只有

x

y

xy

Withanycrosssectionofthebodyasxyplane,thecomponentswillbefunctionsofx、yonly，duetosymmetry,theshearingstresses

zx=0,

zy=0,andw=0,suchaproblemiscalledaplanestrainproblem.

歸撐納：平面驕問題差中，披共有雕八個猶未知狡量：

x

y

xy

x

y

xyu重v求解渡彈性陸力學脅平面握問題蓄，就寶是要根據(jù)友已知惡條件（荷醫(yī)載，價邊界致條件液）求未紀知的智應力嗓分量周、應浴變分罪量和戀位移飄分量背。xyO取圖示微六面體為隔離體，厚度t=1Isolateelement２—思2港平態(tài)衡微葵分方鄙程（更靜力糠平衡欣條件距）

y

yx

xy

xcXYDi抄ff廳er鮮en智ti撤al幣E撲qu傳at扣io擴ns椒o飛f走Eq足ui兩li漢br竟iu刊m建立平衡方程FormulateEquilibriumEquations

y

yx

xy

xXYxyoXYc

MC=0（1）

xy=

yx

X=0（2）

Y=引0葬（3唇）（平面應力問題與平面應變問題）Th喬e榴el性as豎ti鍵ci撥ty霞p堡ro繪bl速em貓i散s綠st星at繡ic憶al壩ly桑i王nd激et欲er什mi獄na在te阻.T鹿o再so勁lv玻e惕fo任r撿th錘eun必kn缺owst矮re瞎ss舉es掩,w犁e鬧ha夾ve椅t奪o覺co販ns飼id寨er磁t丟he忽s恥tr坊ai捆ns森a蛙nd對d昆is鵲pl憑ac魄em則en提t(yī)s興.Di貧ff燙er撇en吼ti跪al芒E語qu琴at著io饒ns業(yè)o規(guī)f脹Eq綢ui磚li釘br袖iu漂m攏ar墨e理ap惜pl重ic效ab要le飼b綱ot葡h浙to餅p轎la褲ne業(yè)s掀tr辜es切s峰pr免ob紙le請ms變a閱nd動p兵la類ne釣s需tr無ai廚n對pr膀ob節(jié)le動ms胖.２—挨3破幾京何方盆程劇剛體站位移A’B’P’取如圖所示隔離體：PABxyoPA本=dxPB惠=dyuvP、A、B各點的位移如圖所示Ge忘om畢et胖ri客ca納l男Eq分ua肌ti蘿on俯s.此R有ig糟id鉤-b只od陡y構Di霉sp中l(wèi)a將ce陶me反nt

x：PA的伸長量

y：PB的伸長量no找rm付al殲s局tr礎ai圣nno必rm希al洪s請tr謹ai漏n

xy或

yx：PA與PB夾角的改變量：+A’BP’uvPABxyo

幾何戴方程Ge售om姻et參ri草ca窯l短Eq它ua艇ti晚on座s：已知付位移鴿分量蓋，就貞能求斥出應葡變分眾量。（平面應力問題與平面應變問題）Ge矩om益et贊ri狠ca逝l劍Eq造ua斯ti斤on怎sar將e蛋ap囑pl役ic杰ab繼le睡b湊ot血h探to講p友la闊ne滿s萄tr意es胖s紹pr樂ob改le側ms汪a執(zhí)nd醫(yī)p根la摸ne勵s際tr倍ai鄙n瓦pr伸ob猴le糧ms總.Fo僑r令a錘gi煙ve仰n添se弊t訓of碼d狗is譯pl樂ac喬em值en些t稼co鑒mp覆on是en度ts脾u久a然nd激v菌,擋th榜e狠st威ra般in醫(yī)c啦om掘po園ne附nt狐s繞ar磁e鞋de誘fi癢ne臘d墓by突G東eo酬me想tr頓ic聽al豬E瞧qu療at方io終ns流.Fo防r端a則gi勢ve側n游se添t辮of程s買tr要ai番n千co塑mp弦on物en途ts仇,t器he炎d恩is停pl類ac鐵em膏en盒t塵co襪mp善on付en墳ts莊u住a未nd安v墾a納re脂n嫁ot荒w桃ho公ll孤y鍛de字te尊rm遠in另at起e.已知燒應變械分量酸，能決否求鵝出位掃移分溝量？剛體尊位移（Ri叛gi敞d-既bo符dy般D柳is障pl命ac蹤蝶em憐en續(xù)t）：設應月變分演量已像知：

x=0茶，釀

y=0，xy=0u=f1（y）v=f2（x）u=f1（y）=u0+y

v=f2（x）=v0-x

（變形為零時的位移）Th升es怪e囑ar武e襯th袋e重di幅sp余l(xiāng)a羞ce句me聽nt乘c縮慧om淺po紛ne因nt酒s扮co湊rr驚es驕po漂nd那in灑g泄to淺z棄er呀o造tr眨ai耕ns形a丸nd豆c饑an療no陳t躲bu期t寸be仆t除he槽r賺ig演id打-b問od鏡y桃di貝sp捷la父ce急me拌nt思.稱為到剛體境位移(t蘇he奶r扶ig歇id菊-b跨od慘y餓di必sp肺la雹ce蔽me墻nt龍)：其竄中若u0=0v0=0和位移為：彈性體中任意點P（x，y）其位移為：u=u0+y

v=v0-x

Pxxyyr

rou0，v0彈性體沿x、y軸方向的平移

彈性體沿繞z軸的轉動，為什么？therigid-bodytranslationstherigid-bodyrotation和位頭移的逢方向：結論：和位移的方向垂直于OP，沿切線方向，所以

表示彈性體繞z軸的轉動Pxxyyr

ru=

yv=

yo歸納址：彈性蓄體在備變形谷為零胃時有撒剛體鼻位移顛，所滅以當撒物體馳發(fā)生星一定渠的變勇形時訓，由隨于約屆束條移件不犯同，趙可能招具有鋸不同塑的剛濟體位摘移，攔即由騙變形笨不能奏完全亦確定恰位移（已漫知，蔥不敞能完窩全確頭定u，循v）堂，須考奏慮邊騾界條矮件?；蛘呓┱f，沈沒有倉約束齊的彈發(fā)性體阻存在葬任意客的，惰不確敞定的問剛體辰位移誘。An脂e飽la驢st建ic榴b浪od炒y今ca開n宮ha統(tǒng)ve卡a貼ny淋r震ig薦id凈-b仆od繼y聲di渠sp姑la靠ce蜓me桶nt搶s凈fo類r頂ze龍ro囑s捏tr屋ai氏ns域.H膠en葛ce舊，a剖t常a段gi多ve割n祖st等at賣e暈of脊s未tr本ai勢n,羊t霞he摟b姐od紅y終ma獨y銜ha盛ve伸d照if盒fe撐re框nt翼r送ig封id示-b抱od剝y頂di放sp贈la脫ce捎me核nt宗s穗un暢de笑r頸di厚ff帳er悼en聯(lián)t格co斯nd倍it思io婦ns岔o果f寨co墊ns倘tr薦ai腿nt僵,i艇n箏or向de哲r蓋to刻d土et椅er夕mi分ne搬t(yī)借he女a(chǎn)閥ct物ua叨l侮di憐sp啞la陰ce鑄me淚nt惜o箏f橋th場e炊bo顏dy查,t灑he司re鞏m菊us荒t全be恨t荒hr池ee得p摸ro梁pe鐮r哲co豬nd斑it蒙io闖ns漁o瞧f搖co撒ns弄tr鏡ai梅nt優(yōu)f宜or扔t輪he燥d笑et耀er內(nèi)mi擇na咽ti旗on癢o蠅f班th明e蠻th餓re紐奉e萌co候ns巷ta稀nt道s王.２—4物理方程（應力、應變之間的關系）Ph爪ys滿ic挖al劫E除qu棒at哥io第nsTh厲e賢re丈la奇ti蔬on挺s菊be憲tw衫ee腰n化st餃re摔ss唇es膀a哀nd靠s縱tr不ai貪ns完全彈性、各向同性體，HOOK定理：Inanisotropicandperfectlyelasticbody，therelationsbetweenstressesandstrainsbasedonHooke’slaw：E、觸G、

為常偷數(shù)(t尼hr鬼ee裹e樣la做st培ic虛c胞on悔st馳an園ts屆)，不粗隨坐憑標、姿方向稻而變稿化其中：E曉is蘿t暑he故m軟od乳ul吳us能o消f粗el束as打ti疑ci棉ty定o地r冷Yo駐un品g’摔s而mo我du厘lu備s，is沫t稿he鄰P躬oi須ss抽on條’s墾r夠at根io單，G酸is急t生he憲s墨he灘ar瞞m赤od彩ul怎us拴o粉r彎mo率du且lu斥s貪of也r占ig朋id乞it閥y.在平面應力問題中

z=0

zx=0

zy=0而且In普a含p盲la燙ne其s舌tr服es換s禾pr每ob級le聲m物理方程

(PhysicalEquations)物理方程另一種形式：

物理方程

在平面應變問題中

z=0

zx=0zy=0(I璃n域