證明角相等的方法

添輔助線的規(guī)律

（一）添輔助線的目的：

解證幾何問題的基本思路就是要利用已知幾何條件求得所求幾何關(guān)系。這往往需要將已知條件與所求條件集中到一個或兩個幾何關(guān)系十分明確的簡單的幾何圖形之中。如一個三角形（特別是直角三角形、等腰三角形），一個平行四邊形（特別是矩形、菱形、正方形），一個圓，或兩個全等三角形，兩個相似三角形之中。這種思路可稱為條件集中法。

為了達(dá)到條件集中的目標(biāo)，我們需要將遠(yuǎn)離的、分散的已知條件和所求條件，通過連線、作線、平移、翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)等方法來補(bǔ)全或構(gòu)造一個三角形、一個平行四邊形、一個圓、或兩個全等三角形、兩個相似三角形。以便于運(yùn)用這些圖形的幾何關(guān)系（性質(zhì)定理）解題，這就需要添加輔助線。

添加什么樣的輔助線，總由以下三方面決定：

⑴由所求決定：問什么，先要作什么。

⑵由已知決定：已知什么，作出什么，并為充分運(yùn)用已知條件提供的性質(zhì)定理添加輔助線。

⑶由條件集中的需要決定：為補(bǔ)全或構(gòu)造幾何關(guān)系十分明確的一個三角形、一個平行四邊形、一個圓，或兩個全等三角形、兩個相似三角形而添加輔助線。

（二）添輔助線的規(guī)律：

（1）三角形中：

①等腰Δ：常連底邊上的中線或高或頂角的平分線（構(gòu)造兩個全等的直角Δ，或便于運(yùn)用等腰Δ三線合一的性質(zhì)。如圖1）

②直角Δ斜邊上有中點(diǎn)：連中線（構(gòu)造兩個等腰Δ，或便于運(yùn)用直角Δ斜邊上的中線的特殊性質(zhì)。如圖2）

③斜Δ有中點(diǎn)或中線：連中線(構(gòu)造兩個等底同高的等積Δ。如圖3）；

或自左右兩頂點(diǎn)分別作中線的垂線（構(gòu)造兩個全等直角三角形。如圖4）；

或連中位線、或過一中點(diǎn)作另一邊的平行線（構(gòu)造兩個相似比為1：2的相似Δ，或便于運(yùn)用Δ中位線定理。如圖5、6）；或延長中位線或中線的一倍（構(gòu)造兩個全等Δ或補(bǔ)全為一個平行四邊形。如圖7、8）?；蜓娱L中線的1/3（構(gòu)造兩個全等Δ或補(bǔ)全為一個平行四邊形。如圖9）。

④有角平分線：過其上某一交點(diǎn)作角兩邊的垂線（構(gòu)造兩全等的直角Δ。如圖10）或一邊或兩邊的平行線（構(gòu)造一個或兩個等腰Δ或一菱形。如圖11）。

⑤有角平分線：在此角的一邊上自頂點(diǎn)取一段等于另一邊并作相關(guān)連線（構(gòu)造兩個全等Δ。如圖12、13）

⑥有角平分線遇垂線：常延長垂線（構(gòu)造等腰Δ。如圖14）。

（二）梯形：

①延長兩腰交于一點(diǎn)（構(gòu)造兩相似Δ。如圖15），

②由小底的一端作一腰的平行線（構(gòu)造一集中有兩腰及上下兩底差的Δ和一平行四邊形。如圖16）。

③由小底的兩端作大底的垂線（構(gòu)造兩直角Δ和一矩形。如圖17）。

④有對角線時：由小底的一端作另一對角線的平行線（構(gòu)造一集中有兩對角線及上下兩底和的Δ和一平行四邊形。如圖18）。

⑤連小底一端與另一腰中點(diǎn)并與大腰的延長線相交（構(gòu)造兩全等Δ及一與梯證明線段相等的方法

（一）常用軌跡中：

①兩平行線間的距離處處相等。

②線段中垂線上任一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。

③角平分線上任一點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

④若一組平行線在一條直線上截得的線段相等，則在其它直線上截得的線段也相等(圖1）。

（二）三角形中：

①同一三角形中，等角對等邊。（等腰三角形兩腰相等、等邊三角形三邊相等）

②任意三角形的外心到三頂點(diǎn)的距離相等。

③任意三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等。

④等腰三角形頂角的平分線（或底邊上的高、中線）平分底邊。

⑤直角三角形中，斜邊的中點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的距離相等。

⑥有一角為60°的等腰三角形是等邊三角形。

⑦過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊(圖2）。

⑧同底或等底的三角形，若面積相等，則高也相等。同高或等高的三角形，若面積相等，則底也相等(圖3）。

（三）四邊形中：

①平行四邊形對邊相等，對角線相互平分。

②矩形對角線相等，且其的交點(diǎn)到四頂點(diǎn)的距離相等。

③菱形中四邊相等。

④等腰梯形兩腰相等、兩對角線相等。

⑤過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰(圖4）。

（四）正多邊形中：

①正多邊形的各邊相等。且邊長an=2Rsin(180°/n)

②正多邊形的中心到各頂點(diǎn)的距離(外接圓半徑R)相等、各邊的距離(邊心距rn)相等。

且rn=Rcos(180°/n)

（五）圓中：

①同圓或等圓的半徑相等、直徑相等；等弧或等圓心角、等圓周角所對的弦、弦心距相等。

②同圓或等圓中，等弦所對的弦心距相等，等弦心距所對的弦相等。

③任意圓中，任一弦總被與它垂直的半徑或直徑平分。

④自圓外一點(diǎn)所作圓的兩切線長相等。

⑤兩相交或外切或外離圓的二公切線的長相等；兩外離圓的二內(nèi)公切線的長也相等。

⑥兩相交圓的公共弦總被連心線垂直平分（圖5）。

⑦兩外切圓的一條外公切線與內(nèi)公切線的交點(diǎn)到三切點(diǎn)的距離相等（圖6）。

⑧兩同心圓中，內(nèi)圓的任一切線夾在外圓內(nèi)的弦總相等且都被切點(diǎn)平分（圖7）。

（六）全等形中：

①全等形中，一切對應(yīng)線段（對應(yīng)的邊、高、中線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑……）都相等。

（七）線段運(yùn)算：

①對應(yīng)相等線段的和相等；對應(yīng)相等線段的差相等。

②對應(yīng)相等線段乘以的相等倍數(shù)所得的積相等；對應(yīng)相等線段除以的相等倍數(shù)所得的商相等。

③兩線段的長具有相同的數(shù)學(xué)解析式，或二解析式相減為零，或相除為1，則此二線段相等。證明角相等的方法

（一）相交直線及平行線：

①二直線相交，對頂角相等。

②二平行線被第三直線所截時，同位角相等，內(nèi)錯角相等，外錯角相等。

③同角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等，凡直角都相等。

④角的平分線分得的兩個角相等。

⑤自兩個角的頂點(diǎn)向角內(nèi)看角的兩邊，若有一角的左邊平行（或垂直）于另一角左邊，一角的右邊平行（或垂直）于另一角的右邊，則此二角相等(圖1、2）。

（二）三角形中：

①同一三角形中，等邊對等角。（等腰三角形兩底角相等、等邊三角形三內(nèi)角相等）

②等腰三角形中底邊上的高或中線平分頂角。

③有一角為60°的等腰三角形是等腰三角形是等邊三角形（三內(nèi)角都相等）

④直角三角形中，斜邊的中線分直角三角形為兩個等腰三角形（圖3）。

（三）四邊形中：

①平行四邊形對角相等。

②菱形的對角線平分一組對角。

②矩形的四角相等，且均為直角。

③等腰梯形同一底上的兩角相等。

（四）正多邊形中：

①正多邊形的各內(nèi)角相等、外角相等，且內(nèi)角=(n-2)180°/n，外角=360°/n

②正多邊形的中心角相等，且中心角αn=360°/n

。

（五）圓中：

①同圓或等圓中，等弧或等弦或等弦心距所對的圓心角相等、圓周角相等。

②同圓或等圓中，含等弧或等弦的弦切角相等，且與所對的圓周角相等。

③同圓或等圓中，所夾二弧或二弦相等的圓內(nèi)角相等、圓外角相等。

④自圓外一點(diǎn)所作圓的兩切線，二切線所夾的角被過該點(diǎn)的連心線平分。

⑤兩相交或外切或外離的圓中，二外公切線所夾的角被二圓的連心線平分；兩外離的圓中，二內(nèi)公切線所夾的角也被二圓的連心線平分(圖4）。

⑥圓的內(nèi)接四邊形中，任一外角與其內(nèi)對角相等。

（六）全等形中：

①全等形中，一切對應(yīng)角都相等。

（七）相似形中：

①相似形中，一切對應(yīng)角都相等。

（八）角的運(yùn)算：

①對應(yīng)相等角的和相等；對應(yīng)相等角的差相等。

②對應(yīng)相等角乘以的相等倍數(shù)所得的積相等；對應(yīng)相等角除以的相等倍數(shù)所得的商相等。

③兩角的大小具有相同的數(shù)學(xué)解析式，或二解析式相減為零，或相除為1，則此二角相等。

④兩銳角或兩鈍角的正弦具有相同的數(shù)學(xué)解析式，此二角相等；兩角的余弦、正切具有相同的數(shù)學(xué)解析式，此二角相等。證明線段不等關(guān)系的方法

（一）常用軌跡中：

①（線段公理）所有連結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短。

②自直線外的一點(diǎn)，向直線作一條垂線和多條斜線，則斜線長的所對的射影也長；射影長的所對的斜線也長，且其中垂直線段最短(圖1）。

③兩平行線間公垂線最短。

（二）三角形中：

①同一三角形中，大角對大邊，小角對小邊，直角或鈍角所對的邊最大。

②任意三角形中，任二邊之和大于第三邊，任二邊之差小于第三邊。

③直角三角形中，斜邊最長。

（三）圓中：

①同圓或等圓中的各條弦、以直徑最長。

②同圓或等圓中，大弦或大圓心角所對所對的弦心距小，小弦或小圓心角所對所對的弦心距大；

小弦心距或大圓心角所對的弦大，大弦心距或小圓心角所對的弦?。▓D2）。

③同圓或等圓中，若弧為劣弧，圓周角為銳角：則大弧或大圓周角所對的弦大；

小弧或小圓周角所對的弦?。▓D2）。若弧為優(yōu)弧，圓周角為鈍角，則反之（圖3）。

④同圓或等圓中，若弧為劣弧，圓周角為銳角：則大弧或大圓周角所對所對的弦心距小，

小弧或小圓周角所對所對的弦心距大（圖2）。若弧為優(yōu)弧，圓周角為鈍角，則反之（圖3）。

（四）線段運(yùn)算：

①對應(yīng)相等線段加不等的線段：加長線段的其和也大；加短線段的其和也小。

②對應(yīng)相等線段減不等的線段：減長線段的其差反小；減短線段的其差反大。

③較大的線段減較小的線段，其差也大；較小的線段減較大的線段，其差反小。

④兩線段的長的數(shù)學(xué)解析式相減：若其差大于零，則前者大于后者；若其差小于零，則前者小于后者。

⑤兩線段的長的數(shù)學(xué)解析式相除：若其商大于1，則前者大于后者；若其商小于1，則前者小于后者。

證明角不等關(guān)系的方法

（一）三角形中：

①同一三角形中，大邊對大角，小邊對小角，三內(nèi)角中以直角或鈍角最大。

②三角形的任一外角大于與它不相鄰的任一內(nèi)角。

（二）圓中：

①同圓或等圓中，大弧所對的圓心角、圓周角大，小弧所對的圓心角、圓周角小。

②同圓或等圓中，大弦所對的圓心角、圓周角（銳角）大，小弦所對的圓心角、圓周角（銳角）??；大弦心距所對的圓心角、圓周角（銳角）小，小弦心距所對的圓心角、圓周角（銳角）大。

（三）角的運(yùn)算：

①對應(yīng)相等角加不等的角：加大角的其和也大；加小角的其和也小。

②對應(yīng)相等角減不等的角：減大角的其差反??；減小角的其差反大。

③較大的角減較小的角，其差也大；較小的角減較大的角，其差反小。

④兩角大小的數(shù)學(xué)解析式相減：若其差大于零，則前者大于后者；若其差小于零，則前者小于后者。

⑤兩角大小的數(shù)學(xué)解析式相除：若其商大于1，則前者大于后者；若其商小于1，則前者小于后者。證明線段比例式或等積式的方法

（一）比例的性質(zhì)定理：

（二）平行線中的比例線段：

①平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線所得對應(yīng)線段成比例（圖1、2）。

②平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例（圖3、4）。

③平行于三角形的一邊，且與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線所截得的三角

形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例（圖3、4）。

（三）三角形中比例線段：

①相似三角形中一切對應(yīng)線段（對應(yīng)邊、對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)周

長…）的比都相等，等于相似比。

②相似三角形中一切對應(yīng)面積的比都相等，等于相似比的平方。

③勾股定理：直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方和（圖5）。

④射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)（圖5）。

直角三角形上任一直角邊是它在斜邊上的射影與斜邊的比例中項(xiàng)（圖5）。

⑤正弦定理：三角形中，每一邊與對角的正弦的比相等（圖6）。即/sinA=b/sinB=c/sinC

⑥余弦定理：三角形中，任一邊的平方等于另兩邊的平方和減去這兩邊及其夾角余弦乘積的二倍（圖6）。

如a2=b2+c2-2b·c·cosA

（四）圓中的比例線段