塑性本構(gòu)方程課件

第八章塑形本構(gòu)關(guān)系第八章塑形本構(gòu)關(guān)系1引言:塑性變形規(guī)律的復(fù)雜性,到目前為止這個塑性本構(gòu)關(guān)系問題還沒有得到滿意的解決.經(jīng)典塑性本構(gòu)關(guān)系的理論分為兩大類:(1)全量理論,又稱為形變理論,它認為在塑性狀態(tài)下仍有應(yīng)力和應(yīng)變?nèi)恐g的關(guān)系.包括：Hencky(亨奇)理論（1924）：不考慮彈性變形和材料硬化。（理想剛塑形模型）Nadai理論（1938）：考慮有限變形和材料硬化，但總變形中不考慮彈性變形。Il’yushin(伊柳辛)理論（1943）：考慮有限變形和材料硬化。引言:塑性變形規(guī)律的復(fù)雜性,到目前為止這個2(2)增量理論,又稱為流動理論,它認為在塑性狀態(tài)下是塑性應(yīng)變增量和應(yīng)力及應(yīng)力增量之間的隨動關(guān)系.增量理論能夠反映應(yīng)力歷史的相關(guān)性，但數(shù)學(xué)處理相對復(fù)雜。塑性力學(xué)早期的增量理論有Levy-Mises(萊維-米澤斯)理論和Prandtl-Reuss(普朗特-羅伊斯)理論.20世紀(jì)50年代，隨著Drucker公設(shè)和穩(wěn)定材料的定義，正交流動法則概念的提出，塑性力學(xué)有了很大的發(fā)展。這些定義和概念建立了屈服面或加載面與塑性應(yīng)變的聯(lián)系，為塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的描述提供了統(tǒng)一方法。(2)增量理論,又稱為流動理論,它認為在塑性狀態(tài)下是塑性3Shield和Ziegler指出,建立塑性本構(gòu)關(guān)系需要考慮三個基本要素:(1)初始屈服條件;(2)流動法則;(3)加載條件.其中(1)在第六章已經(jīng)解決,本章要解決第(2);(3)點.yyShield和Ziegler指出,建立塑性本構(gòu)關(guān)系需要考慮4§8-1塑性應(yīng)變增量進入塑性狀態(tài)后，應(yīng)變不僅取決于應(yīng)力狀態(tài)，而且還取決于達到該應(yīng)力狀態(tài)的歷史，描述歷史引入一個內(nèi)變量。材料從當(dāng)前狀態(tài)卸載后，恢復(fù)的應(yīng)變?yōu)閺椥詰?yīng)變，保留的應(yīng)變?yōu)樗苄詰?yīng)變。即在某一狀態(tài)下的應(yīng)變可分解為：§8-1塑性應(yīng)變增量進入塑性狀態(tài)后，應(yīng)變不僅取決于應(yīng)力5假設(shè)卸載過程為彈性與開始卸載時的應(yīng)力和內(nèi)變量有關(guān)非線彈性加載塑性引起彈性性質(zhì)改變?yōu)槌埩浚捎蓮椥员緲?gòu)方程確定假設(shè)卸載過程為彈性與開始卸載時的應(yīng)力和內(nèi)變量6彈性本構(gòu)方程彈性本構(gòu)方程7卸載過程中卸載完成，應(yīng)力狀態(tài)為零，對應(yīng)的殘余變形即塑性應(yīng)變：對應(yīng)的塑性增量由：得：由：得：卸載過程中卸載完成，應(yīng)力狀態(tài)為零，對應(yīng)的殘余變形即塑性應(yīng)變：8(1)理想塑性材料的加載和卸載準(zhǔn)則.理論塑性材料是無硬化的,屈服條件與加載歷史無關(guān),,初始屈服面和后繼屈服面是重合的.即屈服面法線方向加載卸載的梯度方向如圖所示彈性狀態(tài);加載;卸載.§8-2加卸載判別準(zhǔn)則(1)理想塑性材料的加載和卸載準(zhǔn)則.屈服面法線方向加載9(2)硬化材料的加,卸載準(zhǔn)則.中性變載加載卸載后繼屈服面對于硬化材料,后繼屈服面和初始屈服面不同,與塑性變形的大小和歷史有關(guān).加,卸載準(zhǔn)則為:加載;中性變載;卸載.中性變載是指不產(chǎn)生新的塑性變形.(2)硬化材料的加,卸載準(zhǔn)則.中性變載加載卸載后繼屈服面對于10所示的材料,隨加載應(yīng)力,應(yīng)變都增加,材料是硬化的.在這一變形工程中,附加應(yīng)力在應(yīng)變增量上作正功,這種特性的材料被稱為穩(wěn)定材料或硬化材料.所示,應(yīng)力應(yīng)變曲線在過D點以后,應(yīng)變增加,應(yīng)力減小,此時應(yīng)力增量作負功,這種特性的材料被稱為材料不穩(wěn)定或軟化材料.所示,與能量守恒矛盾,所以不可能.§8-3Drucker公設(shè)和Ilyushin公設(shè)一、Drucker公設(shè)

1.穩(wěn)定材料和不穩(wěn)定材料.材料的拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線可能有:所示的材料,隨加載應(yīng)力,應(yīng)變都增加,材料是硬112.Drucker公設(shè)從右邊的單向拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線看,對于穩(wěn)定材料,如果從開始加載到再到,然后卸載,此時彈性應(yīng)變可以恢復(fù),相應(yīng)的彈性應(yīng)變能完成釋放,但塑性變形不能恢復(fù)被保留下來,消耗的塑性應(yīng)變能是圖上的紅框包圍的兩塊面積A,B被保留下來.它們是恒大于零的:第二式中的等號適用于理想塑性材料.Drucker把它引伸到復(fù)雜應(yīng)力情況,這就是Drucker公設(shè).Drucker公設(shè)在塑性力學(xué)中有重要意義.2.Drucker公設(shè)從右邊的單向拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線看,123.屈服面的外凸性和塑性應(yīng)變增量的法向性我們?nèi)鐚⑺苄詰?yīng)變空間與應(yīng)力空間重合起來,由Drucker公設(shè)的第一式,把它看成是兩個矢量的點積.圖示即為這兩個矢量的夾角,必定為銳角.在這種情況下,一定在屈服面點的外法線方向上,因為點在屈服面內(nèi),的活動范圍是點的切線方向到反切線方向(),要與它夾角是銳角就一定在法線方向上,并且屈服面一定是外凸的.如果屈服面不是外凸的,如左圖所示,夾角有可能是鈍角,Drucker公設(shè)不成立.3.屈服面的外凸性和塑性應(yīng)變增量的法向性我們?nèi)鐚⑺苄詰?yīng)變空13上面提到是在屈服面的點的外法線方向上.這稱為塑性應(yīng)變增量的法向性.我們知道如果屈服函數(shù)為勢函數(shù),屈服面即為等勢面,它的外法線方向和它的梯度方向一致,則和梯度矢量的分量成正比,即其中為一個大于零的比例系數(shù).稱為與屈服條件相關(guān)聯(lián)的塑性流動法則.也稱為塑性應(yīng)變增量的正交流動法則對研究塑性力學(xué)的本構(gòu)關(guān)系有重要意義.Drucker公設(shè)的第二式是加載準(zhǔn)則.它的幾何意義是當(dāng)不為零時,的方向必須指向加載面外法線一側(cè),即因為,所以這就是加載準(zhǔn)則.上面提到是在屈服面的點的外14二、Ilyushin共設(shè)Drucker共設(shè)是在應(yīng)力空間中進行討論的，只適用于穩(wěn)定材料。對應(yīng)變軟化材料（非穩(wěn)定材料）---巖土材料---不能完全適用。Ilyushin在應(yīng)變空間中提出的塑性共設(shè)可適用于穩(wěn)定材料和非穩(wěn)定材料。將加載面中的應(yīng)力由應(yīng)變表示，得到應(yīng)變空間表示的加載面。Ilyushin共設(shè)認為：在一個應(yīng)變循環(huán)中，只要產(chǎn)生塑性變形，外力所做的功不小于零。二、Ilyushin共設(shè)Drucker共設(shè)15在彈性范圍內(nèi),廣義Hooke定律可以表達為也可以表示為:我們來證明一下:由應(yīng)力和應(yīng)變的分解式,即代入上面廣義Hooke定律的公式,考慮到所以可以寫成兩個相應(yīng)分解張量之間的關(guān)系.§8-4全量理論及本構(gòu)方程（p:278)在彈性范圍內(nèi),廣義Hooke定律可以表達為也可以表示為16所以也可寫成如下形式當(dāng)應(yīng)力從加載面卸載,也服從廣義Hooke定律,寫成增量形式這是七個方程第二個式子是六個方程,但因為有,所以有5個是獨立的.從第二式可以看到在彈性范圍內(nèi)應(yīng)力主軸和應(yīng)變主軸是一致的.應(yīng)變偏量的分量和相應(yīng)的應(yīng)力偏量的分量成正比.第二式也可以寫成,把它代入等效應(yīng)力的表達式就可以得到下面的第二式,然后有再代回上面第一式得到下面的第二式.所以也可寫成如下形式當(dāng)應(yīng)力從加載面卸載,也服從廣義Ho17Il’yushin在1943年提出的硬化材料在彈塑性小變形情況下的本構(gòu)關(guān)系,這是一個全量型的關(guān)系,類似于廣義Hooke定律.在小變形的情況下作出下列關(guān)于基本要素的假定:(1)體積變形是彈性的,即(2)塑性應(yīng)變張量和應(yīng)力偏張量成比例這個假定就是應(yīng)力和應(yīng)變的定性關(guān)系,即方向關(guān)系和分配關(guān)系.方向關(guān)系指應(yīng)變偏量主軸和應(yīng)力偏量主軸重合,也即應(yīng)變主軸和應(yīng)力主軸重合,而分配關(guān)系是指應(yīng)變偏量和應(yīng)力偏量成正比.形式上和廣義Hooke定律相似,但這里的比例系數(shù)不是一個常數(shù).這是一個非線性關(guān)系.下面我們來看一下這個系數(shù)等于什么?總的偏應(yīng)變張量：一、全量理論Il’yushin在1943年提出的硬化材料在彈塑性小變形情18因為等效應(yīng)力和等效應(yīng)變的公式為:把代入上面右式并考慮上面左式得到(3)等效應(yīng)力是等效應(yīng)變的函數(shù),實驗證明：當(dāng)材料為不可壓縮時，按照不同應(yīng)力路徑所得出的曲線與單軸拉伸時的曲線相近，在工程計算中視為相同。即單一曲線假定.可用單軸拉伸曲線確定。因為等效應(yīng)力和等效應(yīng)變的公式為:把19綜上所述,全量型塑性本構(gòu)方程為注意的是上式只是描述了加載過程中的彈塑性變形規(guī)律.加載的標(biāo)志是等效應(yīng)力成單調(diào)增長.下降時為卸載過程,它服從增量Hooke定律.綜上所述,全量型塑性本構(gòu)方程為注意的是上式只是描述了加載過20對可壓縮材料，按照不同應(yīng)力路徑所得出的曲線與單軸拉伸時的曲線不一致，不能用單軸拉伸曲線確定。對單一曲線假定做修改，表述為：按照不同應(yīng)力路徑所得出的曲線與單軸拉伸時的曲線一致。對可壓縮材料，按照不同應(yīng)力路徑所得出的21二、全量理論的基本方程及邊值問題的提法設(shè)在物體內(nèi)給定體力,在應(yīng)力邊界上給定面力,在位移邊界上給定位移為,要求確定物體內(nèi)處于塑性變形狀態(tài)的各點的應(yīng)力,應(yīng)變和位移.二、全量理論的基本方程及邊值問題的提法設(shè)在物體內(nèi)22按照全量理論,確定這些基本未知量的基本方程有平衡方程幾何方程本構(gòu)方程其中邊界條件這就是對于全量理論的塑性力學(xué)的邊值問題.按照全量理論,確定這些基本未知量的基本方程有平衡方程幾何方程23三、全量理論的適用范圍全量理論適用小變形并且是簡單加載.簡單加載：在加載過程中物體每一點的各個應(yīng)力分量按比例增長.即其中是某一非零的參考應(yīng)力狀態(tài),是單調(diào)增加的參數(shù).這樣定義的簡單加載說明,在加載時物體內(nèi)應(yīng)變和應(yīng)力的主方向都保持不變.但是物體內(nèi)的內(nèi)力是不能事先確定的,那么如何判斷加載過程是簡單加載?Il’yushin指出,在符合下列三個條件時,可以證明物體內(nèi)所有各點是處于簡單加載過程:(1)荷載(包括體力)按比例增長.如有位移邊界條件應(yīng)為零.(2)材料是不可壓縮的.(3)等效應(yīng)力和等效應(yīng)變之間冪指數(shù)關(guān)系,即這就是Il’yushin簡單加載定律.有人認為只有第(1)條就可以了.三、全量理論的適用范圍全量理論適用小變形并且是簡單加載.其24塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的重要特點時它的非線性和不唯一性.全量理論則企圖直接建立全量形式表示的與加載路徑無關(guān)的本構(gòu)關(guān)系,一般是不正確的.本構(gòu)關(guān)系應(yīng)該是它們的增量之間的關(guān)系.這就是增量理論,也就是流動法則.這里介紹兩個增量理論.即Levy-Mises流動法則和Prandtl-Reuss流動法則.§8-5理想彈塑性材料的增量本構(gòu)關(guān)系一、Levy-Mises流動法則和Prandtl-Reuss流動法則塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的重要特點時它的非線性和不唯一性.全量理論251.Levy-Mises流動法則這個理論認為應(yīng)變增量主軸和應(yīng)力主軸重合,應(yīng)變增量分量與相應(yīng)的應(yīng)力偏量分量成比例,即式中的比例系數(shù)決定于質(zhì)點的位置和荷載的水平.這一理論是Levy和Mises分別在1871年和1931年獨立提出的,所以被稱為Levy-Mises流動法則.這個關(guān)系式不包括彈性變形部分,所以只適用剛塑性體.2.Prandtl-Reuss流動法則這個理論考慮了塑性狀態(tài)變形中的彈性變形部分,并認為彈性變形服從廣義Hooke定律;而對于塑性變形部分,被認為塑性應(yīng)變增量的主軸和應(yīng)力偏量的主軸重合.即又由塑性不可壓縮性,體積變化是彈性的,有這就是Prandtl-Reuss流動法則1.Levy-Mises流動法則這個理論認26二、理想彈塑性材料的增量本構(gòu)方程對于理想彈塑性材料,后繼屈服面和初始屈服面是重合的.若采用Mises條件,有屈服函數(shù)Prandtl-Reuss本構(gòu)關(guān)系二、理想彈塑性材料的增量本構(gòu)方程對于理想彈塑性材料,后繼27又因為應(yīng)變比能的增量為上式第一項是體積比能增量,第二項為形狀變形比能,記為這樣考慮Levy-Mises定律有:所以有又因為應(yīng)變比能的增量為上式第一項是體積比能增量,第二項為形狀28理想彈塑性材料的增量型本構(gòu)方程可以寫為如果塑應(yīng)變增量比彈性應(yīng)變增量大得多：或Levy-Mises本構(gòu)關(guān)系即理想剛塑性材料的增量本構(gòu)方程理想彈塑性材料的增量型本構(gòu)方程可以寫為如果塑應(yīng)變增量比彈29對于一個材料的微元體，給定應(yīng)力，使材料進入屈服后。關(guān)于比例因子比例因子的不能通過本構(gòu)方程確定。公式確定的是塑性應(yīng)變的方向，即各分量的比例關(guān)系，但大小是任意的，即是任意正值。增量實際問題中，如已屈服的微元體周圍的物體仍為彈性，由變形協(xié)調(diào)條件，微元體的變形要受到周圍物體的限制，而不能任意發(fā)展，這時是確定的。但不能由微元體本身的本構(gòu)關(guān)系確定，而是由問題的整體條件確定。的討論：對于一個材料的微元體，給定應(yīng)力，使材料進入屈服后。關(guān)于比例因30§8-6彈塑性硬化材料的增量型本構(gòu)方程對于彈塑性硬化材料,采用等向硬化模型,取Mises屈服條件,即(對于理想彈塑性Mises條件為)去掉彈性理想彈塑性上式微分得到§8-6彈塑性硬化材料的增量型本構(gòu)方程對于彈塑性硬化材31是函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù),有簡單的物理意義,見上圖.在線性強化時時常數(shù).所以也稱為塑性模量。是函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù),有簡單的物理32將上面得到的代入Levy-Mises流動法則就得到彈塑性硬化材料的增量型本構(gòu)方程:或?qū)懗?將上面得到的代入Levy-Mises流動法則就33例題3-1如圖所示,一薄壁圓管,其材料的拉伸硬化曲線為線性.試根據(jù)增量理論分別對下列三種加載路徑求管的總軸向應(yīng)變和切向應(yīng)變先拉后扭OAB先扭后拉OCB拉扭同時,并保持比例,如圖OB.屈服曲線例題3-1如圖所示,一薄壁圓管,其材料的拉伸硬化曲線為線34解:根據(jù)題意薄壁圓管的應(yīng)力只有,每一加載路徑分為彈性和彈塑性兩個階段,在彈塑性階段本構(gòu)關(guān)系有:下面分三個路徑進行計算.那么Mises屈服條件是一橢圓:名義應(yīng)力為其它為零.在彈性階段本構(gòu)關(guān)系有:F為塑性模量（）解:根據(jù)題意薄壁圓管的應(yīng)力只有,每一35屈服曲線(1)OAB路徑,分OA和AB段.OA段是彈性階段,A點是屈服點,則有AB段是彈塑性階段,保持不變,變化,其它應(yīng)力分量為零,則有從Mises屈服條件得屈服曲線(1)OAB路徑,分OA和AB段.OA段是彈性階段36屈服曲線代入彈塑性本構(gòu)關(guān)系,沿路徑AB積分,屈服曲線代入彈塑性本構(gòu)關(guān)系,沿路徑AB積分,37得到:屈服曲線總應(yīng)變?yōu)榈玫?屈服曲線總應(yīng)變?yōu)?8屈服曲線(2)OCB路徑總應(yīng)變OC段是彈性階段,C點是屈服點,則有CB段是彈塑性階段,保持不變,變化,其它應(yīng)力分量為零,則有屈服曲線(2)OCB路徑總應(yīng)變OC段是彈性階段,C點是屈服39屈服曲線代入彈塑性本構(gòu)關(guān)系,沿路徑CB積分,并加上OC段變形，得屈服曲線代入彈塑性本構(gòu)關(guān)系,沿路徑CB積分,并加上OC段變40屈服曲線(3)OB路徑總應(yīng)變時屈服，即彈塑性階段應(yīng)力分量：，其它應(yīng)力分量為零。彈性階段變形：屈服曲線(3)OB路徑總應(yīng)變時屈服，即彈塑性階段應(yīng)力分量：，41屈服曲線代入彈塑性本構(gòu)關(guān)系,沿路徑積分,并加上彈性段變形,得屈服曲線代入彈塑性本構(gòu)關(guān)系,沿路徑積分,并加上彈性段變形,42可以看到應(yīng)力狀態(tài)相同,由于路徑不同所得應(yīng)變狀態(tài)不同.(3)OB路徑總應(yīng)變(1)OAB路徑總應(yīng)變(2)OCB路徑總應(yīng)變可以看到應(yīng)力狀態(tài)相同,由于路徑不同所得應(yīng)變狀態(tài)不同.(3)O43§8-7增量理論的基本方程及邊值問題的提法問題的提法在加載過程的某一瞬時,已知,和外荷載的增量:求:§8-7增量理論的基本方程及邊值問題的提法問題的提法44基本方程這些基本物理量必須滿足增量型基本方程.其中是卸載或中性變載,是加載.邊界條件在彈塑性區(qū)交界面上還應(yīng)滿足一定的連續(xù)條件.上述條件下可求出這15個量,然后疊加到原來的上,最后確定新的屈服面,再求下一步增量.基本方程這些基本物理量必須滿足增量型基本方程45§8-8全量理論與增量理論的比較增量理論在加載過程中最后的應(yīng)變狀態(tài)取決于應(yīng)變路徑,而全量理論不管應(yīng)變路徑.特別是在中性變載情況,兩者相差最明顯.因為九個實驗觀察,對中性變載不產(chǎn)生塑性應(yīng)變的改變,增量理論反映了這一特點,而按全量理論只要應(yīng)力分量改變,塑性應(yīng)變也要發(fā)生改變.這是因為加載條件中的中性變載就是增量理論的塑性部分等于零.增量理論在中性區(qū)可以保證應(yīng)力應(yīng)變的連續(xù)性,而全量理論不能.在小變形且簡單加載的情況下,這兩個理論是一致的.現(xiàn)在我們來證明一下,下面是這兩個理論.增量理論全量理論小變形且簡單加載§8-8全量理論與增量理論的比較增量理論在加載過程中最后46簡單加載各分量成比例代入增量理論公式,因為簡單加載所以在加載過程中主方向不變,又是小變形,下面積分存在.增量理論第一式有:增量理論第二式有:簡單加載各分量成比例代入增量理論公式,因為簡單加載所以在加載47上面就證明了在簡單加載,小變形情況下:增量理論=全量理論.雖然增量理論比較合理,但全量理論仍有很大的工程應(yīng)用范圍.這不僅因為全量理論適用于簡單加載,數(shù)學(xué)處理方便,而且對于偏離簡單加載一個相當(dāng)大的范圍全量理論也適用.上面就證明了在簡單加載,小變形情況下:增量理論=全量理論.48§8-9塑性勢理論前面所討論的基本上是由Mises條件和Prandtl-Reuss流動法則建立的塑性本構(gòu)關(guān)系.本節(jié)應(yīng)用塑性勢的概念討論一般的屈服和流動問題.Mises在1928年把彈性勢的概念推廣于塑性力學(xué)以后,使得塑性力學(xué)中的屈服條件,硬化條件和塑性應(yīng)變增量建立了聯(lián)系.1.塑性勢彈性勢大家知道,在彈性力學(xué)中應(yīng)變和彈性應(yīng)變比能有下列關(guān)系,即§8-9塑性勢理論前面所討論的基本上是由Mises條件和P49式中是彈性應(yīng)變比能,對理想彈性體它是正定函數(shù),稱為彈性勢.若