流體力學(xué)第七章

流體力學(xué)第七章課件1第1頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)§7-1無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)一、速度勢(shì)的定義及其確定它是使uxdx+uydy+uzdz成為某一函數(shù)全微分的充要條件，我們把函數(shù)稱為速度勢(shì)。這里t為參變數(shù)。必有若是無(wú)旋運(yùn)動(dòng)，ω=0，在直角坐標(biāo)系中必有

2第2頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)上述說(shuō)明了只要求得一個(gè)速度勢(shì)便可確定三個(gè)速度分量，速度勢(shì)與速度的這種關(guān)系在柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)中可類似地得到，分別為又故則

由此說(shuō)明了無(wú)旋必有勢(shì)，反之可證有勢(shì)必?zé)o旋。

3第3頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)還可證明，ψ對(duì)于任意方向l的方向?qū)?shù)等于該方向的分速，即證：由高等數(shù)學(xué)知識(shí)其中，是該方向的單位矢量；α為

與梯度的夾角；ul為速度在方向的分量。4第4頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)順便可得到標(biāo)量函數(shù)(不限于速度勢(shì)ψ)的全微分與方向?qū)?shù)及梯度的關(guān)系：顯然，已知速度分布要確定速度勢(shì)，可直接根據(jù)速度勢(shì)的定義求得。在直角坐標(biāo)系中利用斯托克斯定理可證：對(duì)于無(wú)旋運(yùn)動(dòng)，在單連通區(qū)域中(域內(nèi)沒(méi)有奇點(diǎn))上述線積分與積分路徑無(wú)關(guān)。積分時(shí)可取一條簡(jiǎn)便的路徑，例如圖。5第5頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)連續(xù)性微分方程，在直角坐標(biāo)中為若是無(wú)旋勢(shì)流，可將代入得對(duì)于不可壓縮流體，上式成為或?qū)懗杉礊槔绽?Laplace)方程，它是一個(gè)二階線性偏微分方程。為拉普拉斯算子。6第6頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)

滿足拉普拉斯方程的函數(shù)在數(shù)學(xué)上稱為調(diào)和函數(shù)。由此可見(jiàn)，對(duì)于不可壓縮流體的無(wú)旋流動(dòng)，問(wèn)題歸結(jié)于求解在給定邊界條件與初始條件下的拉普拉斯方程，即確定調(diào)和函數(shù)ψ(x，y，z，t)。對(duì)于平面流動(dòng)，uz=0，上式成為求解速度勢(shì)ψ的邊界條件為(1)在無(wú)窮遠(yuǎn)處，或當(dāng)(2)在固壁上流體不能滲入亦不能脫離，故有即

這種邊界條件下求解拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題稱為諾埃曼(Neumen)問(wèn)題，又叫第二類邊值問(wèn)題。對(duì)于非定常流動(dòng)，還需利用初始條件。7第7頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)二、速度勢(shì)與速度環(huán)量的關(guān)系對(duì)于無(wú)旋勢(shì)流，有式中終點(diǎn)A'與始點(diǎn)A重合。顯然，對(duì)于單連通區(qū)域，ψ是坐標(biāo)的單值函數(shù)，則Γ=0；而對(duì)于多連通區(qū)域，ψ是坐標(biāo)點(diǎn)的多值函數(shù)，則?！?。8第8頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)§7-2平面流動(dòng)的流函數(shù)一、流函數(shù)的定義及其確定求解不可壓縮流體平面勢(shì)流問(wèn)題，除了通過(guò)確定速度勢(shì)ψ的途徑以外，還可通過(guò)確定流函數(shù)的途徑。對(duì)于不可壓縮流體的平面流動(dòng)，由連續(xù)性微分方程，在直角坐標(biāo)系中為即它是使-uydx+uxdy成為某一函數(shù)Ψ(x，y，t)的全微分的充要條件，則有9第9頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)故

Ψ(x，y，t)就稱為不可壓縮流體平面流動(dòng)的流函數(shù)，是拉格朗日(J.L.Lagrange)首先于1781年引入的。類似地可證：在極坐標(biāo)中由此可見(jiàn)，只要求出一個(gè)流函數(shù)，便可確定兩個(gè)速度分量。無(wú)論是無(wú)旋流還是有旋流，理想流體還是粘性流體，定常流還是非定常流，不可壓縮流體的平面流動(dòng)總是存在流函數(shù)。但是，空間三元流動(dòng)一般不存在流函數(shù)，僅軸對(duì)稱流動(dòng)除外(見(jiàn)§7-13)。10第10頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)不可壓縮流體平面流動(dòng)流函數(shù)的確定。顯然由于平面流動(dòng)滿足連續(xù)性微分方程式(7-13)，它是上述線積分與路徑無(wú)關(guān)的充要條件，因此線積分時(shí)可取一條簡(jiǎn)便的路徑。此外，若將式(7-14)代入式(7-13)可發(fā)現(xiàn)，引入流函數(shù)后連續(xù)性微分方程必自動(dòng)滿足。若是不可壓縮流體平面無(wú)旋流，ω=0，存在將式(7-14)代入上式后得即11第11頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)說(shuō)明了不可壓縮流體平面無(wú)旋流動(dòng)的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，即流函數(shù)亦是調(diào)和函數(shù)。求解流函數(shù)時(shí)還需利用邊界條件:(1)在無(wú)窮遠(yuǎn)處(2)在固壁上Ψ=常量，即固壁是一條流線(見(jiàn)下面流函數(shù)的基本性質(zhì)1)。通常取固壁上Ψ=0，即固壁作為零流線。

這種求解拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題稱為狄利克雷(Dirichlet)問(wèn)題，又叫做第一類邊值問(wèn)題。對(duì)于非定常流動(dòng)，還需利用初始條件。二、流函數(shù)的基本性質(zhì)1.等流函數(shù)線為流線因?yàn)榧礊榱骶€方程。12第12頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)2.對(duì)于不可壓縮流體的平面流動(dòng)，任意兩點(diǎn)流函數(shù)之差等于通過(guò)這兩點(diǎn)任意連線的流量。證考察通過(guò)任意一條曲線AB(z方向?yàn)閱挝婚L(zhǎng)度)的流量(圖)。對(duì)于通過(guò)微元矢量的流量則通過(guò)A、B兩點(diǎn)的任意連線AB的流量13第13頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)由于引入流函數(shù)后自動(dòng)滿足不可壓縮流體平面流動(dòng)的連續(xù)性微分方程(7-13)，所以上述線積分與積分路徑無(wú)關(guān)。顯然，若AB曲線是一條流線，則ΨA=ΨB，QAB=0。若AB曲線是一條任意的封閉曲線，A、B兩點(diǎn)重合，令此時(shí)的B點(diǎn)記為A'，則對(duì)于所在的單連通區(qū)域(域內(nèi)沒(méi)有點(diǎn)源、點(diǎn)匯或可膨脹、壓縮的內(nèi)邊界時(shí))，Ψ為坐標(biāo)點(diǎn)的單值函數(shù)，否則，如在水下爆炸或有氣泡運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題中，所研究的是多連通區(qū)域，Ψ為坐標(biāo)點(diǎn)的多值函數(shù)，則式中Q0為通過(guò)內(nèi)邊界的總流量。14第14頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)3.等流函數(shù)線(流線)與等勢(shì)線正交這是因?yàn)檎f(shuō)明流函數(shù)的梯度與速度勢(shì)的梯度(即速度)正交，故分別與它們垂直的等流函數(shù)線(即流線)與等勢(shì)線正交。根據(jù)這一性質(zhì)，流線族與等勢(shì)線族組成正交網(wǎng)格，稱為流網(wǎng)。在工程上，可利用繪制流網(wǎng)的方法圖解確定平面勢(shì)流的速度場(chǎng)。15第15頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)例.不可壓縮流體流場(chǎng)的流函數(shù)Ψ=ax2-ay2，問(wèn)：(1)流動(dòng)是無(wú)旋還是有旋？(2)若無(wú)旋，確定流動(dòng)的速度勢(shì)。解：(1)因故是無(wú)旋流。(2)積分于是16第16頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)故則17第17頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)§7-3勢(shì)流疊加原理與奇點(diǎn)法對(duì)于復(fù)雜勢(shì)流，邊界條件與初始條件往往比較復(fù)雜，要直接用解析法求解拉普拉斯方程通常十分困難，所以一般利用幾個(gè)簡(jiǎn)單的基本勢(shì)流的疊加得到復(fù)雜勢(shì)流的解。由于這些基本勢(shì)流在數(shù)學(xué)上往往存在奇點(diǎn)，因而勢(shì)流疊加一般是奇點(diǎn)的疊加，故勢(shì)流疊加法又稱為奇點(diǎn)(疊加)法。這種方法的基本思想是利用湊合法，適當(dāng)設(shè)置幾個(gè)奇點(diǎn)，使疊加后得到一條符合物體邊界形狀的流線。18第18頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)勢(shì)流遵守疊加原理，即幾個(gè)基本勢(shì)流疊加后仍為勢(shì)流，這是勢(shì)流的又一個(gè)特點(diǎn)?，F(xiàn)證明如下:設(shè)將n個(gè)基本勢(shì)流的速度勢(shì)疊加，得不可壓縮流體無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)滿足拉普拉斯方程:由于拉普拉斯方程是線性的，因而疊加后的速度勢(shì)仍滿足拉普拉斯方程，即同理，對(duì)于不可壓縮平面流動(dòng)，若有因?yàn)槠矫鏌o(wú)旋勢(shì)流滿足所以19第19頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)由于速度勢(shì)及流函數(shù)具有上述可疊加性，因而速度亦具有可疊加性:因?yàn)樗约赐韯t20第20頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)§7-4基本平面勢(shì)流工程上流體平行流過(guò)薄平板或平行于平面壁的理想流體流動(dòng)就是平行直線流(如圖)。一、平行直線流平行直線流的速度場(chǎng)為是定常無(wú)旋流。速度勢(shì)21第21頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)上面積分設(shè)x=y=0時(shí)ψ=0，故積分常數(shù)為零。等勢(shì)線為是一族平行直線(圖中虛線)流函數(shù)積分中同樣設(shè)x=y=0時(shí)Ψ=0(零流線)，故積分常數(shù)亦為零。流線為為一族與等勢(shì)線正交的平行直線(圖中實(shí)數(shù))。顯然，對(duì)于平行直線流中的任一閉合曲線，通過(guò)的流量環(huán)繞的速度環(huán)量22第22頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)壓強(qiáng)場(chǎng)：由定常無(wú)旋流動(dòng)的伯努利方程，因u=u∞=常量，故由此可見(jiàn)，當(dāng)z=常量或可忽略重力影響時(shí)二、平面點(diǎn)源(或點(diǎn)匯)工程上單井的滲流可視為平面點(diǎn)源（或點(diǎn)匯）。擴(kuò)散（或收縮）槽道中理想流體的流動(dòng)亦可近似地當(dāng)作平面點(diǎn)源（點(diǎn)匯）流動(dòng)。若點(diǎn)源（或點(diǎn)匯）置于坐標(biāo)原點(diǎn)，則可用極坐標(biāo)方便地表示速度場(chǎng)，為是定常無(wú)旋的徑向直線流。23第23頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)由連續(xù)性方程，對(duì)于單位厚度(z=1)的流場(chǎng)式中流量Q稱為點(diǎn)源(或點(diǎn)匯)的強(qiáng)度。當(dāng)Q為正值時(shí)是點(diǎn)源，當(dāng)Q為負(fù)值時(shí)為點(diǎn)匯。上式說(shuō)明了ur與r的關(guān)系曲線為雙曲線。隨著r的增大，ur成反比地減小。當(dāng)r=0時(shí)，ur=±∞(正號(hào)相應(yīng)于點(diǎn)源，負(fù)號(hào)相應(yīng)于點(diǎn)匯)，所以點(diǎn)源(或點(diǎn)匯)是奇點(diǎn)。在直角坐標(biāo)系中24第24頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)速度勢(shì)上式中設(shè)r=1時(shí)，ψ=0，故積分常數(shù)仍可取為零。顯然，等勢(shì)線為一族以原點(diǎn)為心的同心圓(r=c)。確定流函數(shù)。因故上式中亦取積分常數(shù)為零。顯然，流線為一族經(jīng)原點(diǎn)的放射線(θ=C)?？梢?jiàn)，流線與等勢(shì)線相互垂直。25第25頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)對(duì)于包圍點(diǎn)源(或點(diǎn)匯)的任一閉合曲線，域內(nèi)是雙連通區(qū)域，通過(guò)的流量而閉合曲線中扣去原點(diǎn)(點(diǎn)源或點(diǎn)匯)后化成了單連通區(qū)域，則通過(guò)的流量但對(duì)于任何閉合曲線，因ψ是單值函數(shù)，故環(huán)繞的速度環(huán)量為以下討論壓強(qiáng)分布。由定常無(wú)旋流的伯努利方程，在同一水平面(z=c)或可忽略重力影響時(shí)26第26頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)除了原點(diǎn)(奇點(diǎn))以外，上式在全流場(chǎng)都適用。設(shè)r→∞時(shí)p=p∞，相應(yīng)地ur=0，故C=p∞/ρ得壓強(qiáng)分布如圖所示，為二次曲線，p隨著r減小而減小。p=0時(shí)存在r0，此時(shí)相應(yīng)的，27第27頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)若平面點(diǎn)源(或點(diǎn)匯)在任一點(diǎn)(x0，y0)，如圖所示，則速度或勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)分別為與28第28頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)三、平面點(diǎn)渦自然界中龍卷風(fēng)渦核以外的流動(dòng)是平面點(diǎn)渦運(yùn)動(dòng)的典型例子。工業(yè)中離心式噴油嘴、除塵器及旋風(fēng)燃燒室中的流動(dòng)亦與平面點(diǎn)渦有關(guān)。平面點(diǎn)渦運(yùn)動(dòng)又稱為渦流或純環(huán)流，它是定常無(wú)旋的圓周運(yùn)動(dòng)。若強(qiáng)度為Γ的平面點(diǎn)渦置于坐標(biāo)原點(diǎn)，則在極坐標(biāo)中速度場(chǎng)為

uθ方向與Γ方向相同，以逆時(shí)針為正。顯然渦點(diǎn)(r=0)為奇點(diǎn)。實(shí)際上只有渦點(diǎn)是有旋的，而流場(chǎng)中其它各點(diǎn)都是無(wú)旋的。29第29頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)在直角坐標(biāo)系中速度勢(shì)顯然，等勢(shì)線為一族經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的射線(θ=C)。流函數(shù)說(shuō)明了流線是一族以原點(diǎn)為中心的同心圓，即與等勢(shì)線正交。30第30頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)對(duì)于包圍點(diǎn)渦的任一閉合曲線(是雙連通區(qū)域)，環(huán)繞的速度環(huán)量而扣除該奇點(diǎn)后化成單連通區(qū)域，此時(shí)但對(duì)于任何閉合曲線，Ψ都是坐標(biāo)點(diǎn)的單值函數(shù)，故通過(guò)它的流量31第31頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)壓強(qiáng)分布如下:由定常無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的伯努利方程，在同一水平面上或不考慮重力影響時(shí)利用邊界條件：r→∞時(shí)，p=p∞，uθ=0得得形式上類似于平面點(diǎn)源(或點(diǎn)匯)的壓強(qiáng)場(chǎng)。壓強(qiáng)分布見(jiàn)圖。32第32頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)設(shè)圖中r=r0時(shí)p=0，故得實(shí)際上在自然界或工業(yè)中，往往存在一半徑為的渦核(通常稱為強(qiáng)制渦)，正是由于渦核以等速度ω像剛體那樣旋轉(zhuǎn)(是有旋運(yùn)動(dòng))及流體的粘性才帶動(dòng)渦核外流體作無(wú)旋的圓周運(yùn)動(dòng)(稱為自由渦)類似于平面點(diǎn)源(或點(diǎn)匯)，平面點(diǎn)渦在任一位置(x0，y0)時(shí)33第33頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)四、平面點(diǎn)源與點(diǎn)匯的疊加、平面偶極子1.平面點(diǎn)源與點(diǎn)匯的疊加若將位于A(-a，0)點(diǎn)、強(qiáng)度為Q的點(diǎn)源于與位于B(a，0)點(diǎn)等強(qiáng)度的點(diǎn)匯疊加(圖)，疊加后某點(diǎn)p(x，y)的速度勢(shì)34第34頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)流函數(shù)顯然，流線是圓周角為θp跨源、匯兩點(diǎn)的圓線族(θp=C)。等勢(shì)線方程為展開(kāi)化簡(jiǎn)并配方得這是與流線正交的圓線族，但不一定通過(guò)A、B兩點(diǎn)。35第35頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)2.偶極子若點(diǎn)源與點(diǎn)匯無(wú)限接近，2a→0，且強(qiáng)度Q→∞，這樣得到的源、匯疊加的無(wú)旋流稱為偶極流，這樣一對(duì)源匯稱為偶極子，此時(shí)原點(diǎn)叫作偶極點(diǎn)。通常規(guī)定以匯指向源的方向?yàn)榕紭O子的正方向。此外，定義為偶極矩，它體現(xiàn)了偶極子的強(qiáng)度。偶極子方向指向x軸正方向時(shí)M為正，否則為負(fù)。36第36頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)※從圖中可知，當(dāng)A點(diǎn)和B點(diǎn)向原點(diǎn)O無(wú)限接近時(shí)，rA－rB≈2acosθA，而且當(dāng)2a→0，Q→∞時(shí)，rA

→rB

→r，θA→θB→θ，又由于當(dāng)ε為無(wú)窮小時(shí)，可以略去高階項(xiàng)，得ln（1+ε）≈ε

。等勢(shì)線為整理配方得所以等勢(shì)線為圓心在x軸上、圓周與y軸相切的圓線族(圖中虛線)。37第37頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)流函數(shù)流線為整理配方得因此流線是圓心在y軸上、圓周與x軸相切的圓線族(圖中實(shí)線)?？梢?jiàn)，流線與等勢(shì)線正交。38第38頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)※在圖中，BC為從B點(diǎn)向AP所作的垂線，則又當(dāng)2a→0，α→0，sinα→α，所以rα=2asinθ，代入式39第39頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)速度場(chǎng)為由此可見(jiàn)，r→0時(shí)ψ→∞，Ψ→∞，ur、uθ、u→∞，故偶極子亦是一奇點(diǎn)。偶極流的壓強(qiáng)場(chǎng)為40第40頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)§7-5一些基本平面勢(shì)流疊加的例子設(shè)在坐標(biāo)原點(diǎn)有強(qiáng)度為Q的平面點(diǎn)源，與速度為u∞、且平行于x軸、方向自左向右的平行直線流動(dòng)疊加，疊加后的速度勢(shì)一、平行直線流與平面點(diǎn)源的疊加流函數(shù)因而流線方程為41第41頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)流線族如圖所示。各點(diǎn)速度為現(xiàn)在確定駐點(diǎn)(滯止點(diǎn))A的位置及通過(guò)駐點(diǎn)的流線。由uy=0得θ=π(從流線圖可見(jiàn)，θ=0之點(diǎn)在物理上不存在)；再由ux=0得求過(guò)駐點(diǎn)A的流線：利用42第42頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)當(dāng)θ=π時(shí)代入上式得或當(dāng)r→∞時(shí)θ→0，所以過(guò)駐點(diǎn)的流線之寬度過(guò)駐點(diǎn)A的流線將流場(chǎng)分為兩部分：由平行直線流形成的這部分流動(dòng)在上述過(guò)駐點(diǎn)A的流線之外，而由平面點(diǎn)源產(chǎn)生的那部分流動(dòng)在這條流線內(nèi)部。點(diǎn)源的作用是將來(lái)流“撐開(kāi)”，這一作用和一個(gè)物體的頭部相當(dāng)?，F(xiàn)在可以把這條過(guò)駐點(diǎn)的流線視為物體表面，只需考察物體外部的繞流。這就是所謂寬為B的平面半體(無(wú)限長(zhǎng)柱體)繞流。當(dāng)然，亦可把止述理想流體流動(dòng)的別的一條合適流線看成物體表面，比作風(fēng)流過(guò)一山麓或海水流過(guò)凸起海底的情形。43第43頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)二、平面點(diǎn)匯與點(diǎn)渦的疊加——螺旋流離心式水泵或風(fēng)機(jī)中的流動(dòng)就是這種流動(dòng)。設(shè)平面點(diǎn)匯與點(diǎn)渦都置于坐標(biāo)原點(diǎn)，并假定Γ為逆時(shí)針?lè)较?，則速度勢(shì)流函數(shù)令Ψ=常量，得故它是一族對(duì)數(shù)螺旋線(圖)44第44頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)類似地可得等勢(shì)線為流速場(chǎng)為故利用定常無(wú)旋流動(dòng)的伯努利方程可確定壓強(qiáng)場(chǎng)：式中p0是相應(yīng)于r=r0點(diǎn)的已知壓強(qiáng)(如邊界上的壓強(qiáng))。45第45頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)例.在x軸上的兩點(diǎn)A與B(x=±a)各有強(qiáng)度為Q的平面點(diǎn)源(圖)，(1)試確定流場(chǎng)中的速度勢(shì)與流函數(shù);(2)畫出流線圖，并證明x=0是一條可視為圖壁的流線。解：(1)(2)流線方程為即46第46頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)化簡(jiǎn)得對(duì)于不同的C1可畫出不同的流線，如圖所示。當(dāng)x=0時(shí)C1=0相應(yīng)地Ψ=C=0故x=0是一條可視為固壁的零流線。從上例可見(jiàn)，單個(gè)平面點(diǎn)源(A)以一垂直固壁為界的流動(dòng)解可用在其對(duì)稱位置(B)再虛設(shè)另一等強(qiáng)度的點(diǎn)源與其疊加得到。這種方法稱為鏡像法(或映像法)。鏡像法在工程上有一定的應(yīng)用，例如，受垂直巖壁影響的水井或油井(作為點(diǎn)匯)的滲流解就可利用這一方法得到。47第47頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)§7-6

平行直線流繞圓柱體的無(wú)環(huán)量流動(dòng)將平行直線流與方向相反的偶極子疊加便可得到平行直線流繞圓柱體的無(wú)環(huán)量流動(dòng)。平行直線流繞圓柱體流動(dòng)的求解在理論上與工程上有十分重要的意義。例如，它是求解機(jī)翼葉型與葉柵理論的基礎(chǔ)。若將沿x軸正方向、速度為u∞的平行于直線流和位于坐標(biāo)原點(diǎn)、偶極矩為M的反向偶極子疊加，則速度勢(shì)為流函數(shù)流線方程是不同C值的流線如圖所示。48第48頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)現(xiàn)考察Ψ=C=0的(零)流線：滿足上述方程的解為θ=0與θ=π及即由此可見(jiàn)，零流線是x軸及以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、半徑R=的圓周。該圓周可視為平行直線流繞流的圓柱體邊界。該圓周內(nèi)的流動(dòng)無(wú)實(shí)際意義。利用上式得相應(yīng)的偶極矩應(yīng)為49第49頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)將上述M值代入式(7-50)、(7-51)得由此可確定速度場(chǎng)它滿足無(wú)窮遠(yuǎn)處的邊界條件：r→∞時(shí)50第50頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)顯然，包圍圓柱體表面的速度環(huán)量再分析圓柱體表面上的速度分布：r=R時(shí)這說(shuō)明：流體在圓柱面上各點(diǎn)的速度都是沿切線方向的，也就是說(shuō)理想流體繞圓柱體無(wú)環(huán)量的平面流動(dòng)不會(huì)與圓柱面發(fā)生分離。可見(jiàn)，它是滿足理想流體流動(dòng)時(shí)流體不能進(jìn)入或脫離物體表面的邊界條件；此外，圓柱體表面上的速度分布是一