五點差分格式課件

微分方程數(shù)值解計算科學系楊韌微分方程數(shù)值解計算科學系楊韌1第三章橢圓型方程的差分格式第三章橢圓型方程的差分格式2§3.1正方形區(qū)域中的Laplace方程

Dirichlet邊值問題的差分模擬

設Ω是xy平面中的具有正方形邊界

的一個有界區(qū)域，考慮Laplace方程的第一邊值

Dirichlet）問題§3.1正方形區(qū)域中的Laplace方程3

網(wǎng)格節(jié)點（l，m）處的二階中心差商代替二階微商l,m+1l–1,ml,ml+1,ml,m–1網(wǎng)格節(jié)點（l，m）l,m+1l–14Laplace方程的五點差分格式(3.6)為截斷誤差為O(h2)。-Ul,m+1

-Ul–1,m

4Ul,m-Ul+1,m-Ul,m–1Laplace方程的五點差分格式(3.6)為-Ul,m+15令則Laplac方程的五點差分格式為（3.8）即令6

例1用五點差分格式求解Laplace方程在區(qū)域內(nèi)的近似解，邊界值為：取。例1用五點差分格式求解Laplace方程7

解網(wǎng)格點如圖所示U7U8U9U4U5U6U1U2U3u(1,0)=20u(2,0)=20u(3,0)=20u(1,4)=180u(2,4)=180u(3,4)=180u(0,3)=80u(0,2)=80u(0,1)=80u(4,3)=0u(4,2)=0u(4,1)=0解網(wǎng)格點如圖所示U78五點差分格式ppt課件9五點差分格式ppt課件10矩陣方程AU=K，K由邊界條件所確定，解得U=[U1U2U3U4U5U6U7U8U9]’=A-1K=

[55.714343.214327.142979.642970.000045.3571112.8571111.785784.2857]T矩陣方程AU=K，K由邊界條件所確定，解得11五點差分格式ppt課件12加密網(wǎng)格，取h=0.5加密網(wǎng)格，取h=0.513五點差分格式ppt課件14定義向量為從左到右，自下而上的自然次序排列的未知函數(shù)值，則正方形區(qū)域Ω中的內(nèi)部節(jié)點上的(M-1)2

個線性方程寫為矩陣方程AU=K,其中K由邊界條件確定.定義向量15五點差分格式ppt課件16§3.2

Neumann邊值問題的差分模擬表示函數(shù)u沿著邊界的外法線方向?qū)?shù)，在正方形的四個頂點上法向量沒有定義，取平均值代替。§3.2Neumann邊值問題的差分模擬17討論左邊界x=0上的導數(shù)邊值條件的差分模擬又由點（0，m）的五點差分格式消去U-1,m，得0,m+1-1,m0,m1,m0,m-1討論左邊界x=0上的導數(shù)邊值條件的差分模擬0,m18邊界x=0上(3.14)邊界x=1上(3.15)邊界y=0上(3.16)邊界y=1上(3.17)邊界x=0上(3.14)19邊界x=0-2U1,m

-U0

,m+14U0,m-U0,m-1-2UM-1,m-UM,m+14UM,m-UM,m-1-Ul-1,04Ul,0-Ul+1,0-2Ul,1-Ul-1,M4Ul,M-Ul+1,M-2Ul,M-1邊界x=1邊界y=0邊界y=1邊界x=0-2U1,m-U0,m+120在頂點（0，0）,取偏導數(shù)的平均值作為外法線方向?qū)?shù)用一階中心差商代替微商在頂點（0，0）,五點差分格式為故-1,00,01,00,10,-1在頂點（0，0）,取偏導數(shù)的平均值作為外法線方向-1,021在四個頂點（0，0）（0，M）（M，0）（M，M）在四個頂點22

例1在單位正方形區(qū)域Ω上解Laplace方程的Nenmann問題解網(wǎng)格節(jié)點如圖所示U7U8U9頂點U4U5內(nèi)點U6邊界點U1U2U3例1在單位正方形區(qū)域Ω上解Laplace方程的U723矩陣方程為矩陣方程為24令則矩陣方程為令25§3.3

混合（Robins）邊值條件§3.3混合（Robins）邊值條件26

例1用五點差分格式求解Laplace方程在區(qū)域內(nèi)的近似解，邊界值為：取。例1用五點差分格式求解Laplace方程27

解網(wǎng)格節(jié)點如圖所示U10U11U12U7U8U9U4U5U6U1U2U3u(1,4)=180u(2,4)=180u(3,4)=180u(0,3)=80u(0,2)=80u(0,1)=80u(0,0)=80u(4,3)=0u(4,2)=0u(4,1)=0u(4,0)=0解網(wǎng)格節(jié)點如圖所示U1028五點差分格式ppt課件29五點差分格式ppt課件30五點差分格式ppt課件31解矩陣方程AU=KU=[71.821856.854332.2342…75.216561.680636.0412…87.363678.610350.2502…115.6276115.146886.3492]T解矩陣方程AU