一數(shù)值分析(誤差分析)

數(shù)值分析2023/8/24第一章緒論與誤差分析2第一章緒論與誤差分析§1計(jì)算數(shù)學(xué)討論的對(duì)象和內(nèi)容§2誤差的來(lái)源和分類(lèi)§3誤差的表示§4誤差的傳播§5算法設(shè)計(jì)的若干原則2023/8/24第一章緒論與誤差分析3本章內(nèi)容支配目的意義：了解計(jì)算數(shù)學(xué)的背景知識(shí)；掌握誤差的基本知識(shí)2.重點(diǎn)：誤差來(lái)源、誤差表示、誤差傳播及算法設(shè)計(jì)原則3.難點(diǎn)：有效數(shù)字4.內(nèi)容安排：

第1次：§1計(jì)算數(shù)學(xué)討論的對(duì)象和內(nèi)容§2誤差的來(lái)源和分類(lèi)

第2次：§3誤差的表示§4誤差的傳播§5算法設(shè)計(jì)的若干原則2023/8/24第一章緒論與誤差分析4§1計(jì)算數(shù)學(xué)討論的對(duì)象和內(nèi)容一、計(jì)算數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與進(jìn)展

數(shù)值分析是科學(xué)計(jì)算數(shù)討論領(lǐng)域的一門(mén)專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，是討論科學(xué)計(jì)算中各種數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)值計(jì)算方法的基礎(chǔ)?？茖W(xué)計(jì)算的興起是二十世紀(jì)后半葉最重要的科技進(jìn)步之一，是伴隨著電子計(jì)算機(jī)的消滅而飛快進(jìn)展并獲得廣泛應(yīng)用的新型交叉學(xué)科，是數(shù)學(xué)及計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)其在高科技領(lǐng)域應(yīng)用的必不行少的紐帶和工具。

很多重大的科學(xué)技術(shù)問(wèn)題根本無(wú)法求得理論解，也難以應(yīng)用實(shí)驗(yàn)手段解決，但卻可以借助于計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算?？茖W(xué)計(jì)算與理論討論、科學(xué)實(shí)驗(yàn)并列，已成為當(dāng)今世界科學(xué)活動(dòng)的第三種手段。2023/8/24第一章緒論與誤差分析5計(jì)算克服了理論分析及實(shí)驗(yàn)手段的局限，這是自伽利略、牛頓以來(lái)科學(xué)方法論的最偉大的進(jìn)步，推動(dòng)著科學(xué)實(shí)踐中一場(chǎng)深刻的不行逆轉(zhuǎn)的變革。

在科學(xué)和工程的很多領(lǐng)域有了計(jì)算才能獲得重大的討論成果和完成高度簡(jiǎn)潔的工程設(shè)計(jì)。科學(xué)計(jì)算的方法和理論作為新的討論手段以及新的設(shè)計(jì)和制造技術(shù)的理論基礎(chǔ)，正在并將連續(xù)推動(dòng)當(dāng)代科學(xué)和高新技術(shù)的進(jìn)展。當(dāng)前科學(xué)計(jì)算正在向大規(guī)模和高性能進(jìn)展，要達(dá)到“全物理、全系統(tǒng)、三維、高分辨、高逼真”的數(shù)值模擬，進(jìn)展高效的計(jì)算方法與進(jìn)展高性能的計(jì)算機(jī)同等重要。

數(shù)十年來(lái)在自然科學(xué)和工程科學(xué)中，先后產(chǎn)生了計(jì)算物理、計(jì)算力學(xué)、計(jì)算化學(xué)、計(jì)算生物、計(jì)算經(jīng)濟(jì)學(xué)等一系列計(jì)算性的分支學(xué)科。2023/8/24第一章緒論與誤差分析6今日計(jì)算在科學(xué)和工程討論中幾乎已無(wú)所不在，計(jì)算數(shù)學(xué)正是這很多交叉學(xué)科的紐帶和共同基礎(chǔ)。不同的學(xué)科、不同的工程應(yīng)用會(huì)提出不同的實(shí)際問(wèn)題，但他們往往又是歸結(jié)為若干類(lèi)典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

不同的計(jì)算方法可能是用于解決不同類(lèi)型的科學(xué)問(wèn)題。一方面要尋找更加有效更能發(fā)揮計(jì)算機(jī)功能的新型算法解決老問(wèn)題，另一方面，針對(duì)科學(xué)討論的和工程技術(shù)不斷提出的新問(wèn)題需要設(shè)計(jì)新的高性能算法。各應(yīng)用領(lǐng)域?qū)茖W(xué)計(jì)算的需求越來(lái)越多，要求越來(lái)越高，計(jì)算機(jī)也在不斷進(jìn)展、更新?lián)Q代，這些都要求不斷地進(jìn)展計(jì)算方法。

計(jì)算方法是科學(xué)和工程計(jì)算的核心，構(gòu)造好的計(jì)算方法與研制高性能計(jì)算機(jī)及高效率軟件同等重要，計(jì)算的功效是計(jì)算機(jī)工具的能力與計(jì)算方法的效率之乘積。2023/8/24第一章緒論與誤差分析7計(jì)算數(shù)學(xué)一方面是數(shù)學(xué)，其討論手段包括數(shù)學(xué)推導(dǎo)、分析、論證和計(jì)算，其成果將促進(jìn)學(xué)科自身的進(jìn)展。但另一方面，計(jì)算數(shù)學(xué)又有廣泛的應(yīng)用背景，其討論對(duì)象往往涉及很多其它學(xué)科，其討論成果則可以應(yīng)用于實(shí)際計(jì)算并通常帶有數(shù)值實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。

推動(dòng)純粹數(shù)學(xué)進(jìn)展的動(dòng)力主要來(lái)自自身提出的問(wèn)題，而計(jì)算數(shù)學(xué)進(jìn)展的主要?jiǎng)恿t來(lái)自于解決科學(xué)和工程中的計(jì)算問(wèn)題的需要。計(jì)算數(shù)學(xué)的進(jìn)展離不開(kāi)計(jì)算機(jī)，計(jì)算方法的改進(jìn)將能使計(jì)算機(jī)的作用得到充分的進(jìn)展，而計(jì)算數(shù)學(xué)提出的要求也將對(duì)計(jì)算機(jī)的進(jìn)展與更新?lián)Q代供應(yīng)新的推動(dòng)力?？茖W(xué)和工程計(jì)算的能力與進(jìn)展水平是一個(gè)國(guó)家綜合國(guó)力的重要標(biāo)志。世界發(fā)達(dá)國(guó)家都極其重視這一討論領(lǐng)域，并以大量資金投入加以支持。美國(guó)在此領(lǐng)域長(zhǎng)期處于領(lǐng)先地位，目前有每秒萬(wàn)億次的計(jì)算機(jī)用于科學(xué)計(jì)算。2023/8/24第一章緒論與誤差分析8二、計(jì)算數(shù)學(xué)討論的對(duì)象和任務(wù)

依據(jù)數(shù)學(xué)模型提出的問(wèn)題，建立求解問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法并進(jìn)行方法的理論分析，再編制出算法程序上機(jī)計(jì)算并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，這一過(guò)程就是計(jì)算數(shù)學(xué)討論的對(duì)象和任務(wù)。因此，計(jì)算數(shù)學(xué)就是討論用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法及其理論。

計(jì)算數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)分支，但它不象純數(shù)學(xué)那樣只討論數(shù)學(xué)本身的理論，而是把理論與計(jì)算緊密結(jié)合，著重討論面對(duì)計(jì)算機(jī)的，能夠解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)值方法及其理論,簡(jiǎn)略地說(shuō)，數(shù)值分析討論的內(nèi)容包括：

1.構(gòu)造可在計(jì)算機(jī)上求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法

2.分析方法的牢靠性，即按此方法計(jì)算得到的解是否牢靠，與精確解之差是否很小，以確保計(jì)算解的有效性。2023/8/24第一章緒論與誤差分析93.分析方法的效率。分析比較求解同一問(wèn)題的各種方法的計(jì)算速度和存儲(chǔ)量，以便使用者依據(jù)各自的情況采納高效率的方法，節(jié)省人力、物力和時(shí)間，這樣的分析是數(shù)值分析的一個(gè)重要部分。應(yīng)當(dāng)指出，數(shù)值方法的構(gòu)造和分析是親密相關(guān)不行分割的。例如：計(jì)算3次多項(xiàng)式的函數(shù)值直接計(jì)算需要6次乘法，3次加法。如果作如下改變：只有3次乘法，3次加法。這個(gè)算法稱(chēng)作：秦九紹算法。2023/8/24第一章緒論與誤差分析10對(duì)于給定的數(shù)學(xué)問(wèn)題，常?？梢蕴岢龈鞣N各樣的數(shù)值計(jì)算方法。如何評(píng)價(jià)這些算法的優(yōu)劣呢？一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)好的方法應(yīng)具有如下的特點(diǎn)：(1).結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔，易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)；

(2).有牢靠的理論分析，理論上可保證方法的收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性；

(3).計(jì)算效率高，時(shí)間效率高是指計(jì)算速度快，節(jié)省時(shí)間，空間效率高是指節(jié)省存儲(chǔ)量；

(4).經(jīng)過(guò)數(shù)值試驗(yàn)檢驗(yàn)，即一個(gè)算法除了理論上要滿(mǎn)意上述三點(diǎn)外，還要通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)來(lái)證明是行之有效的。

在學(xué)習(xí)數(shù)值分析時(shí)，我們要注意掌握數(shù)值方法的基本原理和思想，要注意方法處理的技巧及其與計(jì)算機(jī)的結(jié)合，要重視誤差分析、收斂性及穩(wěn)定性的基本理論。此外，還要通過(guò)應(yīng)用數(shù)值方法編程計(jì)算簡(jiǎn)略例子，以提高使用各種數(shù)值方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。三、數(shù)值分析的學(xué)習(xí)內(nèi)容1.數(shù)值逼近(1).代數(shù)插值：Lagrange、Newton、Spline插值(2).最佳逼近：最佳全都逼近、最佳平方逼近(最小二乘法)(3).數(shù)值微積分：等距節(jié)點(diǎn)求積公式、Gauss型求積公式2.數(shù)值代數(shù)(1).線(xiàn)性方程組求解(2).矩陣的特征值、特征向量計(jì)算(3).非線(xiàn)性方程求根、非線(xiàn)性方程組求解3.微分方程求解(1).常微分方程數(shù)值解：歐拉折線(xiàn)法和龍格庫(kù)塔法(2).偏微分方程數(shù)值解：差分法、有限元法2023/8/24第一章緒論與誤差分析12四、學(xué)習(xí)要求1.掌握構(gòu)造算法的基本思想和方法2.掌握解決常見(jiàn)問(wèn)題的基本算法3.重視算法的誤差分析、收斂性分析和穩(wěn)定性分析4.注意在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)算法并用于解決實(shí)際計(jì)算問(wèn)題五、計(jì)算實(shí)習(xí)報(bào)告寫(xiě)法

1.實(shí)習(xí)題目2.班級(jí)姓名3.目的意義4.數(shù)學(xué)模型（數(shù)學(xué)公式）5.算法6.（流程圖）程序7.數(shù)值算例8.對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析評(píng)價(jià)9.參考文獻(xiàn)2023/8/24第一章緒論與誤差分析13§2誤差的來(lái)源和分類(lèi)

在科學(xué)和工程計(jì)算中,估量計(jì)算結(jié)果的精確度是十分重要的,而影響精確度的是各種各樣的誤差。所謂誤差就是一個(gè)物理量的真實(shí)值與近似值之間的差。誤差依據(jù)它們的來(lái)源可分為模型誤差、觀測(cè)誤差、截?cái)嗾`差和舍入誤差四種。1.模型誤差在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，往往要忽視很多次要因素，由此而產(chǎn)生的誤差稱(chēng)為模型誤差。如忽視空氣阻力、摩擦力等。2.觀測(cè)誤差數(shù)學(xué)模型中包含的一些物理參數(shù)，它們的值往往是通過(guò)觀測(cè)和試驗(yàn)得到的，難免帶有誤差。這種觀測(cè)數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間的誤差稱(chēng)為觀測(cè)誤差。如單擺運(yùn)動(dòng)的繩長(zhǎng)

l及重力加速度g等。2023/8/24第一章緒論與誤差分析14那么此近似公式的截?cái)嗾`差為

求解數(shù)學(xué)模型所用的數(shù)值方法一般是一種近似方法，只能得到數(shù)學(xué)模型的近似解。這種因近似方法的使用所產(chǎn)生的誤差稱(chēng)為截?cái)嗾`差或方法誤差。例如，利用Taylor公式，函數(shù)ex

可表示為對(duì)給定的

x

，要計(jì)算函數(shù)值ex

時(shí)，可采納近似公式3.截?cái)嗾`差（方法誤差）2023/8/24第一章緒論與誤差分析15

由于計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)有限，參加運(yùn)算的數(shù)據(jù)以及計(jì)算結(jié)果在計(jì)算機(jī)上存放時(shí)，計(jì)算機(jī)會(huì)按舍入原則舍去每個(gè)數(shù)據(jù)字長(zhǎng)之外的數(shù)字，從而產(chǎn)生誤差，這種誤差稱(chēng)為舍入誤差或計(jì)算誤差。

4．舍入誤差（計(jì)算誤差）這里所產(chǎn)生的誤差就是計(jì)算舍入誤差。

在數(shù)值分析中，一般總假定數(shù)學(xué)模型是精準(zhǔn)的，因而不考慮模型誤差和觀測(cè)誤差，主要討論截?cái)嗾`差和舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。這個(gè)結(jié)果是不精準(zhǔn)的，精準(zhǔn)的結(jié)果應(yīng)是例如，在十進(jìn)制十位的限制下，會(huì)消滅(1.000002)2-1.000004=0(1.000002)2-1.000004=1.000004000004-1.000004=4×10-122023/8/24第一章緒論與誤差分析16例1.1求單擺角的變化規(guī)律解：(1).建模：依據(jù)Newton定律得到

(2).測(cè)量l、g的值(3).模型求解，令得到：再令得到解得：

(t)=Acost+Bsin

t非線(xiàn)性微分方程(*)的求解也可以采納數(shù)值解法。2023/8/24第一章緒論與誤差分析17

以上內(nèi)容介紹了誤差的來(lái)源及分類(lèi)，誤差有四類(lèi)：（1）.模型誤差（2）.觀測(cè)誤差（3）.方法誤差（截?cái)嗾`差）（4）.計(jì)算誤差（舍入誤差）知道了誤差產(chǎn)生的根源，在進(jìn)行理論分析時(shí)，需要將誤差量化，以便于推理分析，因此下面我們將引入誤差的表示式。2023/8/24第一章緒論與誤差分析18例如，x=1.414通常作為無(wú)理數(shù)的一個(gè)近似值，它的肯定誤差是?！?誤差的表示一、肯定誤差如果存在ε使得|e|=|x-x*|≤ε,則稱(chēng)ε其為肯定誤差限。例如：

定義1.1

設(shè)x

是精確值，x*是x的一個(gè)近似值。記則稱(chēng)其為近似值x*的肯定誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)誤差。

e=x-x*2023/8/24第一章緒論與誤差分析19

用肯定誤差來(lái)刻畫(huà)近似值的精確程度是有限的，由于它沒(méi)有反映出它相對(duì)于精確值的大小或它占精確值的比例。例如兩個(gè)數(shù)

x、y

與它們的近似值

x*、y*分別為則有誤差限雖然εy是εx

的3倍，但在1000內(nèi)差3顯然比10內(nèi)差1更精確些。這說(shuō)明一個(gè)近似值的精確程度除了與肯定誤差有關(guān)外，還與精確值的大小有關(guān)，所以這時(shí)可以用相對(duì)誤差來(lái)比較這兩個(gè)近似數(shù)的精準(zhǔn)度。二、相對(duì)誤差x=10,x*=10±1;y=1000,y*=1000±3|x-x*|≤1=εx,

|y-y*|≤3=εy.2023/8/24第一章緒論與誤差分析20則稱(chēng)其為近似值x*的相對(duì)誤差。定義1.2

記如果由于

x

未知，實(shí)際使用時(shí)總是將

x*

的相對(duì)誤差取為則稱(chēng)η

為

x*

的相對(duì)誤差限。的相對(duì)誤差限分別為可見(jiàn)，測(cè)量值

y

比

x

精確。這時(shí)

x=10,x*=10±1;y=1000,y*=1000±3.2023/8/24第一章緒論與誤差分析21

例1-2設(shè)x*=2.18是由精確值x

經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似值。問(wèn)

x的肯定誤差限ε和相對(duì)誤差限η各是多少？解：由于

x=x*±0.005，

關(guān)于近似數(shù)誤差的大小除了用肯定誤差、相對(duì)誤差度量以外，還可以用有效數(shù)字度量，下面給出有效數(shù)字的概念。

所以肯定誤差限為ε=0.005相對(duì)誤差限為2023/8/24第一章緒論與誤差分析22三、有效數(shù)字一個(gè)數(shù)的近似數(shù)往往是通過(guò)四舍五入的原則求得，例如取以下近似數(shù)

可以發(fā)現(xiàn)每一個(gè)近似數(shù)的肯定誤差限都不超過(guò)近似數(shù)末尾數(shù)的半個(gè)單位。如果一個(gè)近似數(shù)滿(mǎn)意這個(gè)條件，就把這個(gè)近似數(shù)從末尾到第一位非零數(shù)字之間的全部數(shù)字叫做有效數(shù)字。則分別得到這些近似數(shù)的肯定誤差2023/8/24第一章緒論與誤差分析23則稱(chēng)近似數(shù)

x*

具有

n位有效數(shù)字。定義1.3

設(shè)數(shù)

x的近似值可以表示為其中

m

是整數(shù),αi(i=1,2,…,n)是0到9中的一個(gè)數(shù)字，而α1≠0.如果其肯定誤差限為例如近似數(shù)

x*=2.0004，其肯定誤差限為由科學(xué)計(jì)數(shù)法

x*=0.20004×101得到故，該近似數(shù)有五位有效數(shù)字。2023/8/24第一章緒論與誤差分析24

例1-3下列近似數(shù)是通過(guò)四舍五入的方法得到的，試判定它們各有幾位有效數(shù)字：

解：我們可以直接依據(jù)近似數(shù)來(lái)推斷有效數(shù)字的位數(shù)，也可以通過(guò)肯定誤差限來(lái)推斷。有5位有效數(shù)字。同理可以寫(xiě)出可以得出

x2,x3,x4

各具有4、3、4位有效數(shù)字。x1*=87540，x2*=8754×10,x3*=0.00345,x4*=0.3450

×10-2已知2023/8/24第一章緒論與誤差分析25例1-4已知

e=2.718281828……,試推斷下面兩個(gè)近似數(shù)各有幾位有效數(shù)字？解：由于而所以

e1有7位有效數(shù)字。同理：e2

只有6位有效數(shù)字。2023/8/24第一章緒論與誤差分析26三、肯定誤差、相對(duì)誤差、有效數(shù)字的關(guān)系2、肯定誤差與有效數(shù)字的關(guān)系得到：1、肯定誤差與相對(duì)誤差的關(guān)系可以知道：有效數(shù)字位數(shù)越多，肯定誤差限越小。由關(guān)系式：2023/8/24第一章緒論與誤差分析273、相對(duì)誤差與有效數(shù)字的關(guān)系由近似數(shù)得到相對(duì)誤差限可以看出：有效數(shù)字位數(shù)越多，相對(duì)誤差限越小。及2023/8/24第一章緒論與誤差分析28

解：由于，則近似值

x*

可寫(xiě)為

例

1-5為了使的近似值的相對(duì)誤差小于10-3，問(wèn)應(yīng)取幾位有效數(shù)字？

依據(jù)只要即可。解得：n≥4，故只要取

n=4,就可滿(mǎn)意要求。即應(yīng)取4位有效數(shù)字，精準(zhǔn)數(shù)為：此時(shí)

x=4.472.2023/8/24第一章緒論與誤差分析29

練習(xí)1.1:推斷下列近似數(shù)個(gè)有幾位有效數(shù)字，用肯定誤差限表示。注意：精確值的有效數(shù)字可以認(rèn)為有無(wú)限多位。如：x1*=24.67x2*=3850×103x3*=0.6742×10-2x4*=0.000374x5*=0.84002023/8/24第一章緒論與誤差分析30§4誤差的傳播

當(dāng)我們?cè)谟?jì)算函數(shù)值時(shí)，由于自變量的值往往帶有誤差，這樣便會(huì)使函數(shù)值產(chǎn)生肯定的誤差，這時(shí)，也需要對(duì)這種誤差做出估量。

對(duì)于n元函數(shù)：y=f(x1,x2,…,xn)，若x1*,x2*,…,xn*

為的x1,x2,…,xn

近似值，則由Taylor

展式得到肯定誤差估量的近似式：e(y)=f(x1,x2,…,xn)-f(x1*,x2*,…,xn*)2023/8/24第一章緒論與誤差分析31即肯定誤差為：此時(shí)，得相對(duì)誤差為：例如：對(duì)于一元函數(shù)

y=f(x)其中，2023/8/24第一章緒論與誤差分析32

例1-6測(cè)得直角三角形的斜邊c

及始終角邊a的近似值為c*=75cm,a*=32cm，而且測(cè)量誤差為如果計(jì)算邊

a對(duì)應(yīng)的角

A

時(shí)會(huì)產(chǎn)生多大的誤差？解：由a=csinA得到則由肯定誤差估量式：及2023/8/24第一章緒論與誤差分析33于是：從而：即，由于對(duì)邊的測(cè)量產(chǎn)生的誤差，影響到角的計(jì)算將產(chǎn)生9分的誤差。2023/8/24第一章緒論與誤差分析34

例

1-7周長(zhǎng)為

10cm的圓，在計(jì)算面積時(shí)，欲使其誤差不超過(guò)0.1cm2，問(wèn)測(cè)量半徑時(shí)誤差應(yīng)掌握在什么范圍以?xún)?nèi)？解：首先給出面積的計(jì)算公式其肯定誤差為于是應(yīng)有e(s)=s‘(r)e(r)=2πre(r)2023/8/24第一章緒論與誤差分析35§5算法設(shè)計(jì)的若干原則

在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算時(shí)，由于計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)有限，只能保留有限位有效數(shù)字，因而每一步計(jì)算都可能產(chǎn)生誤差，比如計(jì)算舍入誤差。在反復(fù)多次的計(jì)算過(guò)程中，將產(chǎn)生誤差的傳播和積累。當(dāng)誤差積累過(guò)大時(shí)，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果失真。因而，為削減舍入誤差的影響，設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)遵循如下一些原則。一、避開(kāi)兩個(gè)相近的數(shù)相減

在數(shù)值計(jì)算中，兩個(gè)相近的數(shù)相減會(huì)使有效數(shù)字受到損失，有效數(shù)位削減。例如都有四位有效數(shù)字，但

x-y=0.005

卻僅有一位有效數(shù)字。x=5.143,y=5.1382023/8/24第一章緒論與誤差分析36事實(shí)上，如果

x、y

的近似值分別為x*、y*，則兩數(shù)的差為：z=

x-y,z*=

x*-y*.可見(jiàn)，當(dāng)

x*與y*

格外接近時(shí)，x*-y*

作為

x-y的近似值其相對(duì)誤差有可能很大。2023/8/24第一章緒論與誤差分析37當(dāng)

x

接近零時(shí)，可有當(dāng)x>0

很大時(shí)，可有如果找不到適當(dāng)方法，可考慮在計(jì)算機(jī)上采納雙倍字長(zhǎng)計(jì)算，以增加有效數(shù)字，提高精度。

在數(shù)值計(jì)算中，如果遇到兩個(gè)近似的數(shù)相減運(yùn)算，可考慮能否轉(zhuǎn)變一下算法以避開(kāi)兩數(shù)相減。例如：

當(dāng)

x1x2

接近時(shí)，可有2023/8/24第一章緒論與誤差分析38

例如，在八位十進(jìn)制計(jì)算機(jī)上計(jì)算

A=63281312+0.1+0.9二.防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)

參加計(jì)算的數(shù)，有時(shí)數(shù)量級(jí)相差很大，如果不注意實(shí)行相應(yīng)措施，在它們的加、減法運(yùn)算中，肯定值很小的數(shù)往往被肯定值較大的數(shù)“吃掉”，不能發(fā)揮其作用，造成計(jì)算結(jié)果失真。此時(shí)，依據(jù)加法浮點(diǎn)運(yùn)算的對(duì)階規(guī)章，應(yīng)有

由于計(jì)算機(jī)只能存放八位十進(jìn)制數(shù)，上式中后兩個(gè)數(shù)在計(jì)算機(jī)上變成“機(jī)器零”，計(jì)算結(jié)果為A=0.63281312×108+0.000000001×108+0.000000009×108A=0.63281312×108=63281312即相對(duì)小數(shù)0.1和0.9已被大數(shù)63281312吃掉,計(jì)算結(jié)果失真。2023/8/24第一章緒論與誤差分析39一般情況下：當(dāng)一組數(shù)進(jìn)行相加運(yùn)算時(shí)，應(yīng)依據(jù)由小到大的次序進(jìn)行相加。

如果轉(zhuǎn)變計(jì)算次序，現(xiàn)將兩個(gè)小數(shù)相加得到整數(shù)1，再進(jìn)行整數(shù)加法運(yùn)算，就可以比避開(kāi)上述現(xiàn)象。此時(shí)

A=(0.1+0.9)+

63281312=1+

63281312=632813132023/8/24第一章緒論與誤差分析40三.肯定值太小的數(shù)不宜作除數(shù)

在計(jì)算過(guò)程中，用肯定值很小的數(shù)作除數(shù)會(huì)使商的數(shù)量級(jí)增加。假設(shè)x、

y

的近似值分別是x*、

y*，則

的近似值是可見(jiàn)，當(dāng)|y|很小時(shí)，

z

的肯定誤差可能很大。

此外，當(dāng)商過(guò)大時(shí)，或者其數(shù)值超出計(jì)算機(jī)表示的范圍而引發(fā)“溢出”現(xiàn)象，或者作為一個(gè)大數(shù)它將吃掉參加運(yùn)算的一些小數(shù)。2023/8/24第一章緒論與誤差分析41的值。如果采納逐項(xiàng)計(jì)算然后相加的算法：四.注意簡(jiǎn)化計(jì)算程序，削減計(jì)算次數(shù)

同一個(gè)問(wèn)題的計(jì)算，可以有不同的計(jì)算方法。若方法選取得當(dāng)能削減計(jì)算次數(shù)，則不僅可提高計(jì)算速度，也可削減誤差積累。例如，對(duì)給定的，計(jì)算多項(xiàng)式所需的乘法次數(shù)為

加法次數(shù)為

n次。2023/8/24第一章緒論與誤差分析42如果把

pn(x)

改寫(xiě)為采納如下算法：秦九韶算法這時(shí)，只有

n

次乘法，加法次數(shù)為n

次。2023/8/24第一章緒論與誤差分析43五、選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法利用分部積分法可得到遞推公式如果求得初始值的近似值

一種數(shù)值算法，如果其計(jì)算舍入誤差積累是可掌握的，則稱(chēng)其為數(shù)值穩(wěn)定的，反之稱(chēng)為數(shù)值不穩(wěn)定的。數(shù)值不穩(wěn)定的算法沒(méi)有有用價(jià)值?？紤]積分計(jì)算則可求得全部積分的近似值：2023/8/24第一章緒論與誤差分析44并且得到誤差為：如果依據(jù)此算法計(jì)算，當(dāng)n=20時(shí)，誤差將會(huì)很大，因此該方法需要改進(jìn)。將積分遞推式改寫(xiě)如下：再估量第一項(xiàng)依據(jù)2023/8/24第一章緒論與誤差分析45可得取這時(shí)的誤差為：于是得到轉(zhuǎn)變后的算法當(dāng)n=20，19，…，1，0時(shí)，誤差將會(huì)越來(lái)越小。因此改進(jìn)后的算法是一個(gè)穩(wěn)定的算法。2023/8/24第一章緒論與誤差分析46

習(xí)題一

1-1下列各數(shù)都是經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似值。試分別指出它們的肯定誤差限，相對(duì)誤差限和有效數(shù)字的位數(shù)。

a=0.0315,b=0.3015,c=31.50,d=50001-2下列近似值的肯定誤差限都是0.005,

a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032試指出它們有幾位有效數(shù)字。1-3為了使的近似值的相對(duì)誤差小于0.01%，試問(wèn)應(yīng)取幾位有效數(shù)字？1-4求方程x2-56x+1=0的兩個(gè)根，使它們至少具有四位有效數(shù)字2023/8/24第一章緒論與誤差分析47

1-6設(shè)

,假定

g

是精確的，而對(duì)時(shí)間

t

的測(cè)量有

±0.1s

的誤差。證明：當(dāng)t

增大時(shí)，S的肯定誤差增大而相對(duì)誤差減小.1-5若取

及初始值

y0=28,按遞推公式

計(jì)算

y100，試估量y100

有多大誤差。2023/8/24第一章緒論與誤差分析48（一）中國(guó)科學(xué)計(jì)算的進(jìn)展?fàn)顩r

我國(guó)在1956年制定科學(xué)規(guī)劃時(shí)已將計(jì)算數(shù)學(xué)列為重點(diǎn),從50年月末我國(guó)有了電子計(jì)算機(jī)以來(lái)，科學(xué)計(jì)算始終處于計(jì)算及應(yīng)用的主導(dǎo)地位。1991年“大規(guī)?？茖W(xué)與工程計(jì)算的方法和理論”被列入首批國(guó)家基礎(chǔ)討論重大關(guān)鍵項(xiàng)目即“攀登計(jì)劃”項(xiàng)目。1997年這一項(xiàng)目又被國(guó)家列入“九五”“攀登計(jì)劃”預(yù)選項(xiàng)目。1999年“大規(guī)?？茖W(xué)計(jì)算討論”被列入“國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)討論進(jìn)展規(guī)劃”，即“973”項(xiàng)目。

大規(guī)模科學(xué)計(jì)算問(wèn)題是當(dāng)今國(guó)家急待解決的重要問(wèn)題之一，例如，我國(guó)生態(tài)環(huán)境先天脆弱，水土流失、污染嚴(yán)重，常常蒙受多種自然災(zāi)難，如長(zhǎng)江流域嚴(yán)重洪災(zāi)等等。加強(qiáng)大氣、海洋和環(huán)境的數(shù)值模擬和猜測(cè)，將可找到更多有效的措施減災(zāi)防災(zāi)。附

錄：2023/8/24第一章緒論與誤差分析49在高技術(shù)與基礎(chǔ)工業(yè)中也有很多急待解決的簡(jiǎn)潔流淌和掌握的計(jì)算問(wèn)題。又如，石油勘探開(kāi)發(fā)是高風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)業(yè)，需要精細(xì)了解地下結(jié)構(gòu)、確定油藏規(guī)模，定量掌握地下油氣流淌過(guò)程，以制定合理的開(kāi)發(fā)方案。計(jì)算將節(jié)省數(shù)以?xún)|計(jì)的經(jīng)費(fèi)，形成強(qiáng)有力的高新技術(shù)，轉(zhuǎn)化為巨大的生產(chǎn)力。在其他很多領(lǐng)域都存在著同樣的例子。

在計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計(jì)算討論領(lǐng)域，我國(guó)學(xué)者做出了很多杰出的貢獻(xiàn)，他們不僅為我國(guó)科學(xué)計(jì)算和工程計(jì)算的眾多實(shí)際問(wèn)題供應(yīng)了很多有效的算法，進(jìn)行了大量有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的計(jì)算，而且極大的豐富了計(jì)算數(shù)學(xué)的理論寶庫(kù)，有一批成果還在國(guó)際上有很高的地位，使我國(guó)計(jì)算數(shù)學(xué)和科學(xué)工程計(jì)算領(lǐng)域在國(guó)際上占有重要的一席之地。2023/8/24第一章緒論與誤差分析50

從50年月開(kāi)頭，我國(guó)形成了一支活躍的、高水平的計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計(jì)算討論隊(duì)伍，分布在中國(guó)科學(xué)院、高等院校和各產(chǎn)業(yè)部門(mén)。近半個(gè)世紀(jì)來(lái)，這支隊(duì)伍在中國(guó)計(jì)算機(jī)硬件設(shè)備長(zhǎng)期落后于國(guó)際先進(jìn)水平的條件下，發(fā)揮著自己的智力優(yōu)勢(shì)，制造性的解決了國(guó)家經(jīng)濟(jì)和國(guó)防建設(shè)中的很多問(wèn)題，為原子彈氫彈的研制、人造衛(wèi)星上天、遠(yuǎn)程運(yùn)載火箭的放射以