2020-2021學(xué)年北京中學(xué)九年級上期中數(shù)學(xué)試卷含答案

2020-2021學(xué)年北京XX中學(xué)九年級上期中數(shù)學(xué)試卷

含答案

一、選擇題（共10個小題，每小題3分，共30分）

1.己知3x=4y,則的值為（）

x-y

174

A.—B.—C.7D.一

737

2.如圖，點O為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形ABCDE,OA=10,OA，=20,

則五邊形ABCDE的面積與五邊形A，B，CDE的面積的比值是（）

3.如圖,口是^ABC的邊AC上的一點，則下列條件中不能判定△ABCs/XADE的是（）

ACABACBC

4.如圖，A,B兩地被池塘隔開，小明通過下列方法測出了A、B間的距離：先在AB外選

一點C,然后測出AC,BC的中點M,N,并測量出MN的長為12m,由此他就明白了A、

B間的距離.有關(guān)他這次探究活動的描述錯誤的是（）

G6

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SS

。S-S

CNB

A.AB=24mB.MN〃ABC.△CMN^ACABD.CM：MA=1：2

5.下列四個三角形中，與圖中的三角形相似的是（)

6.如圖，平面直角坐標(biāo)系中的二次函數(shù)圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式可能為()

D.y=(x+1)2-1

7.(1998?臺州)把二次函數(shù)y=3x2的圖象向左平移2個單位，再向上平移1個單位，所得

到的圖象對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式是()

A.y=3(x-2)2+1B.y=3(x+2)2-1C.y=3(x-2)2-ID.y=3(x+2)2+l

8.在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)丫=2*+<:和二次函數(shù)y=ax2+c的圖象大致為()

9.已知二次函數(shù)y=ax?+bx+c中，其函數(shù)y與自變量x之間的部分對應(yīng)值如下表所示：

x...01234

y...41014

點A(X],yP、B(X2，y2)在函數(shù)的圖象上，則當(dāng)l<Xi<2,3<X2<4時，y]與y2的大

小關(guān)系正確的是()

A.y]>y2B.y]<y2C.yiSy2D.y]<y2

10.如圖，正方形ABCD中，AB=8cm,對角線AC,BD相交于點O,點E,F分別從B,

C兩點同時動身，以Icm/s的速度沿BC,CD運動，到點C,D時停止運動，設(shè)運動時刻為

t(s),AOEF的面積為s(cm2),則s(cm2)與t(s)的函數(shù)關(guān)系可用圖象表示為()

二.填空題(共6個小題，每小題3分，共18分)

11.利用相似三角形能夠運算不能直截了當(dāng)測量的物體的高度，小雪的身高是1.6m,他在

陽光下的影長是2.4m,在同一時刻測得某棵樹的影長為15m,則這棵樹的高度約為

__________m.

12.己知函數(shù)y=(k-3)x?+2x+l的圖象與x軸有交點，則k的取值范疇為.

13.如圖，在。ABCD中，E為線段AD上一點，AE=4ED,CE、BD交于點F,若DF=4cin,

則BF的長為cm.

14.已知點P(-l,m)在二次函數(shù)y=x2-1的圖象上，則m的值為：平移此

二次函數(shù)的圖象，使點P與坐標(biāo)原點重合，則平移后的函數(shù)圖象所對應(yīng)的解析式為

15.在△ABC中，AB=6,AC=4,E是AB上一點，AE=2,在AC上取一點F,使以A、E、

F為頂點的三角形與△ABC相似，則AF的長為.

16.已知二次函數(shù)y=ax，bx+c滿足：(1)a<b<c；(2)a+b+c=O；(3)圖象與x軸有2

個交點，且兩交點間的距離小于2；則以下結(jié)論中正確的有.

①a<0②a-b+c<0③c>0④a-2b>0⑤-

三、解答題(共6個小題，每小題5分，共30分)

17.己知：如圖，AABC中，D是AB的中點，且NACD=/B,若AB=10,求AC的長.

18.若二次函數(shù)圖象的對稱軸方程是x=l,同時圖象通過A(0,-4),B(4,0),

(1)求此二次函數(shù)圖象上點B關(guān)于對稱軸x=l的對點B，的坐標(biāo)；

(2)求此函數(shù)的解析式.

19.關(guān)于拋物線y=x?-4x+3.

(1)將拋物線的解析式化為頂點式.

(2)在坐標(biāo)系中利用五點法畫出此拋物線.

X...

y

(3)結(jié)合圖象，當(dāng)0<xV3時，y的取值范疇

20.如圖，已知△ABC頂點的坐標(biāo)分別為A(1,-1),B(4,-1),C(3,-4).

(1)將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。后，得到AABiC].在所給的直角坐標(biāo)系中畫出旋轉(zhuǎn)

后的△AB]C|,并寫出點B|的坐標(biāo)；

(2)以坐標(biāo)原點0為位似中心，在第二象限內(nèi)再回一個放大的AA2B2c2,使得它與△ABC

的位似比等于2：1.

1

0-6

21.如圖，在RSABC中，ZC=90°,D、E分別為AB、AC邊上的點，且祟W，連結(jié)DE.若

AE5

AC=3,AB=5.求證：

(1)△ABC<^AAED；

(2)DE1AB.

22.如圖，在正方形ABCD中，點E是CD上一點(DE>CE),連接AE,并過點E作AE

的垂線交BC于點F,若AB=9,BF=7,求DE長.

四、解答題(共4個小題，每小題5分，共20分)

23.已知拋物線y=(m-2)x2+2mx+m+3與x軸有兩個交點.

(1)求m的取值范疇；

(2)當(dāng)m取滿足條件的最大整數(shù)時，求拋物線與x軸有兩個交點的坐標(biāo).

24.百貨商店服裝柜在銷售中發(fā)覺：某童裝每天可賣20件，每件盈利40元，為迎接"六一"

兒童節(jié)，商場決定采取適當(dāng)降價措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，減少庫存，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)覺:

每件童裝降價1元，每天可多賣2件，要想平均每天獲利1200元，那么每件童裝應(yīng)降價多

少元？要使每天盈利最多，每件應(yīng)降價多少元？

25.已知：如圖，AABC中，NBAC=90。，AB=AC=1,點D是BC邊上一個動點(不與B、

C點重合)，ZADE=45°

(1)求證：AABDs^DCE.

(2)設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范疇.

(3)當(dāng)點D在線段BC的什么位置時，AE的長度最短？請說明理由，并求出AE的最短長

度是多少？

26.閱讀明白得：

如圖1,在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E(點E不與點A、點B重合)，分別連接ED,

EC,能夠把四邊形ABCD分成三個三角形，假如其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做

四邊形ABCD的邊AB上的相似點;假如這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD

的邊AB上的強(qiáng)相似點.解決問題：

(1)如圖1,NA=NB=NDEC=55。，試判定點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，

并說明理由；

(2)如圖2,在矩形ABCD中，AB=5,BC=2,且A,B,C,D四點均在正方形網(wǎng)格(網(wǎng)

格中每個小正方形的邊長為1)的格點(即每個小正方形的頂點)上，試在圖2中畫出矩形

ABCD的邊AB上的一個強(qiáng)相似點E；

拓展探究：

(3)如圖3,將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處.若點E恰好是四

邊形ABCM的邊AB上的一個強(qiáng)相似點，試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系.

五.綜合運用(27、28題7分，29題8分，共22分)

27.己知拋物線y=(m-1)x?-2mx+m+l(m>1).

(1)求拋物線與x軸的交點坐標(biāo)；

(2)若拋物線與x軸的兩個交點之間的距離為2,求m的值；

(3)若一次函數(shù)y=kx-k的圖象與拋物線始終只有一個公共點，求一次函數(shù)的解析式.

28.如圖1,將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點E與正方形ABCD的頂

(1)中的結(jié)論是否仍舊成立？若成立，請給予證明：若不成立.請說明理由；

(3)如圖3,將(2)中的"正方形ABCD"改為"矩形ABCD”,且使三角板的一邊通過點B,

其他條件不變，若AB=a、BC=b,求黑的值.

EG

29.如圖，已知拋物線通過A(-2,0),B(-3,3)及原點O,頂點為C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且A、0、D、E為頂點的四邊形是

平行四邊形，求點D的坐標(biāo)；

(3)P是拋物線上的第一象限內(nèi)的動點，過點P作PM^x軸，垂足為M,是否存在點P,

使得以P、M、A為頂點的三角形ABOC相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說

明理由.

2020-2021學(xué)年北京XX中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共10個小題，每小題3分，共30分）

1.已知3x=4y,則上學(xué)的值為（）

【考點】比例的性質(zhì).

【分析】依照等式的性質(zhì)，可得用x表示y,依照分式的性質(zhì)，可得答案.

【解答】解：由3x=4y,得

,3x7x

x+yxyTr

-------=---------=——=7

X-y_3xX

xT-4

故選：c.

【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，利用等式的性質(zhì)得出丫=管是解題關(guān)鍵，又利用了分式的

性質(zhì).

2.如圖，點O為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形ABCDE,OA=10,OA，=20,

則五邊形ABCDE的面積與五邊形的面積的比值是（）

A.2：1B.1：2C.4：1D.1：4

【考點】位似變換.

【分析】由以點O為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形ABCDE,OA=10cm,

OA，=20cm,可得五邊形ABCDE的周長與五邊形A，B，CDE的位似比為：10：20=1：2,然

后由相似多邊形的性質(zhì)可得：五邊形ABCDE的面積與五邊形的面積的比值.

【解答】解：；以點O為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形人上（1/日，

OA=10cm,OA,=20cm,

五邊形ABCDE的周長與五邊形A，B，CDE的位似比為：10：20=1：2,

五邊形ABCDE的面積與五邊形A，B，CDE的面積比是：1：4.

故選：D.

【點評】此題考查了位似圖形的性質(zhì)，利用相似多邊形的面積比等于相似比得出答案是解題

關(guān)鍵.

3.如圖,D是^ABC的邊AC上的一點，則下列條件中不能判定△ABC^AADE的是（）

A.ZADE=ZBB.膽細(xì)c.ZAED=ZCD.運亞

ACABACBC

【考點】相似三角形的判定.

【分析】依照相似三角形的判定方法對各個選項進(jìn)行分析，從而得到答案.

【解答】解：：NA=/A,/ADE=/B,

.,.△ABC^AADE,A正確；

..AEAD

,AC^AB'NA二NA,

AAABC^AADE,B正確;

VZAED=ZC,NA二NA,

.'.△ABC^AADE,C正確；

D不符合兩邊成比例且夾角相等，D錯誤；

故選：D.

【點評】此題要緊考查學(xué)生對相似三角形的判定方法的把握情形，常用的判定方法有：（1）

平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似;

（2）三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；

（3）兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角相等的兩個三角形相似；

（4）兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.

4.如圖，A,B兩地被池塘隔開，小明通過下列方法測出了A、B間的距離：先在AB外選

一點C,然后測出AC,BC的中點M,N,并測量出MN的長為12m,由此他就明白了A、

B間的距離.有關(guān)他這次探究活動的描述錯誤的是（）

A

s.SKs-sgaa

sSsss

sSssss

s隹

sSs

sSs

sSsad

CNB

A.AB=24mB.MN〃ABC.ACMN^ACABD.CM：MA=1：2

【考點】三角形中位線定理；相似三角形的應(yīng)用.

【專題】幾何圖形問題.

【分析】依照三角形的中位線平行于第三邊同時等于第三邊的一半可得MN〃AB,

MN=*AB,再依照相似三角形的判定解答.

【解答】解：；M、N分別是AC,BC的中點，

；.MN〃AB,MN=-AB,

2

；.AB=2MN=2xl2=24m,

△CMN^ACAB,

?；M是AC的中點，

；.CM=MA,

ACM：MA=1：1,

故描述錯誤的是D選項.

故選：D.

次

-公

S

SSS

SSS

SSS

SSS

SSS

SS淆

SS

CyB

【點評】本題考善了三角形的中位線平行于第三邊同時等于第三邊的一半，相似三角形的判

定，熟記定理并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.

5.下列四個三角形中，與圖中的三角形相似的是（）

ii?1—Ji111--Ji??t__J?1i1-_J

【考點】相似三角形的判定.

【專題】網(wǎng)格型.

【分析】本題要緊應(yīng)用兩三角形相似的判定定理，三邊對應(yīng)成比例，做題即可.__

【解答】解：設(shè)單位正方形的邊長為1,給出的三角形三邊長分別為2&,V10.

A、三角形三邊2,伍，3&,與給出的三角形的各邊不成比例，故A選項錯誤；

B、三角形三邊2,4,2代，與給出的三角形的各邊成正比例，故B選項正確；

C、三角形三邊2,3,V13-與給出的三角形的各邊不成比例，故C選項錯誤；

D、三角形三邊依，4,V13'與給出的三角形的各邊不成比例，故D選項錯誤.

故選:B.

【點評】此題考查三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似判定定理的應(yīng)用.

6.如圖，平面直角坐標(biāo)系中的二次函數(shù)圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（）

A.y=--1x2B.y=-^(x+1)2C.尸一］(x-l)2-1

D.y=--1(x+1)2-1

【考點】二次函數(shù)的圖象.

【分析】依照二次函數(shù)圖象得出頂點位置，進(jìn)而依照各選項排除即可.

【解答】解：依照二次函數(shù)頂點坐標(biāo)位于第三象限，

只有選項D的頂點符合要求，

故選：D.

【點評】此題要緊考查了二次函數(shù)圖象，依照圖象得出頂點位置是解題關(guān)鍵.

7.(1998?臺州)把二次函數(shù)y=3x2的圖象向左平移2個單位，再向上平移1個單位，所得

到的圖象對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式是()

A.y=3(x-2)2+1B.y=3(x+2)2-1C.y=3(x-2)2-1D.y=3(x+2)2+l

【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換.

【專題】壓軸題.

【分析】變化規(guī)律：左加右減，上加下減.

【解答】解：按照“左加右減，上加下減"的規(guī)律，y=3x2的圖象向左平移2個單位，再向上

平移1個單位得到y(tǒng)=3(x+2)2+l.故選D.

【點評】考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的性質(zhì).

8.在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)丫=2*+(:和二次函數(shù)y=ax?+c的圖象大致為()

【考點】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象.

【分析】依照二次函數(shù)的開口方向，與y軸的交點；一次函數(shù)通過的象限，與y軸的交點可

得相關(guān)圖象.

【解答】解：：一次函數(shù)和二次函數(shù)都通過y軸上的(0,c),

兩個函數(shù)圖象交于y軸上的同一點，故B選項錯誤；

當(dāng)a>0時，二次函數(shù)開口向上，一次函數(shù)通過一、三象限，故C選項錯誤；

當(dāng)a<0時，二次函數(shù)開口向下，一次函數(shù)通過?二、四象限，故A選項錯誤；

故選：D.

【點評】本題考查二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)；用到的知識點為：二次函數(shù)和一次函

數(shù)的常數(shù)項是圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)；一次函數(shù)的一次項系數(shù)大于0,圖象通過一、三象

限；小于0,通過二、四象限；二次函數(shù)的二次項系數(shù)大于0,圖象開口向上；二次項系數(shù)

小于0,圖象開口向下.

9.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，其函數(shù)y與自變量x之間的部分對應(yīng)值如下表所示：

x...____I01234

y...41014

點A(X],yi)、B(x2,y2)在函數(shù)的圖象上，則當(dāng)3Vx2<4時，y)與y2的大

小關(guān)系正確的是()

A.yi>y2B.y]<y2C.yi>y2D.y1<y2

【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點.

【專題】運算題.

【分析】由表格可知，當(dāng)1<XV2時，0<y<l,當(dāng)3Vx<4時，l<y<4,由此可判定與

丫2的大小.

【解答】解：???當(dāng)l〈x<2時，函數(shù)值y小于1,當(dāng)3<xV4時，函數(shù)值y大于1,

-'?yi<y2-

故選B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點.關(guān)鍵是由表格判定自變量取值范疇內(nèi)，

函數(shù)值的大小.

10.如圖，正方形ABCD中，AB=8cm,對角線AC,BD相交于點O,點E,F分別從B,

C兩點同時動身以Icm/s的速度沿BC,CD運動，到點C,D時停止運動，設(shè)運動時刻

為t(s),AOEF的面積為s(cm2),則s(cm2)與t(s)的函數(shù)關(guān)系可用圖象表示為()

【考點】動點問題的函數(shù)圖象.

【專題】壓軸題.

【分析】由點E,F分別從B,C兩點同時動身，以lcm/s的速度沿BC,CD運動,得至ijBE=CF=t,

則CE=8-t,再依照正方形的性質(zhì)得OB=OC,NOBC=NOCD=45。，然后依照"SAS"可判定

△OBE咨△OCF,因止匕SAOBE=SAOCF，如止匕S四地形OECF=SAOBC=16，因此S=S四邊形OECF-

S&CEF=IG-a(8-t)?t,然后配方得到S=^(t-4)~+8(0<t<8),最后利用解析式和二次

函數(shù)的性質(zhì)對各選項進(jìn)行判定.

【解答】解：依照題意BE=CF=t,CE=8-t,

???四邊形ABCD為正方形，

；.OB=OC,ZOBC=ZOCD=45°,

:在△08￡和4OCF中

'0B=0C

<Z0BE=Z0CF，

,BE=CF

/.△OBE^AOCF(SAS),

??SAOBE=SAOCF)

?S四地形OECF=SAOBC=[X82=16,

S=S四邊形OECF-S&CEF=16—(8-t)”=寺2-4t+16=4(t-4)~+8(0^t<8),

?"?s(cm2)與t(s)的函數(shù)圖象為拋物線一部分，頂點為(4,8),自變量為0勺區(qū)8.

故選:B.

【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象：先依照幾何性質(zhì)得到與動點有關(guān)的兩變量之間的

函數(shù)關(guān)系，然后利用函數(shù)解析式和函數(shù)性質(zhì)畫出其函數(shù)圖象，注意自變量的取值范疇.

二.填空題(共6個小題，每小題3分，共18分)

11.利用相似三角形能夠運算不能直截了當(dāng)測量的物體的高度，小雪的身高是1.6m,他在

陽光下的影長是2.4m,在同一時刻測得某棵樹的影長為15m,則這棵樹的高度約為"m.

【考點】相似三角形的應(yīng)用.

【分析】在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，通過物體頂部的

太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似.

人的身高=樹的高度

【解答】解：因為

人的影長樹的影長’

人的身高

因此:樹的高度=樹的影長=!~215=10(m).

人的影長,2.4

故答案是：10.

【點評】本題考查了相似三角形在測量高度時的應(yīng)用，解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然

后依照對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題.

12.已知函數(shù)y=(k-3)x?+2x+l的圖象與x軸有交點，則k的取值范疇為k“.

【考點】拋物線與x軸的交點.

【分析】分為兩種情形：①當(dāng)k-3r0時，(k-3)X2+2X+1=0,^HJA=b2-4ac=-4k+16>0

的解集即可；②當(dāng)k-3=0時，得到一次函數(shù)y=2x+l,與X軸有交點；即可得到答案.

【解答】解：①當(dāng)k-3x()時，(k-3)X2+2X+1=0,

△=b2-4ac=22-4(k-3)xl=-4k+16>0,

k<4；

②當(dāng)k-3=0時，y=2x+l,與x軸有交點；

故k的取值范疇是k<4,

故答案為：k<4.

【點評】本題要緊考查對拋物線與x軸的交點，根的判別式，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識點的明

白得和把握，能進(jìn)行分類求出每種情形的k是解此題的關(guān)鍵.

13.如圖，在口ABCD中，E為線段AD上一點，AE=4ED,CE、BD交于點F,若DF=4cm,

則BF的長為20cm^.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

【分析】由在。ABCD中，且AE=4ED,易得DE：BC=1：5,△ADF^AEBF,然后依照相

似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案.

【解答】解：；AE=4ED,

ADE：AD=1：5,

V四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD=BC,

ADE：BC=1：5,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD〃BC,

.'.△DEF^ABCF,

ADE：BC=DF：BF=1：5,

;DF=4cm,

BF=20cm.

故答案為：20.

【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練把握相似三角形的

判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.已知點P(-1,m)在二次函數(shù)y=x2-1的圖象上，則m的值為。；平移此二次函數(shù)

的圖象，使點P與坐標(biāo)原點重合，則平移后的函數(shù)圖象所對應(yīng)的解析式為y=x2-2x.

【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點.

【分析】依照二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，把點P的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式運算即可

得解；

依照點P確定出平移方法，再求出平移后的拋物線的頂點坐標(biāo)，然后依照頂點式解析式形

式寫出即可.

【解答】解：???點P(-1,m)在二次函數(shù)y=x2-1的圖象上，

(-1)2-l=m,

解得m=0,

平移方法為向右平移1個單位，

平移后的拋物線的二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為(1,-1),

平移后的函數(shù)圖象所對應(yīng)的解析式為y=(x-1)2-i=x2-2x,

即y=x2-2x.

故答案為：0,y=x2-2x.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，此類題目,

利用頂點的變化確定拋物線解析式更簡便.

15.在△ABC中，AB=6,AC=4,E是AB上一點，AE=2,在AC上取一點F,使以A、E、

F為頂點的三角形與△ABC相似，則AF的長為或3.

【考點】相似三角形的判定.

【分析】依照相似三角形的相似比求AF,注意分情形考慮.

【解答4解：

兩種情形進(jìn)行討論：

①當(dāng)專寫時，△ABC^AAEF,

即2望，

64

解得：AF=4

3

②當(dāng)霽寸，△ABCS^AFE,

即

46

解得：AF=3；

綜上所述：AF的長為或3；

故答案為：■^或3.

【點評】本題考查了相似三角形的判定；熟練把握相似三角形的判定，吩情形討論是解決

本題的關(guān)鍵.

16.已知二次函數(shù)y二ax，bx+c滿足：(1)a<b<c；(2)a+b+c=0；(3)圖象與x軸有2

個交點，且兩交點間的距離小于2；則以下結(jié)論中正確的有①②③⑤.

①a<00a-b+c<0③c>0④a-2b>0⑤一上<▲.

2a4

【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖

象上點的坐標(biāo)特點.

【分析】由拋物線滿足：(1)a<b<c；(2)a+b+c=0；(3)圖象與x軸有24交點，且兩

交點間的距離小于2；判定a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判定c與0的關(guān)系，然后

依照對稱軸及拋物線與x軸交點情形進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判定.

【解答】解：：(1)a<b<c；(2)a+b+c=0；(3)圖象與x軸有2個交點，且兩交點間

的距離小于2；

圖象過(1,0)點，

"."a<b<c,a+b+c=0,

.,.a<0,c>0,故①③正確，

V圖象與x軸有2個交點，且兩交點間的距離小于2；

圖象一定只是（-1,0）點，且另一交點坐標(biāo)在（-1,0）右側(cè),

.".a-b+c<0,故②正確，

/.圖象對稱軸一定在x軸的正半軸，

.\0<--<1,

2a

??a,b異號,

.\a-2b<0,故④此選項錯誤,

Vb<c,a+b+c=0,

c=-(a+b),

Ab<-(a+b),即a+2bV0,

2b<-a,

.2b、一a

4a4a

?b、1

2a4

/.-故⑤選項正確，

2a4

故正確的有：①②③⑤，

故答案為：①②③⑤.

【點評】此題考查了二次函數(shù)各系數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的

應(yīng)用.

三、解答題（共6個小題，每小題5分，共30分）

17.己知：如圖，△ABC中，D是AB的中點，且/ACD=/B,若AB=10,求AC的長.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】運算題.

【分析】第一依照NACD=/B,/A=/A得到△ACDs^ABC,然后利用相似三角形對應(yīng)

邊的比相等得到善用，再依照D是AB的中點和AB=10得到AD^AB=5后代入以上比例

式后即可求得AC的長.

【解答】解：；NACD=/B,ZA=ZA,

.,.△ACD^AABC,

.ACAD

??二--.

ABAC

；D是AB的中點，AB=10,

?，-AD弓AB=5"

.AC5

??二..

10AC

；.AC2=50.

.--AC=5V2(舍負(fù))?

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形得到正確的比例式是解決本

題的關(guān)鍵.

18.若二次函數(shù)圖象的對稱軸方程是x=l,同時圖象通過A(0,-4),B(4,0),

(1)求此二次函數(shù)圖象上點B關(guān)于對稱軸x=l的對點B，的坐標(biāo)；

(2)求此函數(shù)的解析式.

【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；坐標(biāo)與圖形變化-對稱.

【分析】(1)直截了當(dāng)利用對稱性求解即可；

(2)利用待定系數(shù)法把A(0,-4)和B(4,0),即對稱軸x=l代入解析式，解三元一次

方程組可得y=-1x2-x-4.

【解答】解：Q)???二次函數(shù)圖象的對稱軸方程是x=l,

,此二次函數(shù)圖象上點B關(guān)于對稱軸x=l的對點B，的坐標(biāo)為：B，(-2,0)；

(2)設(shè)此二次函數(shù)的解析式為y=ax?+bx+c,

把A(0,-4)和B(4,0),即對稱軸x=l代入解析式得:

c=-4

.16a+4b+c=0,

-A=1

2a

1

a互

解得：

b=-r

c=-4

2

故二次函數(shù)解析式為：y=^x-X-4.

【點評】此題要緊考查了二次函數(shù)的概念、性質(zhì)以及待定系數(shù)法求解析式，正確把握待定系

數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵.

19.關(guān)于拋物線y=xz-4x+3.

(1)將拋物線的解析式化為頂點式.

(2)在坐標(biāo)系中利用五點法畫出此拋物線.

X...

y

(3)結(jié)合圖象，當(dāng)0<x<3時，v的取值范疇-1勺<3.

【考點】二次函數(shù)的圖象.

【分析】(1)由于二次項系數(shù)是1,因此直截了當(dāng)加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平

方式，把一樣式轉(zhuǎn)化為頂點式.

(2)利用列表、描點、連線的方法畫出圖形即可；

(3)依照函數(shù)圖象回答即可.

【解答】解：(1)y=x?-4x+3=(X2-4X+4)-4+3=(x-2)2-1.

.?.拋物線的頂點式為故答案為：y=(X-2)2-1.

(2)列表：

x...01234

y...30~103...

函數(shù)圖象如圖所示：

(3)依照函數(shù)圖象可知：當(dāng)0<xV3時，y的取值范疇-lvy<3.

故答案為：-lSy<3.

【點評】本題要緊考查的是二次函數(shù)的頂點式、畫函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象求得y的取值

范疇是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，已知△ABC頂點的坐標(biāo)分別為A(1,-1),B(4,-1),C(3,-4).

(1)將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。后，得到^ABICI.在所給的直角坐標(biāo)系中畫出旋轉(zhuǎn)

后的△AB]C],并寫出點B|的坐標(biāo)；

(2)以坐標(biāo)原點O為位似中心，在第二象限內(nèi)再畫一個放大的△A?B2c2,使得它與△ABC

的位似比等于2：1.

8

7

J

4

3

2

1

r

410-3-l-13-Q?Lf

AB

-2-?./

"J

-41

cc

-0r

?t

【考點】作圖-位似變換；作圖-旋轉(zhuǎn)變換.

【分析】(1)由題意得，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。后，得到^ABiCi.則AB|J_AB,

AC)±AC,畫出圖形寫出坐標(biāo).

(2)依照以坐標(biāo)原點O為位似中心，在第二象限內(nèi)再畫一個放大的△A?B2c2,能夠得出A

I，B|,Ci的坐標(biāo)擴(kuò)大2倍，且橫縱坐標(biāo)改變符號，得出即可..

【解答】解：(1)如圖：正確畫出AABICI，B](1,2),

(2)如圖：正確畫出AA2B2c2,

【點評】此題要緊考查了圖形的旋轉(zhuǎn)與位似，利用位似圖形的性質(zhì)得出A1，B|tC|的坐

標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵.

21.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,D、E分另ij為AB、AC邊上的點，且祟金,連結(jié)DE.若

AE5

AC=3,AB=5.求證：

(1)△ABC^AAED；

(2)DE1AB.

D,

E

--------------UC

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】證明題.

【分析】（1）依照已知條件得到黑緇，由于NA=NA,因此得到△ADEsaACB；

ABAE

（2）依照相似三角形的性質(zhì)得到/ADE=NC=90。，由垂直的定義即可得到結(jié)論.

..AC^3AD_3

【解答】證明：（1）'AB^ATS,

.ACAD

??二,

ABAE

?/ZA=ZA,

.,.△ADE^AACB；

（2）VAABC^AAED,

ZADE=ZC=90\

ADEIAB.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，垂直的定義，熟練把握相似三角形的判定和

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，在正方形ABCD中，點E是CD上一點（DE>CE）,連接AE,并過點E作AE

的垂線交BC于點F,若AB=9,BF=7,求DE長.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【分析1第一由正方形的性質(zhì)和已知條件證明4ADEs^ECF,依照相似三角形的性質(zhì)可知:

空"，設(shè)DE=x,則EC=9-x,代入運算求出x的值即可.

FCEC

【解答】解：；四邊形ABCD是正方形，

；.CD=AD=BC=AB=9,ZD=ZC=90°,

；.CF=BC-BF=2,

在RlZkADE中，ZDAE+ZAED=90",

：AE_LEF于E,

ZAED+ZFEC=90°,

；.NDAE=NFEC,

/.△ADE^AECF,

?.?~D~~E~二iAD-，

FCEC

設(shè)DE=x,則EC=9-x,

.工__9

"2-9-x'

解得X]=3,X2=6,

VDE>CE,

，DE=6.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是設(shè)DE=x,利

用方程思想解決幾何問題.

四、解答題(共4個小題，每小題5分，共2()分)

23.已知拋物線y=(m-2)x2+2mx+m+3與x軸有兩個交點.

(1)求m的取值范疇；

(2)當(dāng)m取滿足條件的最大整數(shù)時，求拋物線與x軸有兩個交點的坐標(biāo).

【考點】拋物線與x軸的交點.

【專題】探究型.

【分析】(1)依照拋物線產(chǎn)(m-2)x2+2mx+m+3與x軸有兩個交點時，可知(m-2)

x2+2mx+m+3=0時，△>0且m-2x0,從而能夠解答本題；

(2)依照第一問求得的m的取值范疇，能夠得到m的最大整數(shù)，從而能夠求得拋物線與x

軸有兩個交點的坐標(biāo).

【解答】(1)：拋物線y=(m-2)x2+2mx+m+3與x軸有兩個交點，

...y=0時，(m-2)x2+2mx+m+3=0,則4=(2m)2-4x(m-2)x(m+3)>0,m-2w0,

解得m<6且m*2.

即m的取值范疇是：mV6且mx2.

(2)Vm<6S.m#2,

???m滿足條件的最大整數(shù)是m=5.

y=3x2+10x+8.

當(dāng)y=0時，3X2+10X+8=0.

=-

解得町二一2,x24,

即拋物線與X軸有兩個交點的坐標(biāo)是：(-2,0),(--1,0).

【點評】本題考查拋物線與x軸的交點，解題的關(guān)健是明確拋物線與x軸的交點與(m-2)

x2+2mx+m+3=0時，△的值有關(guān).

24.百貨商店服裝柜在銷售中發(fā)覺：某童裝每天可賣20件，每件盈利40元，為迎接"六一"

兒童節(jié)，商場決定采取適當(dāng)降價措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，減少庫存，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)覺：

每件童裝降價1元，每天可多賣2件，要想平均每天獲利1200元，那么每件童裝應(yīng)降價多

少元？要使每天盈利最多，每件應(yīng)降價多少元？

【考點】一元二次方程的應(yīng)用；二次函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】(1)利用童裝平均每天售出的件數(shù)*每件盈利=每天銷售這種童裝利潤列出方程解

答即可；

(2)設(shè)每天銷售這種童裝利潤為y,利用上面的關(guān)系列出函數(shù)，利用配方法解決問題.

【解答】解：(1)設(shè)每件童裝應(yīng)降價X元，依照題意列方程得，

(40-x)=1200,

解得X|=20,x2=10(因為盡快減少庫存，不合題意，舍去).

答：每件童裝降價20元；

(2)設(shè)每天銷售這種童裝利潤為y,

22

則y=(40-x)=-2X+60X+800=-2(x-15)+1250,

答：當(dāng)每件童裝降價15元時，能獲最大利潤1250元.

【點評】此題要緊考查了一元二次方程的實際應(yīng)用和二次函數(shù)實際中的應(yīng)用，此題找到關(guān)鍵

描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程或函數(shù)關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵.最后要注意判定所

求的解是否符合題意，舍去不合題意的解.

25.已知：如圖，z\ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=1,點D是BC邊上一個動點(不與B、

C點重合)，ZADE=45°

(1)求證：△ABD^ADCE.

(2)設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范疇.

(3)當(dāng)點D在線段BC的什么位置時，AE的長度最短？請說明理由，并求出AE的最短長

度是多少？

【考點】相似形綜合題.

【分析】(1)先判定△ABC為等腰直角三角形得到/B=NC=45。，再利用三角形內(nèi)角和得

到/1+/2=135。，利用平角定義得到N2++/3=135。，則Nl=/3,因此可依照有兩組角對

應(yīng)相等的兩個三角形相似得到結(jié)論；

(2)由AABDs/SDCE,對應(yīng)邊成比例及等腰直角三角形的性質(zhì)可求出y與x的函數(shù)關(guān)系

式；

(3)依照函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)可求出其最小值.

【解答】(1)證明：VZBAC=90°,AB=AC=1,

/.△ABC為等腰直角三角形，

NB=/C=45。，

.,.Zl+Z2=180o-NB=135°,

NADE=45。，

.,.N2+N3=135",

.,.-Z1=Z3,

VZB=ZC,

.,.△ABD^ADCE；

(2)解:由(1)ABD^ADCE,

.BDAB

??—,

ECCD

VZBAC=90°,AB=AC=1,

BC=5/2?DC=^/^-X,EC=1-y,

.x_]

??1_y_V2-f

/.y=x2-^/^x+1(0Vx<>/^)；

l2

(3)W-：Vy=x2-(x-登)V，

2/

4

時

?當(dāng)Xy有最小值為之，

一

欠

時

即BA

2AE的最短長度是

2

A

【點評】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)定理和等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合運用相似

三角形的判定及性質(zhì)定理和二次函數(shù)的最值是解答此題的關(guān)鍵.

26.閱讀明白得：

如圖1,在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E(點E不與點A、點B重合)，分別連接ED,

EC,能夠把四邊形ABCD分成三個三角形，假如其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做

四邊形ABCD的邊AB上的相似點;假如這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD

的邊AB上的強(qiáng)相似點.解決問題：

(1)如圖1,ZA=ZB=ZDEC=55°,試判定點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點,

并說明理由；

(2)如圖2,在矩形ABCD中，AB=5,BC=2,且A,B,C,D四點均在正方形網(wǎng)格(網(wǎng)

格中每個小正方形物邊長為1)的格點(即每個小正方形的頂點)上，試在圖2中畫出矩形

ABCD的邊AB上的一個強(qiáng)相似點E；

拓展探究：

(3)如圖3,將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處.若點E恰好是四

邊形ABCM的邊AB上的一個強(qiáng)相似點，試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系.

【考點】相似形綜合題.

【專題】壓軸題.

【分析】（1）要證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點，只要證明有一組三角形相

似就行，專門容易證明△ADEsZ\BEC,因此問題得解.

（2）依照兩個直角三角形相似得到強(qiáng)相似點的兩種情形即可.

（3）因為點E是梯形ABCD的AB邊上的一個強(qiáng)相似點，因此就有相似三角形顯現(xiàn)，依照

相似三角形的對應(yīng)線段成比例，能夠判定出AE和BE的數(shù)量關(guān)系，從而可求出解.

【解答】解：（1）點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點.

理由：?.?/A=55。，

AZADE+ZDEA=125°.

VZDEC=55\

AZBEC+ZDEA=125".

ZADE=ZBEC.

,.'ZA=ZB,

.,.△ADE^ABEC.

點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點.

（2）作圖如下:

（3）;?點E是四邊形ABCM的邊AB上的一個強(qiáng)相似點，

△AEMsABCE^AECM,

ZBCE=ZECM=ZAEM.

由折疊可知：AECM絲Z\DCM,

.?.ZECM=ZDCM,CE=CD,

ZBCE=-ZBCD=30",

3

.,.BE=-icE=-AB.

22

在RSBCE中，tanNBCE=0S=tan3O°,

BC

.BEM

??--二-----,

BC3

.AB2M

??--z:--------

BC3

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)以及明白得相似點

和強(qiáng)相似點的概念等，從而可得到結(jié)論.

五.綜合運用（27、28題7分，29題8分，共22分）

27.已知拋物線y=(m-1)x2-2mx+m+1(m>1).

(1)求拋物線與x軸的交點坐標(biāo)；

(2)若拋物線與x軸的兩個交點之間的距離為2,求m的值；

(3)若一次函數(shù)y=kx-k的圖象與拋物線始終只有一個公共點，求一次函數(shù)的解析式.

【考點】拋物線與x軸的交點；根的判別式；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式.

【分析】(1)令y=0,貝ij(m-1)x2-2mx+m+l=0,利用求根公式能夠求得方程的解，即

該拋物線與x軸交點橫坐標(biāo)；

(2)利用兩點間距離公式列出關(guān)于m