確定臨界荷載的能量法課件

13.3確定臨界荷載的能量法13.3.1能量法及臨界狀態(tài)的能量特征臨界狀態(tài)的能量特征其一，從能量守恒原理出發(fā)，有（應(yīng)變能增量等于荷載功增量），由此導(dǎo)出鐵木辛柯能量法。其二，從勢(shì)能駐值原理出發(fā)，有總勢(shì)能（以原始平衡位置為參考狀態(tài)），由此導(dǎo)出瑞利－李茲能量法。AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?13.3確定臨界荷載的能量法13.3.1能量法及臨界113.3.2能量守恒原理和鐵木辛柯能量法在位于凹面內(nèi)穩(wěn)定平衡情況下，其勢(shì)能EP最小。當(dāng)受到某外界干擾使它偏離原平衡位置時(shí)，小球重心將升高，從而勢(shì)能增加，即DEP>0在位于凸面上不穩(wěn)定平衡情況下，其勢(shì)能EP最大。當(dāng)受到某外界干擾使它偏離原平衡位置時(shí)，小球重心將下降，從而勢(shì)能減小，即DEP<0在處于平面上隨遇平衡情況下，其勢(shì)能EP為常量。使小球偏離原平衡位置，將不會(huì)引起勢(shì)能改變，即DEP

≡0AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?13.3.2能量守恒原理和鐵木辛柯能量法在位于凹面內(nèi)穩(wěn)定2彈性中心壓桿，若由于某種外因使壓桿發(fā)生橫向彎曲，桿件的應(yīng)變能將會(huì)增加(增加了彎曲應(yīng)變能)，桿件的荷載勢(shì)能將會(huì)減小整個(gè)體系的勢(shì)能的增量為體系處于隨遇平衡狀態(tài)時(shí)，勢(shì)能的增量恒等于零即DEP≡0鐵木辛柯能量法AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?彈性中心壓桿，若由于某種外因使壓桿發(fā)生橫向彎曲，桿件的應(yīng)變能31、有限自由度體系的穩(wěn)定（鐵木辛柯法）用能量法重解上節(jié)圖13-6所示剛性中心壓桿的臨界荷載。第一，假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖實(shí)線所示，位移參數(shù)為q

。第二，根據(jù)臨界狀態(tài)的能量特征建立臨界狀態(tài)平衡方程AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?1、有限自由度體系的穩(wěn)定（鐵木辛柯法）用能量法重解上節(jié)圖134荷載功的增量為AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?荷載功的增量為AllRightsReserved重慶大學(xué)5此即臨界狀態(tài)平衡方程。這是一個(gè)以q為未知量的齊次方程。能量法以下的步驟與靜力法完全相同AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?此即臨界狀態(tài)平衡方程。這是一個(gè)以q為未知量的齊次方程。能量6能量法計(jì)算臨界荷載，按以下步驟進(jìn)行：1)假定失穩(wěn)形式。2)根據(jù)能量特征建立臨界狀態(tài)方程（即以能量形式表示的臨界狀態(tài)平衡方程）。3)由位移有非零解的條件，建立穩(wěn)定方程。4)解穩(wěn)定方程，求特征荷載值。5)由最小特征荷載值，確定臨界荷載。AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?能量法計(jì)算臨界荷載，按以下步驟進(jìn)行：1)假定失穩(wěn)形式。2)根7【例13-4】試用能量法重解上節(jié)例13-1圖13-7a所示具有兩個(gè)自由度體系的臨界荷載。（1）假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖所示。根據(jù)建立臨界狀態(tài)能量方程：AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?【例13-4】試用能量法重解上節(jié)例13-1圖13-7a所示具8荷載功的增量為又彈性支座的應(yīng)變能增量為AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?荷載功的增量為又彈性支座的應(yīng)變能增量為AllRights9

AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)10能量法以下的計(jì)算步驟與靜力法完全相同AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?能量法以下的計(jì)算步驟與靜力法完全相同AllRights112、無(wú)限自由度體系的穩(wěn)定（鐵木辛柯法）現(xiàn)以圖示彈性中心壓桿為例取壓桿直線平衡位置作為參考狀態(tài)。假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖實(shí)線所示，y(x)為滿足位移邊界條件的任一可能位移狀態(tài)。AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?2、無(wú)限自由度體系的穩(wěn)定（鐵木辛柯法）現(xiàn)以圖示彈性中心壓桿為12取微段dx進(jìn)行分析，微段兩端點(diǎn)豎向位移的差值為

按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)略去高階微量，則可改寫(xiě)為AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?取微段dx進(jìn)行分析，微段兩端點(diǎn)豎向位移的差值為按泰勒級(jí)數(shù)展13荷載功的增量臨界荷載的計(jì)算公式為AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?荷載功的增量臨界荷載的計(jì)算公式為AllRightsRe14用鐵木辛柯能量法計(jì)算無(wú)限自由度體系的臨界荷載，可采用以下計(jì)算步驟：1)假設(shè)失穩(wěn)形式y(tǒng)(x)。2)計(jì)算y(x)和3)代入鐵木辛柯能量法公式（13-6），計(jì)算臨界荷載AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?用鐵木辛柯能量法計(jì)算無(wú)限自由度體系的臨界荷載，可采用以下計(jì)算15【例13-5】試用能量法計(jì)算圖示兩端簡(jiǎn)支的中心壓桿的臨界荷載。假設(shè)變形曲線為二次拋物線引入邊界條件誤差為21.6%AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?【例13-5】試用能量法計(jì)算圖示兩端簡(jiǎn)支的中心壓桿的臨界荷載16假設(shè)以橫向均布荷載作用下的變形曲線作為屈曲時(shí)近似變形曲線，即x=0,x=l處的幾何邊界條件仍能滿足誤差僅為0.13%AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?假設(shè)以橫向均布荷載作用下的變形曲線作為屈曲時(shí)近似變形曲線，即17假設(shè)變形曲線為正弦曲線同樣能滿足幾何邊界條件。變形曲線只含一個(gè)位移參數(shù)a，即作為單自由度體系看待用靜力法所得精確結(jié)果完全相同。這是因?yàn)樗O(shè)的變形曲線式與實(shí)際屈曲時(shí)的變形曲線完全一致AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?假設(shè)變形曲線為正弦曲線同樣能滿足幾何邊界條件。變形曲線只含一18第一，用能量法求臨界荷載，須事先假定屈曲時(shí)的變形曲線，得到的是對(duì)應(yīng)的近似解。第二，用能量法求解臨界荷載的關(guān)鍵是：假定的變形曲線y(x)必須合適，應(yīng)盡可能接近實(shí)際屈曲形式又便于計(jì)算。為此，所假設(shè)的變形曲線最好能同時(shí)滿足幾何邊界條件（支座處的撓度D和轉(zhuǎn)角θ）與靜力邊界條件（支座處的彎矩M和剪力FQ），至少應(yīng)使幾何邊界條件得到滿足；同時(shí)，所假設(shè)的變形曲線必須便于積分運(yùn)算。第三，用能量法求得的臨界荷載都大于精確值。假設(shè)的變形形式與實(shí)際變形不一致。相當(dāng)于在壓桿中加入了某些附加約束，提高了壓桿的剛度。通過(guò)以上算例，可以指出以下幾點(diǎn)：AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?第一，用能量法求臨界荷載，須事先假定屈曲時(shí)的變形曲線，得到的1913.3.3勢(shì)能駐值原理和瑞利－李茲能量法勢(shì)能駐值原理可表述為：在彈性體系的所有幾何可能位移狀態(tài)中，其真實(shí)的位移狀態(tài)使總勢(shì)能為駐值，即總勢(shì)能的一階變分極大、極小或始終保持不變由此得到的駐值條件等價(jià)于平衡條件僅駐值條件還不能保證體系變形狀態(tài)的穩(wěn)定性，因?yàn)轶w系的平衡狀態(tài)有穩(wěn)定的、不穩(wěn)定的和隨遇平衡三種，要最終判別平衡狀態(tài)究竟屬于哪一種，還必須對(duì)總勢(shì)能作進(jìn)一步研究。研究結(jié)構(gòu)變形狀態(tài)是否穩(wěn)定必須進(jìn)一步考察總勢(shì)能的二階變分

AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?13.3.3勢(shì)能駐值原理和瑞利－李茲能量法勢(shì)能駐值原理201、有限自由度體系的穩(wěn)定（瑞利法）設(shè)取該圖中雙點(diǎn)畫(huà)線所示初始平衡位置為參考狀態(tài)。假設(shè)失穩(wěn)形式如實(shí)線所示，位移參數(shù)為q

。AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?1、有限自由度體系的穩(wěn)定（瑞利法）設(shè)取該圖中雙點(diǎn)畫(huà)線所示初始21其總勢(shì)能為彈簧的應(yīng)變能荷載勢(shì)能體系總勢(shì)能AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?其總勢(shì)能為彈簧的應(yīng)變能荷載勢(shì)能體系總勢(shì)能AllRi22第一，當(dāng)體系處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，其勢(shì)能必為最小。因此，體系由穩(wěn)定平衡狀態(tài)過(guò)渡到不穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，相應(yīng)體系的總勢(shì)能EP就由正定過(guò)渡到非正定。第二，當(dāng)體系處于隨遇平衡狀態(tài)，即如以初始平衡位置作為參考狀態(tài)，則必有總勢(shì)能恒為0AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?第一，當(dāng)體系處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，其勢(shì)能必為最小。因此，體系由232、無(wú)限自由度體系的穩(wěn)定(瑞利-李茲法)圖示為一彈性中心壓桿。設(shè)取壓桿在直線平衡的位置作為參考狀態(tài)，則對(duì)任一幾何可能位移，它的總勢(shì)能為體系在臨界狀態(tài)時(shí)其總勢(shì)能恒為0U和D均與所取體系幾何可能位移有關(guān)。對(duì)彈性桿而言，其幾何可能位移可有無(wú)限個(gè)，因此，滿足式的FP值就不止一個(gè)AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?2、無(wú)限自由度體系的穩(wěn)定(瑞利-李茲法)圖示為一彈性中心壓桿24設(shè)彈性桿的任一個(gè)幾何可能位移用y(x)表示，若只考慮彎曲變形的影響，則有AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?設(shè)彈性桿的任一個(gè)幾何可能位移用y(x)表示，若只考慮彎曲變形25在求解比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，上面所設(shè)的彈性曲線方程式常常難以滿足全部邊界條件，其形狀也很難與實(shí)際情況完全一致。因此，常采用下面介紹的李茲法，采用包含若干參數(shù)的組合形式的變形曲線去逼近真實(shí)曲線，即是滿足位移邊界條件的已知函數(shù)，ai是待定的參數(shù)，共有n個(gè)。這樣，無(wú)限自由度體系被近似地看成具有n個(gè)自由度的體系。

AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?在求解比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，上面所設(shè)的彈性曲線方程式常常難以滿足26求FP極小值，其極小條件為AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?求FP極小值，其極小條件為AllRightsReser27AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?28即為臨界狀態(tài)的能量方程是對(duì)于待定系數(shù)n個(gè)線性齊次方程

AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?即為臨界狀態(tài)的能量方程是對(duì)于待定系數(shù)n個(gè)線性齊次方程A29有非零解的條件是，其系數(shù)行列式應(yīng)為零。于是得穩(wěn)定方程n次代數(shù)方程，可求出n個(gè)根，由其中的最小根可確定臨界荷載。AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?有非零解的條件是，其系數(shù)行列式應(yīng)為零。于是得穩(wěn)定方程n次代數(shù)30(1)假設(shè)失穩(wěn)形式(2)計(jì)算穩(wěn)定方程的系數(shù)(3)建立穩(wěn)定方程(4)解穩(wěn)定方程，由方程解中取荷載最小值，作為最接近精確解的臨界荷載的近似解瑞利-李茲能量法的計(jì)算步驟:AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?(1)假設(shè)失穩(wěn)形式(2)計(jì)算穩(wěn)定方程的系數(shù)(3)建立穩(wěn)定31【例13-6】試用瑞利－李茲能量法