九年級數(shù)學上冊專題23 與垂徑定理有關(guān)的拓展探究（原卷版）

/專題23與垂徑定理有關(guān)的拓展探究1．問題提出（1）如圖①，的半徑為8，弦，則點O到的距離是__________．問題探究（2）如圖②，的半徑為5，點A、B、C都在上，，求面積的最大值．問題解決（3）如圖③，是一圓形景觀區(qū)示意圖，的直徑為，等腰直角三角形的邊是的弦，直角頂點P在內(nèi)，延長交于點C，延長交于點D，連接．現(xiàn)準備在和區(qū)域內(nèi)種植草坪，在和區(qū)域內(nèi)種植花卉．記和的面積和為，和的面積和為．①求種植草坪的區(qū)域面積．②求種植花卉的區(qū)域面積的最大值．2．問題提出：（1）如圖1，已知是邊長為2的等邊三角形，則的面積為______．問題探究：（2）如圖2，在中，已知，，求的最大面積．問題解決：（3）如圖3，某校學生禮堂的平面示意圖為矩形ABCD，其寬米，長米，為了能夠監(jiān)控到禮堂內(nèi)部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺攝像頭M進行觀測，并且要求能觀測到禮堂前端墻面AB區(qū)域，同時為了觀測效果達到最佳，還需要從點M出發(fā)的觀測角．請你通過所學的知識進行分析，在墻面CD區(qū)域上是否存在點M滿足要求？若存在，求出MC的長度；若不存在，請說明理由．3．【學習心得】（1）小雯同學在學習完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖，在中，，，D是外一點，且，求的度數(shù)．若以點A為圓心，AB長為半徑作輔助圓，則C，D兩點必在上，是的圓心角，是的圓周角，則______°．【初步運用】（2）如圖，在四邊形ABCD中，，，求的度數(shù)；【方法遷移】（3）如圖，已知線段AB和直線l，用直尺和圓規(guī)在l上作出所有的點P，使得（不寫作法，保留作圖痕跡）；【問題拓展】（4）①如圖，已知矩形ABCD，，，M為邊CD上的點．若滿足的點M恰好有兩個，則m的取值范圍為______．②如圖，在中，，AD是BC邊上的高，且，，求AD的長．4．小航在學習中遇到這樣一個問題：如圖，點C是上一動點，直徑AB＝8cm，過點C作CDAB交于D，O為AB的中點．連接OC，OD，當△ABC的面積為3.5cm2時，求線段CD的長．小航結(jié)合學習函數(shù)的經(jīng)驗研究此問題，請將下面的探究過程補充完整：(1)根據(jù)點C在上的不同位置，畫出相應(yīng)的圖形，測量線段CD，OC的長度和△OCD的面積，得到下表的幾組對應(yīng)值（當點C與點A或點B重合時，△OCD的面積為0）．CD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.001.93.95.6m7.87.96.80填空：m＝（結(jié)果保留一位小數(shù)）；(2)將線段CD的長度作為自變量x，△OCD的面積是x的函數(shù)，記為y，請在平面直角坐標系xOy中畫出函數(shù)的圖象，并寫出△OCD面積的最大值；(3)在同一坐標系中畫出所需的圖象，并結(jié)合圖象直接寫出：當△OCD的面積為3.5cm2時，線段CD長度的近似值（結(jié)果保留一位小數(shù)）．5．【教材回顧】（1）如圖①，點、分別是的邊、邊的中點，連結(jié)，則是的一條中位線．則和的數(shù)量關(guān)系是____，位置關(guān)系是_____．【提出問題】如圖④，是以為直徑的⊙的一條弦，連結(jié)、，點在的上方，點在的下方，于，于，點、均在弦上．已知，，求的值．為了解決上面的問題，進行了如下的探究：【分析問題】先看兩種特殊情況：（2）如圖②，當點與點重合時，點也與點重合，點與點重合，此時，（點看成是長度為0的線段），則_____．（寫出具體的數(shù)值）（3）如圖③，當時，、重合，此時與的數(shù)量關(guān)系是____，先根據(jù)條件易求的長度，則____．（寫出具體的數(shù)值）【解決問題】（4）結(jié)合圖④對應(yīng)的一般情況和你的感知，請用嚴謹?shù)臄?shù)學方法求的值．6．學習心得：小剛同學在學習完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．例如：已知，如圖1，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是ABC外一點，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點A為圓心，AB為半徑作輔助圓⊙A，則點C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝．（直接寫答案）問題解決：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度數(shù)；問題拓展：如圖3，在ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC邊上的高，且BD＝4，CD＝2，求AD的長．7．小航在學習中遇到這樣一個問題：如圖，點是線段上一動點，線段，的垂直平分線交于，取線段的中點，連接并延長交于，連接．若是等腰三角形，求線段的長度．小航結(jié)合學習函數(shù)的經(jīng)驗研究此問題，請將下面的探究過程補充完整：（1）根據(jù)點在線段上的不同位置，畫出相應(yīng)的圖形，測量線段，，的長度，得到下表的幾組對應(yīng)值．/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0/cm6.75.64.53.53.54.56.7/cm6.76.56.25.75.04.23.63.22.9填空：的值為_________，的值為___________；（2）將線段的長度作為自變量，和的長度都是的函數(shù)，分別記為和，并在平面直角坐標系中畫出了函數(shù)的圖象，如圖所示．請在同一坐標系中畫出函數(shù)的圖象；（3）繼續(xù)在同一坐標系中畫出所需的函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象直接寫出：當為等腰三角形時，線段長度的近似值（結(jié)果保留一位小數(shù)）．8．問題提出（1）如圖①，已知直線，點A，B在直線a上，點C，D在直線b上，則_______（填“＞”“＜”或“＝”）；問題探究（2）如圖②，⊙O的直徑為20，點A，B，C都在⊙O上，，求面積的最大值；問題解決（3）如圖③，在中，，，，根據(jù)設(shè)計要求，點D為內(nèi)部一點，且，過點C作交BD于點E，連接AE，CD，試求滿足設(shè)計要求的四邊形ADCE的最大面積．9．【定義】圓心到弦的距離叫做弦心距．【探究】等弧所對弦的弦心距相等．（1）請在圖1中畫出圖形，寫出已知、求證并證明．【應(yīng)用】（2）如圖2，的弦，的延長線相交于點，且，連接．求證：平分．10．[閱讀材料]如圖1所示，對于平面內(nèi)⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中點M，我們把弦AB的中點M到某點或某直線的距離叫做弦AB到這點或者這條直線的“密距”例如：圖1中線段MO的長度即為弦AB到原點O的“密距”，過點M作y軸的垂線交y軸于點N線段MN的長度即為弦AB到y(tǒng)軸的“密距”．[類比應(yīng)用]已知⊙P的圓心為P（0，4），半徑為2，弦AB的長度為2，弦AB的中點為M．（1）當AB//y軸時，如圖2所示，圓心P到弦AB的中點M的距離是____，此時弦AB到原點O的“密距”是；（2）①如果弦AB在⊙P上運動，在運動過程中，圓心P到弦AB的中點M的距離變化嗎?若不變化，請求出PM的長，若變化，請說明理由．②直接寫出弦AB到原點O的“密距”d的取值范圍；[拓展應(yīng)用]如圖3所示，已知⊙P的圓心為P（0，4），半徑為2,點A（0，2），點B為⊙P上白一動點，有直線y=-x-3，弦AB到直線y=-x-3的“密距”的最大值是．（直接寫出答案）11．問題提出（1）如圖①，在△ABC中，BC＝6，D為BC上一點，AD＝4，則△ABC面積的最大值是．問題探究（2）如圖②，已知矩形ABCD的周長為12，求矩形ABCD面積的最大值．問題解決（3）如圖③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意圖，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，現(xiàn)在他想利用周邊地的情況，把原來的三角形地拓展成符合條件的面積盡可能大、周長盡可能長的四邊形地，用來建魚塘．已知葛叔叔欲建的魚塘是四邊形ABCD，且滿足∠ADC＝60°．你認為葛叔叔的想法能否實現(xiàn)？若能，求出這個四邊形魚塘周長的最大值；若不能，請說明理由．12．如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點．∠APC=∠CPB=60°．(1)試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)當點P位于什么位置時，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積．13．如圖，△ABC是圓內(nèi)接等腰三角形，其中AB=AC，點P在上運動（點P與點A在弦BC的兩側(cè)），連結(jié)PA，PB，PC，設(shè)∠BAC=α，=y，小明為探究y隨α的變化情況，經(jīng)歷了如下過程（1）若點P在弧B