高中數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何典型題壓軸大題練習(xí)題帶答案

第1頁(yè)（共1頁(yè)）高中數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何一．選擇題（共25小題）1．已知平面α的法向量為＝（﹣2，﹣2，1），點(diǎn)A（x，3，0）在平面α內(nèi)，則點(diǎn)P（﹣2，1，4）到平面α的距離為，則x＝（）A．﹣1 B．﹣11 C．﹣1或﹣11 D．﹣212．已知直線1的方向向量＝（﹣1，2，1），平面α的法向量＝（﹣2，4，2），則直線1與平面α的位置關(guān)系是（）A．l∥α B．l⊥α C．l?α D．l∈α3．已知直線方程2x﹣y+c＝0的一個(gè)方向向量可以是（）A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，2）4．如圖，在單位正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，以D為原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系，則平面A1BC1的法向量是（）A．（1，1，1） B．（﹣1，1，1） C．（1，﹣1，1） D．（1，1，﹣1）5．已知空間向量，，兩兩相互垂直，且||＝||＝||＝||，若，則x+y+z的取值范圍是（）A． B．[﹣1，1] C． D．[﹣2，2]6．已知向量分別是直線l1，l2的方向向量，若l1∥l2，則（）A．m＝8，n＝28 B．m＝4，m＝28 C． D．7．若向量＝（x，﹣4，﹣5），＝（1，﹣2，2），且與的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)x的值為（）A．﹣3 B．11 C．3 D．﹣3或118．已知＝（2，﹣1，4），＝（﹣1，1，﹣2），＝（7，5，m），若，，共面，則實(shí)數(shù)m的值為（）A． B．14 C．12 D．9．與向量＝（﹣1，﹣2，2）共線的單位向量是（）A．（﹣，﹣，）和（，，﹣） B．（﹣，﹣，） C．（，，﹣） D．（﹣，﹣，﹣）或（，，﹣）10．已知O（0，0，0），A（3，﹣2，4），B（0，5，﹣1），若＝，則C的坐標(biāo)是（）A．（2，﹣，）B．（﹣2，，﹣） C．（2，﹣，﹣）D．（﹣2，﹣，）11．若直線l的方向向量為（2，1，m），平面α的法向量為（1，，2），且l⊥α，則m＝（）A．2 B．3 C．4 D．512．若A（m+1，n﹣1，3），B（2m，n，m﹣2n），C（m+3，n﹣3，9）三點(diǎn)共線，則m+n的值為（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣213．若向量，，則＝（）A． B． C．3 D．14．已知向量＝（﹣1，0，1），＝（1，1，﹣1），且+k與互相垂直，則k＝（）A．1 B． C．﹣1 D．﹣15．已知向量＝（2，1，﹣3），＝（1，﹣1，2），則+2＝（）A．3 B．（4，﹣1，1） C．（5，1，﹣4） D．16．已知三棱錐A﹣BCD中，E是BC的中點(diǎn)，則﹣（+）＝（）A． B． C． D．17．在空間直角坐標(biāo)系中，若A（1，1，0），＝（3，0，1），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（﹣5，1，﹣2） B．（7，1，﹣2） C．（3，0，1） D．（7，1，2）18．正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，＝（）A． B． C． D．19．已知向量及則等于（）A．（﹣3，1，﹣2） B．（5，5，﹣2） C．（3，﹣1，2） D．（﹣5，﹣5，2）20．已知向量，，．若，則x的值為（）A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣321．設(shè)x，y∈R，向量＝（x，1，1），＝（1，y，1），＝（2，﹣4，2），且⊥，∥，則|+|＝（）A． B． C．3 D．422．若向量＝（2，﹣3，1）和＝（1，x，4）滿足條件?＝0，則x的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．223．空間點(diǎn)A（x，y，z），O（0，0，0），，若|AO|＝1，則|AB|的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．424．已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長(zhǎng)是2，則的取值范圍為（）A．[0，4] B．[0，2] C．[1，4] D．[1，2]25．在下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是（）A．＝﹣﹣ B．＝++ C．++＝ D．+++＝二．填空題（共5小題）26．若，且，則實(shí)數(shù)λ＝．27．點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為4的正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，MN是該四面體內(nèi)切球的一條直徑，則的最大值是．28．若向量＝（x，﹣1，1）與＝（3，1，﹣2）的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為．29．已知＝（﹣2，1，3），＝（3，﹣4，2），＝（7，λ，5），若，，共面，則實(shí)數(shù)λ＝．30．若向量＝（7，λ，8），＝（1，﹣1，2），＝（2，3，1），且，，共面，則λ＝．三．解答題（共10小題）31．棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是DD1，DB的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中點(diǎn)．（1）證明：EF⊥B1C．（2）求cos＜＞．（3）求FH的長(zhǎng)．32．設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC，BB1的中點(diǎn)．如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．（I）求；（II）若點(diǎn)M，N分別是線段A1E與線段D1F上的點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線MN，使得MN⊥平面ABCD？若存在，求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．33．已知空間向量＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），定義兩個(gè)空間向量與之間的距離為d（，）＝|bi﹣ai|．（1）若＝（1，2，3），＝（4，1，1），＝（，，0），證明：d（，）+d（，）＝d（，）（2）已知＝（c1，c2，c3）①證明：若?λ＞0，使﹣＝λ（﹣），則d（，）+d（，）＝d（，）．②若d（，）+d（，）＝d（，），是否一定?λ＞0，使﹣＝λ（﹣）？請(qǐng)說(shuō)明理由．34．如圖四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上且AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中點(diǎn)，四面體P﹣BCG的體積為．（1）求過(guò)點(diǎn)P，C，B，G四點(diǎn)的球的表面積；（2）求直線DP到平面PBG所成角的正弦值；（3）在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使DF⊥GC，若存在，確定點(diǎn)F的位置，若不存在，說(shuō)明理由．35．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，Q分別是BB1，BC1中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段C1M上，且，（1）用向量表示向量；（2）用向量表示向量；（3）若AP與平面A1BC交于，求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．36．如圖，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．（1）求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1與平面A1BA所成的銳二面角（是指不超過(guò)90°的角）的余弦值．37．如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)為．（1）設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為1，求證：AB1⊥BC1；（2）設(shè)AB1與BC1的夾角為，求側(cè)棱的長(zhǎng)．38．如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC＝4，D，E分別是AC，AB邊上的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C＝A1D，如圖2．（Ⅰ）求證：DE⊥A1C；（Ⅱ）求點(diǎn)C到平面A1BE的距離．39．已知四棱錐S﹣ABCD中，四邊形ABCD是菱形，且∠ABC＝120°，△SBC為等邊三角形，平面SBC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求證：BC⊥SD；（Ⅱ）若點(diǎn)E是線段SA上靠近S的三等分點(diǎn)，求直線DE與平面SAB所成角的正弦值．40．（1）用符號(hào)表示下來(lái)語(yǔ)句，并畫出同時(shí)滿足這四個(gè)語(yǔ)句的一個(gè)幾何圖形：①直線l在平面α內(nèi)；②直線m不在平面α內(nèi)；③直線m與平面α交于點(diǎn)A；④直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．（2）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CC1的三等分點(diǎn)，畫出由D1，E，F(xiàn)三點(diǎn)所確定的平面β與平面ABCD的交線．（保留作圖痕跡）

參考答案與試題解析一．選擇題（共25小題）1．【解答】解：＝（﹣2﹣x，﹣2，4），||＝＝，||＝＝3，＝﹣2（﹣2﹣x）+4+4＝2x+12，∴cos＜＞＝＝，設(shè)AP與平面α所成角為θ，則sinθ＝，∴P到平面α的距離為|AP|?sinθ＝＝，解得x＝﹣1或x＝﹣11．故選：C．2．【解答】解：∵直線1的方向向量＝（﹣1，2，1），平面α的法向量＝（﹣2，4，2），∴＝2∴則與共線，可得：l⊥a．故選：B．3．【解答】解：依題意，（2，﹣1）為直線的一個(gè)法向量，∴方向向量為（1，2），故選：D．4．【解答】解：在單位正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，以D為原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系，A1（1，0，1），B（1，1，0），C1（0，1，1），＝（0，1，﹣1），＝（﹣1，0，1），設(shè)平面A1BC1的法向量是＝（x，y，z），則，取x＝1，得＝（1，1，1），∴平面A1BC1的法向量是（1，1，1）．故選：A．5．【解答】解：設(shè)||＝||＝||＝||＝r，∵，，兩兩相互垂直，∴＝＝，∵，∴＝（x+y+z）2＝x2+y2+z2，∴1＝x2+y2+z2，∴（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz≤3（x2+y2+z2）＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝±時(shí)“＝”成立，∴﹣≤x+y+z≤，故選：C．6．【解答】解：∵l1∥l2，∴存在實(shí)數(shù)使得＝k，∴，解得：m＝8，n＝．故選：C．7．【解答】解：∵向量＝（x，﹣4，﹣5），＝（1，﹣2，2），∴||＝＝，||＝＝3；?＝x+8﹣10＝x﹣2，且與的夾角余弦值為﹣，∴?3?（﹣）＝x﹣2；整理得x2﹣8x﹣33＝0，解得x＝﹣3或x＝11（不合題意，舍去）；∴x的值為﹣3．故選：A．8．【解答】解：∵＝（2，﹣1，4），＝（﹣1，1，﹣2），∴與不平行，又∵，，三向量共面，則存在實(shí)數(shù)x，y使＝x+y，即（2x﹣y，﹣x+y，4x﹣2y）＝（7，5，m）即，解得：m＝14，故選：B．9．【解答】解：∵向量＝（﹣1，﹣2，2）的模為||＝＝3，故與向量＝（﹣1，﹣2，2）共線的單位向量是±，即＝（﹣，﹣，）或﹣＝（，，﹣）．故選：A．10．【解答】解：設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y，z），則＝（x，y，z）．又＝（﹣3，7，﹣5），＝，∴x＝﹣2，y＝，z＝﹣．則C的坐標(biāo)是（﹣2，，﹣）．故選：B．11．【解答】解：∵直線l的方向向量為（2，1，m），平面α的法向量為（1，，2），且l⊥α，∴l(xiāng)的方向向量為（2，1，m）與平面α的法向量為（1，，2）平行，∴（2，1，m）＝λ（1，，2）．∴，解得m＝4．故選：C．12．【解答】解：因?yàn)椋剑╩﹣1，1，m﹣2n﹣3），＝（2，﹣2，6），由題意，得∥，所以＝＝，所以m＝0，n＝0，所以m+n＝0．故選：A．13．【解答】解：∵向量，，∴2+＝（4，﹣1，1），∴＝＝3．故選：D．14．【解答】解：∵向量＝（﹣1，0，1），＝（1，1，﹣1），∴+k＝（﹣1+k，k，1﹣k），∵+k與互相垂直，∴（）?＝﹣1+k+k﹣1+k＝0，解得k＝．故選：B．15．【解答】解：．故選：B．16．【解答】解：如圖，取CD中點(diǎn)F，連結(jié)AF，EF，∵三棱錐A﹣BCD中，E是BC的中點(diǎn)，∴﹣（+）＝﹣＝＝．故選：D．17．【解答】解：在空間直角坐標(biāo)系中，A（1，1，0），＝（3，0，1），設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（x，y，z），則＝（x﹣1，y﹣1，z﹣0）＝（3，0，1），解得x＝7，y＝1，z＝2．∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（7，1，2）．故選：D．18．【解答】解：由題意可得＝＝．故選：D．19．【解答】解：由向量，，所以＝（﹣3，1，﹣2）．故選：A．20．【解答】解：因?yàn)橄蛄浚?，，所以﹣＝（?，3，1）；又，所以?（﹣）＝0，即﹣2×（﹣2）+3x+2×1＝0，解得x＝﹣2．故選：A．21．【解答】解：設(shè)x，y∈R，向量＝（x，1，1），＝（1，y，1），＝（2，﹣4，2），且⊥，∥，∴，解得x＝1，y＝﹣2，∴＝（1，1，1）+（1，﹣2，1）＝（2，﹣1，2），∴|+|＝．故選：C．22．【解答】解：因?yàn)椋剑?，﹣3，1）和＝（1，x，4）滿足條件＝0，即2﹣3x+4＝0?x＝2；故選：D．23．【解答】解：∵空間點(diǎn)A（x，y，z），O（0，0，0），，|AO|＝1，∴A是以O(shè)為球心，1為半徑的球上的點(diǎn)，∵，∴|OB|＝＝3．∴|AB|的最小值為：|OB|﹣||OA|＝3﹣1＝2．故選：B．24．【解答】解：以D1為坐標(biāo)原點(diǎn)，以D1A1，D1C1，D1D所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；設(shè)正方體內(nèi)切球球心為S，MN是該內(nèi)切球的任意一條直徑，則內(nèi)切球的半徑為1，所以?＝（+）?（+）＝（+）?（﹣）＝﹣1∈[0，2]．所以的取值范圍是[0，2]．故選：B．25．【解答】解：在C中，由++＝，得＝﹣﹣，則、、為共面向量，即M、A、B、C四點(diǎn)共面；對(duì)于A，由＝﹣﹣，得1﹣1﹣1＝﹣1≠1，不能得出M、A、B、C四點(diǎn)共面；對(duì)于B，由＝++，得++≠1，所以M、A、B、C四點(diǎn)不共面；對(duì)于D，由+++＝，得＝﹣（++），其系數(shù)和不為1，所以M、A、B、C四點(diǎn)不共面．故選：C．二．填空題（共5小題）26．【解答】解：∵，∴+λ＝（2+6λ，﹣1﹣3λ，2+2λ），由，得：2（2+6λ）+（1+3λ）+2（2+2λ）＝0，解得：λ＝﹣，故答案為：﹣．27．【解答】解：設(shè)點(diǎn)O是此正方體的內(nèi)切球的球心，半徑R＝1．∵?≤||||，∴當(dāng)點(diǎn)P，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，?取得最大值．當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為正四面體的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)上式取得最大值，∴（?）max＝×＝，故答案為：．28．【解答】解：向量＝（x，﹣1，1）與＝（3，1，﹣2），因?yàn)榕c夾角為鈍角，所以，且cos＜，＞≠﹣1，解得x＜1，所以x的取值范圍為（﹣∞，1）．故答案為：（﹣∞，1）．29．【解答】解：由＝（﹣2，1，3），＝（3，﹣4，2），＝（7，λ，5），且，，共面，所以存在實(shí)數(shù)m，n，使得，即（7，λ，5）＝m（﹣2，1，3）+n（3，﹣4，2），列方程組，得，解得，；所以．故答案為：．30．【解答】解：向量＝（7，λ，8），＝（1，﹣1，2），＝（2，3，1），且，，共面，所以存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x、y使得＝x+y；即，解得；所以λ＝3．故答案為：3．三．解答題（共10小題）31．【解答】解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，如圖所示；則E（0，0，1），F(xiàn)（1，1，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），C1（0，2，2）；（1）∵＝（1，1，﹣1），＝（﹣2，0，﹣2），∴?＝1×（﹣2）+1×0﹣1×（﹣2）＝0，∴⊥，∴EF⊥B1C；（2）由CG＝CD知，C（0，2，0），∴G（0，，0），∴＝（0，﹣，﹣2），∴?＝1×0+1×（﹣）﹣1×（﹣2）＝，||＝，||＝＝，∴cos＜，＞＝＝＝；（3）∵H為C1G的中點(diǎn)，∴H（0，，1），F(xiàn)（1，1，0），∴＝（﹣1，，1），∴||＝＝，即FH的長(zhǎng)為．32．【解答】解：（Ⅰ）在給定空間直角坐標(biāo)系中，相關(guān)點(diǎn)及向量坐標(biāo)為A1（2，0，2），E（1，2，0），D1（0，0，2），F(xiàn)（2，2，1），＝（﹣1，2，﹣2），＝（2，2，﹣1），…（2分）所以；…（4分）（Ⅱ）存在唯一直線MN，使MN⊥平面ABCD；設(shè)M（x1，y1，z1），N（x2，y2，z2），且，；則（x1﹣2，y1，z1﹣2）＝λ（﹣1，2，﹣2），（x2，y2，z2﹣2）＝t（2，2，﹣1），所以M（2﹣λ，2λ，2﹣2λ），N（2t，2t，2﹣t），故，…（8分）若MN⊥平面ABCD，則與平面ABCD的法向量＝（0，0，1）平行，所以，解得；所以點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別是（，，），（，，）．…（12分）33．【解答】證明：（1）∵，，，∴，，，∴．（2）①∵?λ＞0，使，∴?λ＞0，使得（b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3）＝λ（c1﹣b1，c2﹣b2，c3﹣b3），即?λ＞0，使得bi﹣ai＝λ（ci﹣bi），其中i＝1，2，3，∴bi﹣ai與ci﹣bi（i＝1，2，3）同為非負(fù)數(shù)或同為負(fù)數(shù)．∴，即．②不一定?λ＞0，使得．反例如下：取，，，，，，則∵，，∴不存在λ＞0，使得．34．【解答】解：（1）由四面體P﹣BCG的體積為．∴PG＝4以GP，GB，GC構(gòu)造長(zhǎng)方體，外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線．∴（2R）2＝16+4+4，∴∴V＝4π×6＝24π．（2）由GB＝GC＝2∴△BGC為等腰三角形，GE為∠BGC的角平分線，作DK⊥BG交BG的延長(zhǎng)線于K，∴DK⊥面BPG．由平面幾何知識(shí)可知：，設(shè)直線DP與平面PBG所成角為α∴．（3）∵GB，GC，GP兩兩垂直，分別以GB，GC，GP為x，y，z軸建立坐標(biāo)系假設(shè)F存在且設(shè)F（0，y，4﹣2y）（0＜y＜2）∵∴，又直線DF與GC所成的角為900∴∴∴當(dāng)時(shí)滿足條件．35．【解答】解：（1）∵，，∴＝．（2）∵，又＝，∴＝＝＝+．（3）由空間向量的基本定理可設(shè)，∵四點(diǎn)A1、B、C、N共面，∴k+m+n＝1．∵，∴＝，∴，利用k+m+n＝1，可得，化為即為所求的關(guān)系式．36．【解答】解：（1）以{，，}為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，則由題意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴＝（2，0，﹣4），＝（1，﹣1，﹣4），∴cos＜，＞＝＝＝，∴異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為．（2）是平面ABA1的一個(gè)法向量，設(shè)平面ADC1的法向量為，∵，∴，取z＝1，得y＝﹣2，x＝2，∴平面ADC1的法向量為＝（2，﹣2，1），設(shè)平面ADC1與ABA1所成二面角為θ，∴cosθ＝|cos＜，＞|＝||＝，∴平面ADC1與ABA1所成二面角的余弦值為：．37．【解答】證明：（1）＝+，＝+．因?yàn)锽B1⊥平面ABC，所以?＝0，?＝0．又△ABC為正三角形，所以＜，＞＝π﹣＜，＞＝π﹣＝．因?yàn)?＝（+）?（+）＝?+?++?＝||?||?cos＜，＞+＝﹣1+1＝0，所以AB1⊥BC1．解：（2）由（1）知?＝||?||?cos＜，＞+＝﹣1．又||＝＝＝||，所以cos＜，＞＝＝，所以||＝2，即側(cè)棱長(zhǎng)為2．38．【解答】（Ⅰ）證明：