專題13函數(shù)模型及應(yīng)用

專題13函數(shù)模型及應(yīng)用專題13函數(shù)模型及應(yīng)用№考向解讀?考點精析?真題精講?模擬精練?專題訓(xùn)練（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題13函數(shù)模型及應(yīng)用命題解讀命題預(yù)測復(fù)習(xí)建議函數(shù)模型是建立在各種函數(shù)基礎(chǔ)之上的，對于函數(shù)模型的考察主要集中在模型的建立，求解和實際應(yīng)用上，因此在此節(jié)中，要學(xué)會解讀實際問題，高考對于這部分的要求也越來越高，年年出題考察.預(yù)計2024年的高考函數(shù)模型及其應(yīng)用還是必考題，多見于選擇或者填空，要重視模型的建立.集合復(fù)習(xí)策略：1.認清給定的函數(shù)模型，理解函數(shù)模型的應(yīng)用；2.結(jié)合實際情景選定模型；3.能利用函數(shù)模型的圖象性質(zhì)求解實際問題.→?考點精析←一、.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同二、幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a、b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)三、解函數(shù)應(yīng)用題的步驟第一步：閱讀理解題意．讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字敘述，理解敘述所反映的實際背景，在此基礎(chǔ)上，分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題．第二步：引用數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型．一般地，設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，必要時引入其他相關(guān)輔助變量，并用x、y和輔助變量表示各相關(guān)量，然后根據(jù)已知條件，運用已掌握的數(shù)學(xué)知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上將實際問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)問題，實現(xiàn)問題數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型．第三步：利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)函數(shù)問題(即數(shù)學(xué)模型)予以解答，求得結(jié)果．第四步：將所得結(jié)果再轉(zhuǎn)譯成具體問題的解答．→?真題精講←1.【2020年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】．志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【答案】B【解析】由題意，第二天新增訂單數(shù)為，設(shè)需要志愿者x名，，,故需要志愿者名.故選：B2.【2020年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)城．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I(K時，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【解析】，所以，則，所以，，解得.故選：C．3.【2020年新高考全國Ⅰ卷】基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69) C．2.5天 【答案】B【解析】因為，，，所以，所以，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為天，則，所以，所以，所以天.故選：B．4.【2019年高考北京理數(shù)】在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2?m1=，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1，2）．已知太陽的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A．1010.1 C．lg10.1 D．10?【答案】A【解析】兩顆星的星等與亮度滿足，令，則從而.故選A.5.【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：.設(shè)，由于的值很小，因此在近似計算中，則r的近似值為A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，因為，所以，即，解得，所以故選D.→?模擬精練←1．（2023·江蘇·統(tǒng)考三模）星載激光束與潛艇通信傳輸中會發(fā)生信號能量衰減．已知一星載激光通信系統(tǒng)在近海水下某深度的能量估算公式為，其中EP是激光器輸出的單脈沖能量，Er是水下潛艇接收到的光脈沖能量，S為光脈沖在潛艇接收平面的光斑面積（單位：km2，光斑面積與衛(wèi)星高度有關(guān)）．若水下潛艇光學(xué)天線接收到信號能量衰減T滿足（單位：dB）．當(dāng)衛(wèi)星達到一定高度時，該激光器光脈沖在潛艇接收平面的光斑面積為75km2，則此時Γ大小約為（

）（參考數(shù)據(jù)：1g2≈0.301） 【答案】B【詳解】因為，該激光器光脈沖在潛艇接收平面的光斑面積為75km2，所以，則，故選：B．2，環(huán)境溫度是，則經(jīng)過物體的溫度將滿足，其中的物體，若放在的空氣中冷卻，經(jīng)過物體的溫度為，則若使物體的溫度為，需要冷卻（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得：，即，，，由得：，即，解得：，若使物體的溫度為，需要冷卻.故選：C.3，當(dāng)血氧飽和度低于時，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實驗室的某段時間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：描述血氧飽和度隨給氧時間t（單位：時）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，K，給氧1小時后，血氧飽和度為.若使得血氧飽和度達到，則至少還需要給氧時間（單位：時）為（

）（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：） 【答案】B【詳解】設(shè)使得血氧飽和度達到正常值，給氧時間至少還需要小時，由題意可得，，兩邊同時取自然對數(shù)并整理，得，，則，則給氧時間至少還需要小時故選：B4．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考三模）“學(xué)如逆水行舟，不進則退；心似平原跑馬，易放難收”（明·《增廣賢文》）是勉勵人們專心學(xué)習(xí)的.如果每天的“進步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.一年后“進步”的是“退步”的倍.如果每天的“進步”率和“退步”率都是20%，那么大約經(jīng)過（

）天后“進步”的是“退步”的一萬倍.（）A．20 B．21 C．22 D．23【答案】D【詳解】設(shè)經(jīng)過天“進步“的值是“退步”的值的10000倍,則，即，,故選：D．5.【2020山東省高一期末】如圖，某湖泊的藍藻的面積（單位：）與時間（單位：月）的關(guān)系滿足，則下列說法正確的是（）A．藍藻面積每個月的增長率為B．藍藻每個月增加的面積都相等C．第6個月時，藍藻面積就會超過D．若藍藻面積蔓延到所經(jīng)過的時間分別是，則一定有【答案】ACD【解析】由圖可知，函數(shù)圖象經(jīng)過，即，則，∴；∴不是常數(shù)，則藍藻每個月的面積是上個月的2倍，則每個月的增長率為，A對、B錯；當(dāng)時，，C對；若藍藻面積蔓延到所經(jīng)過的時間分別是，則，，，則，即，則，D對；故選：ACD．6.【2019湖北八校聯(lián)考】某人根據(jù)經(jīng)驗繪制了2018年春節(jié)前后，從12月21日至1月8日自己種植的西紅柿的銷售量y(千克)隨時間x(天)變化的函數(shù)圖象，如圖所示，則此人在12月26日大約賣出了西紅柿________千克．【答案】eq\f(190,9)【解析】前10天滿足一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)為y＝kx＋b，將點(1，10)和點(10，30)代入函數(shù)解析式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10＝k＋b，,30＝10k＋b，))解得k＝eq\f(20,9)，b＝eq\f(70,9)，所以y＝eq\f(20,9)x＋eq\f(70,9)，則當(dāng)x＝6時，y＝eq\f(190,9).7.【2020江蘇省鹽城市第一中學(xué)高三調(diào)研】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量（單位：千克）與施用肥料（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費）元．已知這種水果的市場售價大約為15元／千克，且銷路暢通供不應(yīng)求．記該水果樹的單株利潤為（單位：元）．（Ⅰ）求的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）當(dāng)施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大?最大利潤是多少?【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）當(dāng)施用肥料為4千克時，種植該果樹獲得的最大利潤是480元．【解析】（Ⅰ）由已知(Ⅱ)由(Ⅰ)得當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立．因為，所以當(dāng)時，．∴當(dāng)施用肥料為4千克時，種植該果樹獲得的最大利潤是480元．→?專題訓(xùn)練←1、已知某種藥物在血液中以每小時20%的比例衰減，現(xiàn)給某病人靜脈注射了該藥物2500mg，設(shè)經(jīng)過x個小時后，藥物在病人血液中的量為ymg．（1）y與x的關(guān)系式為；（2）當(dāng)該藥物在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有療效；而低于500mg，病人就有危險，要使病人沒有危險，再次注射該藥物的時間不能超過小時（精確到0.1）．≈0.1）x，（2）7.2．【解析】（1）由題意知，該種藥物在血液中以每小時20%的比例衰減，給某病人注射了該藥物2500mg，經(jīng)過x個小時后，藥物在病人血液中的量為y＝2500×（1﹣20%）xx（mg），x；（2）當(dāng)該藥物在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有療效；而低于500mg，病人就有危險，x≥500，x≥0.2，x是單調(diào)減函數(shù)，∴x≤7.2，所以要使病人沒有危險，再次注射該藥物的時間不能超過7.2小時．2、（2020屆山東省濰坊市高三上期中）在經(jīng)濟學(xué)中，函數(shù)的邊際函數(shù)定義為．某醫(yī)療設(shè)備公司生產(chǎn)某醫(yī)療器材，已知每月生產(chǎn)臺的收益函數(shù)為（單位：萬元），成本函數(shù)（單位：萬元），該公司每月最多生產(chǎn)臺該醫(yī)療器材．（利潤函數(shù)=收益函數(shù)－成本函數(shù)）（1）求利潤函數(shù)及邊際利潤函數(shù)；（2）此公司每月生產(chǎn)多少臺該醫(yī)療器材時每臺的平均利潤最大，最大值為多少?（精確到）（3）求為何值時利潤函數(shù)取得最大值，并解釋邊際利潤函數(shù)的實際意義．【答案】（1）；；（2）臺，萬元；（3）或；反映了產(chǎn)量與利潤增量的關(guān)系，從第二臺開始，每多生產(chǎn)一臺醫(yī)療器材利潤增量在減少.【解析】（1）由題意知：且，，.（2）每臺醫(yī)療器材的平均利潤，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.因為，當(dāng)每月生產(chǎn)臺機器時，每臺平均約為萬元，每月生產(chǎn)臺時，每臺平均約為萬元，故每月生產(chǎn)臺時，每臺醫(yī)療器材的平均利潤最大為萬元.（3），由，得，此時隨增大而增大，由得，此時隨增大而減小，或時，取得最大值.反映了產(chǎn)量與利潤增量的關(guān)系，從第二臺開始，每多生產(chǎn)一臺醫(yī)療器材利潤增量在減少.3.（2020屆山東師范大學(xué)附中高三月考）已知某工廠每天固定成本是4萬元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本增加100元，工廠每件產(chǎn)品的出廠價定為元時，生產(chǎn)件產(chǎn)品的銷售收入是（元），為每天生產(chǎn)件產(chǎn)品的平均利潤（平均利潤＝總利潤/總產(chǎn)量）.銷售商從工廠每件元進貨后又以每件元銷售，，其中為最高限價，為銷售樂觀系數(shù)，據(jù)市場調(diào)查，是由當(dāng)是，的比例中項時來確定.（1）每天生產(chǎn)量為多少時，平均利潤取得最大值？并求的最大值；（2）求樂觀系數(shù)的值；（3）若，當(dāng)廠家平均利潤最大時，求與的值.【答案】（1）400,200；（2）；（3），.【解析】試題分析：（1）先求出總利潤＝，依據(jù)（平均利潤＝總利潤/總產(chǎn)量）可得，利用均值不等式得最大利潤；（2）由已知得，結(jié)合比例中項的概念可得，兩邊同時除以將等式化為的方程，解出方程即可；（3）利用平均成本平均利潤，結(jié)合廠家平均利潤最大時（由（1）的結(jié)果）可得的值，利用可得的值.試題解析：（1）依題意總利潤＝，＝，,此時,,即，每天生產(chǎn)量為400件時，平均利潤最大，最大值為200元.（2）由得，是的比例中項，，兩邊除以得，解得.（3）廠家平均利潤最大，元，每件產(chǎn)品的毛利為，，元，（元），元.二次函數(shù)模型1、A，B兩城相距100km，在兩城之間距A城x(km)處建一核電站給A，B兩城供電，為保證城市安全，核電站距城市距離不得小于10km．已知供電費用等于供電距離(km)的平方與供電量(億度)之積的0．25倍，若A城供電量為每月20億度，B城供電量為每月10億度．(1)求x的取值范圍；(2)把月供電總費用y表示成x的函數(shù)；(3)核電站建在距A城多遠，才能使供電總費用y最少？【解析】：(1)由得x的取值范圍為10≤x≤90．(2)y＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2(10≤x≤90)．(3)因為y＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000＝eq\f(15,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(100,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(50000,3)，所以當(dāng)x＝eq\f(100,3)時，ymin＝eq\f(50000,3)．故核電站建在距A城eq\f(100,3)km處，能使供電總費用y最少．2、某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C(x)萬元，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時，C(x)＝eq\f(1,3)x2＋10x(萬元)；當(dāng)年產(chǎn)量不少于80千件時，C(x)＝51x＋eq\f(10000,x)－1450(萬元)．通過市場分析，若每件售價為500元時，該廠年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部銷售完．(1)寫出年利潤L(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？【解析】(1)當(dāng)0<x<80，x∈N*時，L(x)＝eq\f(500×1000x,10000)－eq\f(1,3)x2－10x－250＝－eq\f(1,3)x2＋40x－250；當(dāng)x≥80，x∈N*時，L(x)＝eq\f(500×1000x,10000)－51x－eq\f(10000,x)＋1450－250＝1200－(x＋eq\f(10000,x))，∴L(x)＝(2)當(dāng)0<x<80，x∈N*時，L(x)＝－eq\f(1,3)(x－60)2＋950，∴當(dāng)x＝60時，L(x)取得最大值L(60)＝950．當(dāng)x≥80，x∈N*時，L(x)＝1200－(x＋eq\f(10000,x))≤1200－2eq\r(x·\f(10000,x))＝1200－200＝1000，∴當(dāng)x＝eq\f(10000,x)，即x＝100時，L(x)取得最大值L(100)＝1000>950．綜上所述，當(dāng)x＝100時，L(x)取得最大值1000，即年產(chǎn)量為100千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大．指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型3、諾貝爾獎發(fā)放方式為每年一發(fā)，把獎金總額平均分成6份，獎勵給分別在6項(物理、化學(xué)、文學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、生理學(xué)和醫(yī)學(xué)、和平)為人類作出最有益貢獻的人，每年發(fā)放獎金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半，另一半利息作基金總額，以便保證獎金數(shù)逐年增加．假設(shè)基金平均年利率為r＝6．24%．資料顯示：1999年諾貝爾獎金發(fā)放后基金總額約為19800萬美元．設(shè)f(x)表示第x(x∈N*)年諾貝爾獎發(fā)放后的基金總額(1999年記為f(1)，2000年記為f(2)，…，依次類推)．(1)用f(1)表示f(2)與f(3)，并根據(jù)所求結(jié)果歸納出函數(shù)f(x)的表達式；(2)試根據(jù)f(x)的表達式判斷網(wǎng)上一則新聞“2009年度諾貝爾獎各項獎金高達150萬美元”是否為真，并說明理由．(參考數(shù)據(jù)：1．03129＝1．32)【解析】：(1)由題意知，f(2)＝f(1)(1＋6．24%)－eq\f(1,2)f(1)·6．24%＝f(1)(1＋3．12%)，f(3)＝f(2)(1＋6．24%)－eq\f(1,2)f(2)·6．24%＝f(2)(1＋3．12%)＝f(1)(1＋3．12%)2，∴f(x)＝19800(1＋3．12%)x－1(x∈N*)．(2)2008年諾貝爾獎發(fā)放后基金總額為f(10)＝19800(1＋3．12%)9＝26136，故2009年度諾貝爾獎各項獎金為eq\f(1,6)·eq\f(1,2)f(10)·6．24%≈136(萬美元)，與150萬美元相比少了約14萬美元，是假新聞．分段函數(shù)模型4、提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米