大氣海洋數(shù)據(jù)同化方法變分法課件

大氣/海洋數(shù)據(jù)同化方法（3）變分法大氣/海洋數(shù)據(jù)同化方法（3）1數(shù)據(jù)同化的目的資料同化:數(shù)值天氣預(yù)報(bào)問題是一個(gè)初/邊值問題,初始場的精確性直接決定著預(yù)報(bào)的精確性.通過模式預(yù)報(bào)和觀測的統(tǒng)計(jì)結(jié)合得到大氣初始場的過程稱為數(shù)據(jù)同化.Purposeofdataassimilation:usingalltheavailableinformationtodetermineasaccuratelyaspossiblethestateoftheatmosphericflow.---Talagrand(1997)數(shù)據(jù)同化的目的資料同化:數(shù)值天氣預(yù)報(bào)問題是一個(gè)初/邊值問題,2兩點(diǎn)要注意的問題：（1）何謂“精確的大氣狀態(tài)”？要考慮大氣運(yùn)動(dòng)的多尺度特征，這里的精確（或真實(shí)）依賴于研究對(duì)象的特征尺度。（2）所有有效信息包括什麼？觀測資料（包括它的誤差）和控制大氣運(yùn)動(dòng)的物理規(guī)律兩個(gè)方面。兩點(diǎn)要注意的問題：3發(fā)展歷史簡要回顧早期的客觀分析和數(shù)據(jù)同化方法:Panofsky(1949)：提出的2維全局多項(xiàng)式插值方法是第一個(gè)客觀分析方法；GilchristandCressman(1954)：提出局地多項(xiàng)式插值方法；BergthorssonandDoos(1955)：指出客觀分析中應(yīng)該給出所有格點(diǎn)的初猜值來彌補(bǔ)觀測的不足，由此發(fā)展了逐步訂正法（Cressman1959,Barnes1964,1978）。逐步訂正法采用了短期預(yù)報(bào)的結(jié)果作為初猜值，又不斷插入觀測（6小時(shí)一次），這樣的循環(huán)過程就構(gòu)成四維資料同化；Gandin(1963)：提出最優(yōu)插值方法；Sasaki(1970)：首先將變分法引入初始化過程；HokeandAnthes(1976)：提出Nudging（牛頓張弛）四維變分方法。發(fā)展歷史簡要回顧早期的客觀分析和數(shù)據(jù)同化方法:4LewisandDerber(1985),LeDimetandTalagrand(1986),CourtierandTalagrand(1987)提出了四維變分同化方法(4DVAR),隨后ECMWF和NMC相繼在業(yè)務(wù)上采用三維和四維變分同化方法。四維變分同化方法是一種最優(yōu)控制方法，三維變分同化（3DVAR)和最優(yōu)控制方法等價(jià)，是一種最優(yōu)估計(jì)方法。LewisandDerber(1985),LeDimet5大氣海洋數(shù)據(jù)同化方法變分法課件6

變分方法在大氣與海洋領(lǐng)域的發(fā)展歷史20世紀(jì)70年代到80年代，在Marchuk及其同事(1975)提出在氣象學(xué)中運(yùn)用伴隨方程的思想和在Sasaki(1958,1969,1970)提出在氣象學(xué)中運(yùn)用變分方法的思想基礎(chǔ)之上，Penenko(1976)，LeDmiet(1986)和Talagrand(1987)分別提出了用動(dòng)力模式作為約束條件構(gòu)造變分問題(強(qiáng)變分約束)，并用伴隨方程去求其疊代解的數(shù)據(jù)同化新思路，這就是四維變分（4DVAR）伴隨同化技術(shù)（變分伴隨法）。變分伴隨法是變分原理和最優(yōu)控制論（方差最小化）相結(jié)合產(chǎn)生的一種方法。

變分方法在大氣與海洋領(lǐng)域的發(fā)展歷史7變分問題的起源問題是數(shù)學(xué)發(fā)展的源泉！著名的“最速降線”問題（TheBrachistochroneProblem）約翰·伯努利（JohannBernoulli，1667－1748）1696年向全歐洲數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)，提出一個(gè)難題：“設(shè)在垂直平面內(nèi)有任意兩點(diǎn)，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)受地心引力的作用，自較高點(diǎn)下滑至較低點(diǎn)，不計(jì)摩擦，問沿著什么曲線下滑，時(shí)間最短？”變分問題的起源問題是數(shù)學(xué)發(fā)展的源泉！著名的“最速降線”問題（8給出答案的人1:羅比塔（GuillaumeFrancoisAntoniedel‘Hospital,1661-1704）2:雅可比·伯努利（JacobBernoulli,1654-1705）3:萊布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz,1646-1716）4:牛頓（IsaacNewton,1642—1727）約翰的解法比較漂亮。雅可布的解法雖然麻煩與費(fèi)勁，卻更為一般化。后來歐拉（EulerLonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange,JosephLouis，1736-1813)發(fā)明了這一類問題的普遍解法，從而確立了數(shù)學(xué)的一個(gè)新分支——變分學(xué)。給出答案的人1:羅比塔（GuillaumeFrancoi9

瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1744年出版《尋求極大或極小性質(zhì)的曲線的技巧》，由此

變分法作為一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支誕生。這本書給歐拉帶來聲譽(yù)，一度他被視為當(dāng)時(shí)“活著的最偉大的數(shù)學(xué)家”。瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1744年出版《尋求極大或極小性質(zhì)的曲線10問題之23：

變分法的進(jìn)一步開展。

1900年，德國大數(shù)學(xué)家

D.

Hilbert在巴黎舉行的國際數(shù)學(xué)會(huì)議上，發(fā)表了〈數(shù)學(xué)問題〉的專題演講，提出了23個(gè)問題。

問題之23：

變分法的進(jìn)一步開展。11泛函介紹泛函介紹12大氣海洋數(shù)據(jù)同化方法變分法課件13大氣海洋數(shù)據(jù)同化方法變分法課件14大氣海洋數(shù)據(jù)同化方法變分法課件15請(qǐng)用變分法解

“最速降線”問題！請(qǐng)用變分法解

“最速降線”問題！16滿足條件：滿足條件：17約束問題：

逐步訂正松弛逼近Kalman濾波變分問題的約束條件是模式，或是物理關(guān)系。約束問題：18問題的提出：讓滿足，使最小！

問題的提出：讓滿足，使19怎么解決？途徑：通過構(gòu)造Lagrange函數(shù)化約束問題為無約束問題。怎么解決？20大氣海洋數(shù)據(jù)同化方法變分法課件21弱變分約束問題的提出（變分調(diào)整）：約束條件不是整個(gè)模式，而是較簡單的物理診斷關(guān)系。如地轉(zhuǎn)關(guān)系不能再運(yùn)用伴隨方程，因?yàn)闊o時(shí)間傾向項(xiàng)！弱變分約束問題的提出（變分調(diào)整）：22解決途徑：1）構(gòu)造泛函（目標(biāo)函數(shù)）J(u,v,p)=(u-u’)(u-u’)+(v-v’)(v-v’)+(p-p’)(p-p’)2）考慮約束關(guān)系，構(gòu)造Lagrange函數(shù)

E(x,y,u,v,p,px,py)=J(u,v,p)+aFxFx+bFyFy數(shù)學(xué)問題：求使Emin時(shí)的(u,v,p)解決途徑：233）通過Euler方法，化變分問題為微分問題我們要求u,v,p3）通過Euler方法，化變分問題為微分問題243）將E(x,y,u,v,p,px,py)代入，得到事先給定兩個(gè)系數(shù)：ab它們可調(diào)！3）將E(x,y,u,v,p,px,py)代入，得到事先給定25大氣數(shù)據(jù)的三維變分分析方法

大氣數(shù)據(jù)的三維變分分析方法261三維變分分析

如果已知大氣的觀測y0，背景場xb，那末按照線性估計(jì)理論，在統(tǒng)計(jì)意義下x的最佳估計(jì)（分析場）是

它是下面目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)：

H是由計(jì)算y的算子(H(x)=y),稱為觀測算子（可能是簡單的內(nèi)插算子或復(fù)雜的模式）。直接由（a）求x是非常困難的，一般用我們前面講過的下降算法尋找J的極小點(diǎn)。計(jì)算梯度的公式是：

其中，是觀測算子的切線性算子。1三維變分分析27Courtier等（1994）為了解決四維變分同化方法耗費(fèi)計(jì)算量過大的問題，提出了一種所謂增量方法?？梢詫?b)寫為擾動(dòng)量（增量）形式：（c）

這里δx=x-xB,d=H(xB)－y,H’是H的切線性算子（Jacobian矩陣）。(對(duì)H(x)在xb作泰勒展開,截取前兩項(xiàng))梯度為（d）不過它只給出近似解，（是第n次迭代的值）要將δx+xB

重新賦給xB進(jìn)行多次迭代計(jì)算，才能夠給出更精確的解。因?yàn)椋╟）包含了近似：。在H是線性或者接近線性時(shí)，這一近似成立，無需迭代計(jì)算。Courtier等（1994）為了解決四維變分同化方法耗費(fèi)計(jì)28三維變分同化的困難及解決辦法

一般認(rèn)為不同的觀測之間(包括不同變量間)誤差的水平方向不相關(guān),在垂直方向可能相關(guān)，所以距陣O是對(duì)角陣或者接近對(duì)角陣，求逆不困難。三維變分同化的困難及解決辦法29三維變分同化的困難及解決辦法

但是B距陣就不能看為對(duì)角陣，而它是一個(gè)維數(shù)很高的距陣，求逆實(shí)際上是不可能的。這是三維變分同化遇到的一大困難。為了解決這一困難，首先是希望分析變量之間（從而他們的誤差）相互獨(dú)立。這可以使背景誤差協(xié)方差矩陣成為事實(shí)上的塊對(duì)角矩陣）。通常的做法是取模式變量的非平衡部分作為分析變量。它們是互不相關(guān)的。這樣做還容易控制非平衡模態(tài)的增長。

三維變分同化的困難及解決辦法30實(shí)際大氣中，水平風(fēng)的兩個(gè)分量是不獨(dú)立的，溫度和高度（氣壓）是密切相關(guān)的，風(fēng)和高度也有密切相關(guān)。實(shí)際大氣中，31可以考慮作下面的變換原來的大氣變量為:現(xiàn)在變換為：

用r代替q是為了避免q隨高度變化劇烈?guī)淼牡膯栴}。而真正的分析變量是xp的非平衡部分，設(shè)它為：帶下標(biāo)的變量表示變量的非平衡部分，即為速度勢和位勢高度場與流函數(shù)平衡的部分。（可以近似令但也可保留），而可以由平衡方程導(dǎo)出：可以考慮作下面的變換32背景誤差協(xié)方差矩陣的表達(dá)式可以寫為塊對(duì)角矩陣： 是單變量誤差協(xié)方差矩陣，它可以對(duì)預(yù)報(bào)誤差作統(tǒng)計(jì)分析給出。NCEP（前身為NMC）利用同一時(shí)刻不同時(shí)效（24和12小時(shí)）的預(yù)報(bào)之差作為預(yù)報(bào)誤差的近似：

這里下標(biāo)i

和l表示水平方向與垂直方向的格點(diǎn)標(biāo)號(hào).背景誤差協(xié)方差矩陣的表達(dá)式可以寫為塊對(duì)角矩陣： 是單變量誤差33下面我們討論幾種避免求B的逆的辦法（1）

Lorenc(1988),DerberandRosati(1989)建議作變換目標(biāo)函數(shù)成為：

梯度：

如果令x的初猜值為xB，即v的初猜值為零，那末實(shí)際并不用計(jì)算。按照下降算法迭代給出最后的v后，由x=xB+Bv得到分析場。不過在實(shí)際問題中B是一個(gè)維數(shù)很高的距陣（可達(dá)107×107），而且每次迭代都要作Bv的運(yùn)算，占用空間很大，計(jì)算量也不小。下面我們討論幾種避免求B的逆的辦法目標(biāo)函數(shù)成為：梯度：如34

(2)運(yùn)用過濾算子的變分分析方法：

分析矩陣B和向量v相乘的作用。相乘后v的第j個(gè)分量是

在均勻格點(diǎn)下，上式相當(dāng)于一個(gè)空間濾波運(yùn)算，是濾波系數(shù)，過濾范圍是整個(gè)模式區(qū)間。按照這樣的分析，可以用空間濾波運(yùn)算代替B，這樣的方法簡稱VAF（variationalanalysisusingafilter）。計(jì)算過程如下：初猜值v=0,梯度：這里G是一個(gè)空間濾波算子，它可以根據(jù)B的特性設(shè)計(jì)。

35例如在二維空間，認(rèn)為背景場誤差各項(xiàng)均勻同性，可用下面的高斯分布表示背景場誤差相關(guān)函數(shù)（Daley,1991）:

是格點(diǎn)i,j之間的距離，是背景場誤差標(biāo)準(zhǔn)差。這樣矩陣B和v的乘相當(dāng)于用一個(gè)高斯濾波器作用到v上，實(shí)際計(jì)算時(shí)應(yīng)用的是一個(gè)截?cái)嗟母咚篂V波器，可以大大減少內(nèi)存和計(jì)算量。例如在二維空間，認(rèn)為背景場誤差各項(xiàng)均勻同性，可用下面的高斯分36(3)Lorenc(1997)研究了用遞歸濾波模擬的可能性。

讓作變換，則目標(biāo)函數(shù)成為梯度是：

現(xiàn)在的問題是U的具體形式如何給出。前面我們指出，矩陣與某個(gè)向量的乘法可以用濾波運(yùn)算逼近。如果認(rèn)為背景場誤差相關(guān)函數(shù)可用形如(8.2.7)的高斯分布表示，考慮一維問題，令F＝Asin(kx)代入高斯濾波器（8.2.5）可以計(jì)算對(duì)波數(shù)為k的波的譜響應(yīng)函數(shù)(振幅響應(yīng)因子)：(3)Lorenc(1997)研究了用遞歸濾波模擬的可能性37設(shè)計(jì)一個(gè)遞歸濾波器定義如下：考慮一格距為的一維格點(diǎn)場，是格點(diǎn)i的原始值，是經(jīng)過從到I濾波后的值，C是經(jīng)過左右兩個(gè)方向?yàn)V波后的值，是濾波系數(shù)。則遞歸濾波器定義為：將兩式合并，有：(8.2.12)(8.2.12)亦稱反濾波器，從該式中可以求得其譜響應(yīng)函數(shù)，并進(jìn)而得到遞歸濾波器的譜響應(yīng)函數(shù)（為反濾波器譜響應(yīng)函數(shù)的倒數(shù)）。

設(shè)計(jì)一個(gè)遞歸濾波器定義如下：38N次遞歸濾波的振幅響應(yīng)因子為：如，則有：（8.2.16）前面給出的高斯譜響應(yīng)函數(shù)（8.2.11）為：（8.2.11）由于故遞歸濾波器（8.2.12）的結(jié)果需要乘一個(gè)因子對(duì)（8.2.11）關(guān)于作Taylor展開：(8.2.17）（8.2.17）與（8.2.16）對(duì)比，可得：