2023年浙教版數學八年級上冊1.5 三角形全等的判定 同步測試（培優(yōu)版）

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2023年浙教版數學八年級上冊1.5三角形全等的判定同步測試（培優(yōu)版）

一、選擇題（每題3分，共30分）

1．（2023八上·安次月考）如圖，工人師傅做了一個長方形窗框分別是四條邊上的中點，為使它穩(wěn)固，需要在窗框上釘一根木條，這根木條不能釘在（）

A．兩點之間B．兩點之間

C．兩點之間D．兩點之間

2．（2023·福建）閱讀以下作圖步驟：

①在和上分別截取，使；②分別以為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；③作射線，連接，如圖所示．根據以上作圖，一定可以推得的結論是（）

A．且B．且

C．且D．且

3．（2022八上·江岸開學考）如圖，中，，，三條角平分線、、交于，于下列結論：；；平分；其中正確的結論個數有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

4．（2023八下·任丘期末）如圖，點E是△ABC內一點，∠AEB＝90°，AE平分∠BAC，D是邊AB的中點，延長線段DE交邊BC于點F，若AB＝6，EF＝1，則線段AC的長為（）

A．7B．C．8D．9

5．（2023八下·光明期中）如圖，中，分別是其角平分線和中線，過點C作于F，連接，則線段的長為（）

A．B．2C．D．3

6．（2023八下·西安月考）如圖，的角平分線，交于點，，的面積為16，四邊形的面積為5，則的面積為（）

A．5B．5.5C．6D．7

7．（2023·石家莊月考）對于直線L和直線L外的一點O，按下列步驟完成了尺規(guī)作圖：（1）在直線L的另一側取點M；（2）以O為圓心，為半徑作弧與L交于A，B兩點；（3）分別以A，B為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點C；（4）過點O和C作直線m．問題：“在直線m上任取一點P（點P不在L上），連接，，過點A作直線n與直線垂直，設是，直線n與所夾的銳角是，求x與y的數量關系．”下面是三個同學的答案，甲：，乙：，丙：．

對于三人的答案，下列結論正確的是（）

A．只有甲的答案正確B．甲和乙的答案合在一起才正確

C．甲和丙的答案合在一起才正確D．甲乙丙的答案合在一起才正確

8．（2023·濟寧）如圖，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，點均在小正方形方格的頂點上，線段交于點，若，則等于（）

A．B．C．D．

9．（2023七下·上海市期末）給定三角形的兩個元素，畫出的三角形的形狀和大小都是不能確定的，在下列給定的條件下，再增加一個“”的條件后，所畫出的三角形形狀和大小仍不能完全確定的是（）

A．，B．，

C．，D．，

10．（2022·葉縣期末）樂樂所在的七年級某班學生到野外活動，為測量池塘兩端，的距離，樂樂、明明、聰聰三位同學分別設計出如下幾種方案：

樂樂：如圖，先在平地取一個可直接到達，的點，再連接，，并分別延長至，至，使，，最后測出的長即為，的距離．

明明：如圖，先過點作的垂線，再在上取，兩點，使，接著過點作的垂線，交的延長線于點，則測出的長即為，的距離．

聰聰：如圖，過點作，再由點觀測，在的延長線上取一點，使這時只要測出的長即為，的距離．

以上三位同學所設計的方案中可行的是()

A．樂樂和明明B．樂樂和聰聰

C．明明和聰聰D．三人的方案都可行

二、填空題（每空4分，共24分）

11．如圖，已知D是△ABC的邊BC上一點，且，，AE是△ABD的中線，若，則．

12．（2023七下·泰山期末）如圖，在銳角中，，、為的角平分線．且、交于點，連接．有下列四個結論：①；②；③；④．其中結論正確的序號是．

13．如圖，在中，點O是和的平分線的交點，點D是BC延長線上的點，和的平分線交于點E，，則的度數為．（用含的式子表示）

14．（2022八上·奎文期中）如圖，已知三內角的角平分線交于點D，三邊的垂直平分線交于點E，若，則度．

15．（2023八上·江津期中）在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是△ABC的外角∠ACD和∠ABC的平分線交于點E，則∠AEB＝

16．（2023八上·建華期末）如圖，已知中，，，，作AC的垂直平分線交AB于點、交AC于點，連接，得到第一條線段；作的垂直平分線交AB于點、交AC于點，連接，得到第二條線段；作的垂直平分線交AB于點、交于點，連接，得到第三條線段；……，如此作下去，則第n條線段的長為．

三、解答題（共8題，共66分）

17．（2023八上·巴東期末）

（1）如圖，AE是∠MAD的平分線，點C是AE上一點，點B是AM上一點，在AD上求作一點P，使得△ABC≌△APC，請保留清晰的作圖痕跡.

（2）如圖a，在△ABC中,∠ACB=90°，∠A=60°，BE、CF分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，CF與BE相交于點O.請?zhí)骄烤€段BC、BF、CE之間的關系，直接寫出結論，不要求證明.

（3）如圖b，若（2）中∠ACB為任意角，其它條件不變，請?zhí)骄緽C、BF、CE之間又有怎樣的關系，請證明你的結論.

18．要使四邊形木架（用四根木條釘成）不變形，至少要再釘上幾根木條？五邊形木架和六邊形木架呢？n邊形木架呢？

19．（2022·前進模擬）已知：AD是△ABC的角平分線，點E為直線BC上一點，BD=DE，過點E作EF∥AB交直線AC于點F，當點F在邊AC的延長線上時，如圖①易證AF+EF=AB；當點F在邊AC上，如圖②；當點F在邊AC的延長線上，AD是△ABC的外角平分線時，如圖3．寫出AF、EF與AB的數量關系，并對圖②進行證明．

20．（2023八上·臺安月考）如圖，四邊形中，，，，M、N分別為AB、AD上的動點，且．求證：．

21．如圖（1），，，垂足分別為、，點在線段上以的速度由點向點運動，同時點在射線上運動．它們運動的時間為當點運動結束時，點運動隨之結束．

（1）AP，用含的代數式表示；

（2）若點的運動速度與點的運動速度相等，當時，與是否全等，并判斷此時線段和線段的位置關系，請分別說明理由；

（3）如圖（2），若“，”改為“”，點的運動速度為，其它條件不變，當點、運動到何處時有與全等，求出相應的的值．

22．已知，點為平面內一點，于．

（1）如圖1，直接寫出和之間的數量關系；

（2）如圖2，過點作于點，求證：；

（3）如圖3，在（2）問的條件下，點E，F在DM上，連接BE，BF，CF，BF平分，平分，若，，直接寫出的度數．

23．（2023·蘭州）綜合與實踐

（1）問題探究：如圖1是古希臘數學家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個已知角．”即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在和上分別取點C和D，使得，連接，以為邊作等邊三角形，則就是的平分線．

請寫出平分的依據：；

（2）類比遷移：

小明根據以上信息研究發(fā)現：不一定必須是等邊三角形，只需即可．他查閱資料：我國古代已經用角尺平分任意角．做法如下：如圖3，在的邊，上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點M，N重合，則過角尺頂點C的射線是的平分線，請說明此做法的理由；

（3）拓展實踐：

小明將研究應用于實踐．如圖4，校園的兩條小路和，匯聚形成了一個岔路口A，現在學校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等．試問路燈應該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對應的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）

24．（2023·吉林模擬）下面是張老師數學課堂教學實踐活動的一個片段：

【問題背景】如圖1，一副三角板的直角頂點重合，兩條直角邊分別共線，將它們分別記作，．其中，，，．現固定三角板，將三角板繞點A逆時針旋轉，旋轉角記為，射線與射線交于點P，在射線上取一點Q，使，連接CQ．

（1）【特例探究】如圖2，當時，直接寫出和的數量關系和位置關系．

（2）【歸納證明】如圖3，當點P在線段BC上時，【特例探究】中得到的結論是否成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

（3）【類比遷移】當點P在線段延長線上時，請直接寫出【特例探究】中結論是否成立，不必說明理由．

（4）【拓展應用】連接．若，的面積等于，請直接寫出的長．

答案解析部分

1．【答案】D

【知識點】三角形的穩(wěn)定性

【解析】【解答】解：A．若釘在E，H兩點之間構成了三角形，能固定窗框，故不符合題意；

B．若釘在A，C兩點之間能構成三角形，能固定窗框，故不符合題意；

C．若釘在F，E兩點之間能構成三角形，能固定窗框，故不符合題意；

D．若釘在E，G兩點之間不能構成三角形，不能固定窗框，故符合題意；

故答案為：D．

【分析】利用三角形的定義判斷求解即可。

2．【答案】A

【知識點】三角形全等的判定（SSS）

【解析】【解答】解：由作圖可得：CM=DM.

∵CM=DM，OC=OD，OM=OM，

∴△OCM≌△ODM（SSS），

∴∠1=∠2.

故答案為：A.

【分析】由作圖可得：CM=DM，OC=OD，利用SSS證明△OCM≌△ODM，據此判斷.

3．【答案】C

【知識點】三角形內角和定理；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）；角平分線的定義

【解析】【解答】解：，

，

，

，，

，

故①正確；

于H，

，

，

，

，

，

，

故②正確；

，，

，

，

，

，，

，

，

，

，

故③錯誤；

如圖，在BC上截取BI=BF，連接OI，

，

，

，

，

在△OBI和△OBF中，

，

∴△OBI≌△OBF（SAS）

，

，

，

，

在△CIO與△CEO中，

，

∴△CIO≌△CEO（ASA）

，

，

故④正確.

故答案為：C.

【分析】易得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分線的概念可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，則∠OBC+∠OCB=60°，利用內角和定理求出∠BOC的度數，據此判斷①；根據余角的性質結合外角的性質可得∠DOH=90°-∠BAD-∠ABC，結合角平分線的概念以及內角和定理可得∠DOH=(∠ACB-∠ABC)，進而判斷②；易得∠ACB>60°，則∠ABC4．【答案】C

【知識點】三角形全等的判定（ASA）

【解析】【解答】解：延長BE交AC于H，

∵AE平分∠BAC，

∴∠HAE＝∠BAE，

∵∠AEB＝90°，

∴∠AEB＝∠AEH=90°，

在△HAE和△BAE中，

，

∴△HAE≌△BAE（ASA）

∴AH＝AB＝6，HE＝BE，

∵HE＝BE，AD＝DB，

∴DFAC，

∵HE＝BE，

∴HC＝2EF＝2，

∴AC＝AH＋HC＝8，

故答案為：C．

【分析】延長BE交AC于H，證明△HAE≌△BAE（ASA），根據全等三角形的性質求出AH，根據三角形中位線定理解答即可。

5．【答案】B

【知識點】平行線的性質；三角形全等的判定（AAS）；角平分線的定義

【解析】【解答】解：如圖所示：

過點C作CM//AB，交AE的延長線于點M，交AD的延長線于點N，

∵CM//AB，

∴∠B=∠ECM，∠M=∠BAE，

∵BE=CE，

∴△ABE≌△MCE，

∴AB=CM=10，AE=EM，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AB//CM，

∴∠BAD=∠ANC，

∴∠ANC=∠CAD，

∴AC-CN-6，

∴MN=4，

∵AC=CN，CF⊥AD，

∴AF=FN，

∵AE=EM，

∴，

故答案為：B.

【分析】根據平行線的性質先求出∠B=∠ECM，∠M=∠BAE，再利用全等三角形的判定與性質，角平分線的定義計算求解即可。

6．【答案】B

【知識點】三角形內角和定理；三角形全等的判定；角平分線的性質

【解析】【解答】解：過點P作于點F，過點P作于點G，過點P作于點H，如圖所示：

∵，為的角平分線，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

同理得：，

∴，，

∴，故B正確.

故答案為：B.

【分析】過點P作PF⊥BC于點F，過點P作PG⊥AC于點G，過點P作PH⊥AB于點H，由角平分線的性質可得PF=PG=PH，根據內角和定理可得∠ABC+∠ACB=120°，結合角平分線的概念可得∠PBF+∠PCF=(∠ABC+∠ACB)=60°，則∠BPC=120°，易得∠EPH=∠DPG，利用AAS證明△PEH≌△PDG，得到S△PEH=S△PDG，推出S四邊形AEPD=S四邊形AHPG=5，則S△PBH+S△PBF+S△PCF+S△PCG=S△ABC-S四邊形AHPG=11，利用HL證明△CPF≌△CPG，得到S△BPH=S△BPF，S△CPF=S△CPG，據此計算.

7．【答案】D

【知識點】三角形內角和定理；三角形的外角性質；線段垂直平分線的性質

【解析】【解答】解：如圖所示：當點D在BP的延長線上時，

由作圖可知，直線m是線段AB的垂直平分線，

∵點P在直線m上，

∴PA=PB，∠ABP=∠BAP，

∴APD=180°-x°=∠ABP+∠BAP=2∠ABP=2∠BAP，

∴∠ABP=∠BAP=90°-，

∵直線n與直線PB垂直，

∴∠ADP=90°，

∴∠DAP+∠BAP+∠ABP=90°，

∴y°+90°-+90°-=90°，

∴x°-y°=90°，

即x-y=90，

當點D在線段PB上時，如下圖所示：

同理可得，x+y=90°，

故答案為：D.

【分析】分類討論，結合圖形，利用線段的垂直平分線，三角形內角和定理，三角形的外角的性質等計算求解即可。

8．【答案】C

【知識點】平行線的性質；三角形全等及其性質；三角形全等的判定

【解析】【解答】解：如圖所示：

由題意得HE=DG=1，GC=HB=4，∠EHB=∠DGC=90°，

∴△EHB≌△DGC（SAS），

∴∠EBH=∠DCG，

∵DB∥GC，

∴∠DBA=∠BAC，

∵，

∴，

∴，

故答案為：C

【分析】先根據題意即可得到HE=DG=1，GC=HB=4，∠EHB=∠DGC=90°，進而根據三角形全等的判定與性質證明△EHB≌△DGC（SAS）即可得到∠EBH=∠DCG，再根據平行線的性質即可得到∠DBA=∠BAC，進而結合題意得到，再結合題意即可求解。

9．【答案】A

【知識點】三角形全等的判定

【解析】【解答】解：A、已知兩邊AB、BC和其中BC的對角∠A，不能確定三角形ABC的形狀和大小，符合題意；

B、已知兩邊AB、AC和它們的夾角∠A，能確定三角形ABC的形狀和大小，不符合題意；

C、A、已知兩角∠A、∠C和其中∠C的對邊AB，能確定三角形ABC的形狀和大小，不符合題意；

A、已知三邊AB、BC和AC，能確定三角形ABC的形狀和大小，不符合題意；

故答案為：A.

【分析】根據三角形全等的判定條件，進行判斷即可。

10．【答案】D

【知識點】全等三角形的應用

【解析】【解答】解：∵DC=AC，EC=BC，∠DCE=∠ACB，

∴△ABC≌△DEC（SAS），

∴AB=DE，故樂樂的方案可行.

∵AB⊥BF，DE⊥BF，

∴∠ABC=90°，∠EDC=90°.

∵∠ABC=∠EDC，BC=CD，∠ACB=∠ECD，

∴△ABC≌△EDC（ASA），

∴AB=ED，故明明的方案可行.

∵BD⊥AB，

∴∠ABD=∠CBD.

∵∠ABD=∠CBD，BD=BD，∠BDC=∠BDA，

∴△ABD≌△CBD（ASA），

∴AB=BC，故聰聰的方案可行.

故答案為：D.

【分析】利用全等三角形的判定定理以及性質進行判斷即可.

11．【答案】

【知識點】三角形內角和定理；三角形的外角性質；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：延長AE到F，使EF=AE，連接DF

∵BE=DE，∠AEB=∠FED，AE=EF，

∴△ABE≌△FDE（SAS），

∴AB=DF，∠B=∠FDE.

∵CD=AB，

∴CD=DF.

∵∠BAD+∠B=90°，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，

∴∠B+∠ADB=90°，

∴∠BAD=∠BDA.

∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADF=∠FDE+∠BDA，∠BAD=∠BDA，

∴∠ADC=∠ADF.

又∵AD=AD，CD=DF，∠ADC=∠ADF，

∴△ADC≌△ADF（SAS），

∴AC=AF=AE+EF=2AE.

∵AE=，

∴AC=2AE=.

故答案為：.

【分析】延長AE到F，使EF=AE，連接DF，利用SAS證明⊿ABE≌⊿FDE，得到AB=DF，∠B=∠FDE，由已知條件可知CD=AB，則CD=DF，根據∠BAD+∠B=90°結合內角和定理可得∠B+∠ADB=90°，則∠BAD=∠BDA，由外角的性質可得∠ADC=∠B+∠BAD，根據角的和差關系可得∠ADF=∠FDE+∠BDA，進而推出∠ADC=∠ADF，利用SAS證明△ADC≌△ADF，得到AC=AF=AE+EF=2AE，據此計算.

12．【答案】①③④

【知識點】三角形的面積；三角形內角和定理；三角形全等及其性質；三角形全等的判定；角平分線的性質

【解析】【解答】解：①∵BE、CD為△ABC的角平分線，∴∴，又∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-60°=120°，∴∠FBC+∠FCB=60°∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=180°-60°=120°，所以①正確；

③如圖3所示，在BC上截取BG=BD，在△BDF和△BGF中，BD=BG，∠DBF=∠GBF，BF=BF，∴△BDF≌△BGF，∴∠BFD=∠BFG，又∠BFD=180°-∠BFC=180°-120°=60°，∴∠BFG=60°，∴∠CFG=∠BFC-∠BFG=120°-60°=60°，又∠CFE=∠BFD=60°，∴∠CFG=∠CFE，又CF=CF，∠FCG=∠FCE，∴△CFG≌△CFE，∴CG=CE，∵BC=BG+CG

∴BC=BD+CE，所以③正確；

④已知點F是角平分線的交點，所以點F到各條邊的距離相等，設點F到邊的距離為h，則，，∴，由③知BC=BD+CE，∴，∴，所以④正確；

②假設BD=CE成立，由③知BC=BD+CE=2BD=2BG，即點G是BC的中點，又∠BFG=∠CFG，FG=FG，∴△BFG≌△CFG，∴∠FBG=∠FCG，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形，又∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，但已知△ABC并沒有說是等邊三角形，所以②結論不正確。綜上，①③④正確。

故第1空答案為：①③④.

圖3

【分析】根據角平分線的定義及三角形內角和可判定①正確；由反證法可說明②不正確；通過證明三角形全等可證得③結論正確；根據角平分線的性質可知點F到三邊的距離相等，可得④正確，故可得出答案。

13．【答案】

【知識點】三角形的外角性質；角平分線的性質

【解析】【解答】解：∵∠A=α，

∴∠ABC+∠ACB=180°-α

又∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB

∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB

∴2∠OBC+2∠OCB=180°-α

∴

∴

∵BE平分∠OBC，CE平分∠OCD

∴，

∴

∴

故答案為.

【分析】要求∠E的度數，我們可以利用△BEC的外角∠ECD，因為∠E=∠ECD-∠EBC.而根據BE和CE分別是∠OBC和∠OCD的角平分線的性質，，，所以，即只要求出∠O的度數即可.利用∠A=α，利用三角形內角和為180°，得到∠ABC和∠ACB的度數和180°-α，OB和OC是∠ABC和∠ACB的角平分線，得到∠OBC和∠OCB的度數和，進而得到∠O的值，回代至即可.

14．【答案】160

【知識點】角的運算；三角形內角和定理；線段垂直平分線的性質

【解析】【解答】解：如圖1，連接，

∵在中，，

∴．

∵三內角的角平分線交于點D，

∴平分，

∴，

同理可得，，，

∵在中，

，

又∵，，，

∴，

∵，

∴．

如圖2，連接，

∵三邊的垂直平分線交于點E，

∴，

∴，，，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

即，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∵

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴在中，

．

故答案為：160．

【分析】利用角平分線的性質，垂直平分線的性質和三角形的內角和求解即可。

15．【答案】25

【知識點】三角形內角和定理；三角形的外角性質；角平分線的性質；角平分線的定義

【解析】【解答】解：如圖示：

過點，分別作交于點，交于點，，交延長線于點，

∵平分，平分，

∴，，

∴，

∴平分，

∵，，

∴，

∴，

∵平分，

∴

在和中，

∴，

故答案為：25.

【分析】過點E，分別作EF⊥BD于點E，EG⊥AC于點G，EH⊥AB交AB延長線于點H，由角平分線上的點到角兩邊的距離相等得EH=EF=EG，根據三角形外角的性質得∠HAC=∠ABC+∠ACB=112°，由角平分線的定義得∠EAO=∠HAC，∠EBC=∠ABC，在△AOE和△BOC中，由∠AEB=∠OBC+∠OCB-∠OAE即可求解.

16．【答案】或

【知識點】線段垂直平分線的性質

【解析】【解答】解：∵，，，

∴，

∵垂直平分AC，

∴，

∴，

∴，

同理，

，

可得第n條線段的長為：或.

故答案為：或.

【分析】先求出，再求出，最后找出規(guī)律求解即可。

17．【答案】（1）解：以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧交AD于一點，則此點為所要求的點P.

（2）解：線段BC、BF、CE之間的關系為：BC=BF+CE.

在BC上截取BD=BF.

在△BFO和△BDO中

∴△BFO≌△BDO

∴∠BOF=∠BOD

∵∠A=60°，BE、CF分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，CF與BE相交于點O.

∴∠BOC=180°－∠ABC－∠ACB=180°－60°=120°

∴∠BOD=∠BOF=∠COE=180°－120°=60°.

∠COD=∠BOC－∠BOD=120°－60°=60°

在△COE和△COD中

∴△COE≌△COD

∴CE=CD

∴BC=BF+CE.

（3）解：線段BC、BF、CE之間的關系為：BC=BF+CE.

在BC上截取BF'=BF.

在△BFO和△BF'O中

∴△BFO≌△BF'O

∴∠BOF=∠BOF'

∵∠A=60°，BE、CF分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，CF與BE相交于點O.

∴∠BOC=180°－∠ABC－∠ACB=180°－60°=120°

∴∠BOF'=∠BOF=∠COE=180°-120°=60°.

∠COF'=∠BOC－∠BOF'=120°-60°=60°

在△COE和△COF'中

∴△COE≌△COF'

∴CE=CF'

∴BC=BF+CE.

【知識點】全等三角形的判定與性質

【解析】【分析】（1）以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧交AD于一點即可；（2）在BC上截取BD=BF，首先證明△BFO≌△BDO，創(chuàng)造條件證明△COE≌△COD即可；（3）在BC上截取BF'=BF，首先證明△BFO≌△BF'O，創(chuàng)造條件證明△COE≌△COF'即可.

18．【答案】解：四邊形木架，至少要再釘上1根木條，使四邊形變成兩個三角形；

五邊形木架，至少要再釘上2根木條，使五邊形變成3個三角形；

六邊形木架，至少要再釘上3根木條，使六邊形變成4個三角形；

n邊形木架，至少要再釘上（n﹣3）根木條，使多邊形變成（n﹣2）個三角形

【知識點】三角形的穩(wěn)定性

【解析】【分析】根據三角形具有穩(wěn)定性，主要是應用了三角形的穩(wěn)定性，四邊形木架，至少要再釘上1根木條；五邊形木架，至少要再釘上2根木條；六邊形木架，至少要再釘上3根木條；n邊形木架，至少要再釘上（n﹣3）根木條.

19．【答案】解：當點F在邊AC的延長線上時，延長EF、AD相交于點G，如圖：

∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠BAD=∠CAD，

∵EF∥AB，

∴∠BAD=∠G，∠B=∠E，

∴∠CAD=∠G，

∴FA=FG，

在△ABD和△GED中，，

∴△ABD≌△GED(AAS)，

∴AB=EG，

∴AF+EF=FG+EF=EG=AB；

當點F在邊AC上，延長FE、AD相交于點H，如圖：

∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠BAD=∠CAD，

∵EF∥AB，

∴∠BAD=∠H，∠B=∠DEH，

∴∠CAD=∠H，

∴FA=FH，

在△ABD和△HED中，，

∴△ABD≌△HED(AAS)，

∴AB=EH，

∴AF-EF=FH-EF=EH=AB；

當點F在邊AC的延長線上，AD是△ABC的外角平分線時，如圖：

延長AD交EF于點I，

∵AD是△ABC的外角平分線，

∴∠JAD=∠CAD，

∵EF∥AB，

∴∠JAD=∠AIF，∠B=∠E，

∴∠CAD=∠AIF，

∴FA=FI，

在△ABD和△IED中，，

∴△ABD≌△IED(SAS)，

∴AB=EI，

∴EF-AF=EF-IF=EI=AB．

【知識點】三角形全等的判定

【解析】【分析】利用三角形的全等判定方法和性質求解即可。

20．【答案】證明：延長至點，使得，連接，

四邊形中，，，

，

在和中，

，

，

，，

，，

，

，

在和中，

，

，

．

【知識點】三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】延長至點，使得，連接，根據同校的補角相等得出，根據SAS證明，則，，進而證明，根據SAS證明，得出ME=MN，則．

21．【答案】（1）2t；7-2t

（2）解；≌，．

證明：點的運動速度與點的運動速度相等，

當時，，，

，，

≌，

，

，

，

（3）解；，與全等，需要滿足下面條件之一：

，，即，，

，，

，，

，，即，，

，

，

，

，

在線段中點，

【知識點】三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）第1空：由題意易知求AP長度即求P經過的路程，即，得解；

第2空：由第1空已知AP長度，則BP=AB-AP=7-2t；

（2）分別求出t=1時，兩三角形每條邊的長度，尋找滿足對應關系的邊和角，得解；

（3）從題意表述可知，存在多種對應關系，因此應事先進行分類討論.

22．【答案】（1）

（2）解：如圖2，過點作

，即，

又，

，

，，

，

，

（3）解：

【知識點】平行線的判定與性質；角平分線的性質

【解析】【解答】解（1）∵AM∥CN，AB⊥BC，

∴∠A+∠C=90°

故答案為：∠A+∠C=90°.

（3）如圖三作BG∥DM

設∠DBE=α,則∠DBC=2α+90°,∠BFC=3α.

則

∵BD⊥AM,

∴∠DFB=45°-α.

∴∠AFC=∠DFB+∠BFC=45°+2α.

∵∠FCB+∠NCF=180°,∠AFC+∠NCF=180°,

∴∠FCB=∠AFC=45°+2α.

由(2)知,∠NCB=2α,

∴2α+2(45°+2α)=180°,

解得α=15°.

∴∠EBC=90°+α=105°.

【分析】（1）已知AB⊥BC，由兩直線平行同位角相等，即可推出∠A與∠C之間的數量關系；

（2）如圖2作BG∥DM

然后根據同角的余角相等，可以得出∠ABD=∠CBG，再由平行線的性質，可以得出∠C=∠CBG，然后即可得∠ABD=∠C；

（3）如圖三作BG∥DM

然后設∠DBE=α,則∠DBC=2α+90°,∠BFC=3α，由BD⊥AM可以推出∠AFC=∠DFB+∠BFC=45°+2α，再由題上所給條件以及（2）中可得2α+2(45°+2α)=180°，然后解出α，求出∠EBC的度數.

23．【答案】（1）

（2）解：∵，，，

∴，

∴，

∴是的角平分線；

（3）解：如圖，點即為所求作的點；

．

【知識點】三角形全等及其性質；角平分線的性質；三角形全等的判定（SSS）

【解析】【解答】解：（1）∵DE=DE，CE=DE，CO=DO，

∴△EDO≌△ECO（SSS），

∴∠EOB=∠EOA，

∴就是的平分線，

故答案為：SSS

【分析】（1）根據三角形全等的判定（SSS）結合三角形全等的性質即可求解；

（2）先證明，進而即可得到，再根據角平分線的判定即可求解；

（3）根據題意畫出∠CAB的角平分線，進而截取AE=AD即可求解。

24．【答案】（1）解：特例探究，

∵，

∴，

∴．

∵，∴．

在△ABP和△ACQ中，

∴．

∴，．

∴．

∴．

（2）解：歸納證明：結論成立．

證明：

∵，

∴，

∴．

∵，∴．

在△ABP和△ACQ中，

∴．

∴，．

∴．

∴．

（3）結論成立

（4）或

【知識點】三角形的面積；三角形全等及其性質；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）先求出，再利用全等三角形的判定方法求出，最后證明求解即可；

（2）根據題意先求出，再利用SAS證明，最后證明求解即可；

（3）根據（1）（2）所求，找出規(guī)律求解即可；

（4）結合圖形，利用三角形的面積公式計算求解即可。

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2023年浙教版數學八年級上冊1.5三角形全等的判定同步測試（培優(yōu)版）

一、選擇題（每題3分，共30分）

1．（2023八上·安次月考）如圖，工人師傅做了一個長方形窗框分別是四條邊上的中點，為使它穩(wěn)固，需要在窗框上釘一根木條，這根木條不能釘在（）

A．兩點之間B．兩點之間

C．兩點之間D．兩點之間

【答案】D

【知識點】三角形的穩(wěn)定性

【解析】【解答】解：A．若釘在E，H兩點之間構成了三角形，能固定窗框，故不符合題意；

B．若釘在A，C兩點之間能構成三角形，能固定窗框，故不符合題意；

C．若釘在F，E兩點之間能構成三角形，能固定窗框，故不符合題意；

D．若釘在E，G兩點之間不能構成三角形，不能固定窗框，故符合題意；

故答案為：D．

【分析】利用三角形的定義判斷求解即可。

2．（2023·福建）閱讀以下作圖步驟：

①在和上分別截取，使；②分別以為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；③作射線，連接，如圖所示．根據以上作圖，一定可以推得的結論是（）

A．且B．且

C．且D．且

【答案】A

【知識點】三角形全等的判定（SSS）

【解析】【解答】解：由作圖可得：CM=DM.

∵CM=DM，OC=OD，OM=OM，

∴△OCM≌△ODM（SSS），

∴∠1=∠2.

故答案為：A.

【分析】由作圖可得：CM=DM，OC=OD，利用SSS證明△OCM≌△ODM，據此判斷.

3．（2022八上·江岸開學考）如圖，中，，，三條角平分線、、交于，于下列結論：；；平分；其中正確的結論個數有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】C

【知識點】三角形內角和定理；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）；角平分線的定義

【解析】【解答】解：，

，

，

，，

，

故①正確；

于H，

，

，

，

，

，

，

故②正確；

，，

，

，

，

，，

，

，

，

，

故③錯誤；

如圖，在BC上截取BI=BF，連接OI，

，

，

，

，

在△OBI和△OBF中，

，

∴△OBI≌△OBF（SAS）

，

，

，

，

在△CIO與△CEO中，

，

∴△CIO≌△CEO（ASA）

，

，

故④正確.

故答案為：C.

【分析】易得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分線的概念可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，則∠OBC+∠OCB=60°，利用內角和定理求出∠BOC的度數，據此判斷①；根據余角的性質結合外角的性質可得∠DOH=90°-∠BAD-∠ABC，結合角平分線的概念以及內角和定理可得∠DOH=(∠ACB-∠ABC)，進而判斷②；易得∠ACB>60°，則∠ABC4．（2023八下·任丘期末）如圖，點E是△ABC內一點，∠AEB＝90°，AE平分∠BAC，D是邊AB的中點，延長線段DE交邊BC于點F，若AB＝6，EF＝1，則線段AC的長為（）

A．7B．C．8D．9

【答案】C

【知識點】三角形全等的判定（ASA）

【解析】【解答】解：延長BE交AC于H，

∵AE平分∠BAC，

∴∠HAE＝∠BAE，

∵∠AEB＝90°，

∴∠AEB＝∠AEH=90°，

在△HAE和△BAE中，

，

∴△HAE≌△BAE（ASA）

∴AH＝AB＝6，HE＝BE，

∵HE＝BE，AD＝DB，

∴DFAC，

∵HE＝BE，

∴HC＝2EF＝2，

∴AC＝AH＋HC＝8，

故答案為：C．

【分析】延長BE交AC于H，證明△HAE≌△BAE（ASA），根據全等三角形的性質求出AH，根據三角形中位線定理解答即可。

5．（2023八下·光明期中）如圖，中，分別是其角平分線和中線，過點C作于F，連接，則線段的長為（）

A．B．2C．D．3

【答案】B

【知識點】平行線的性質；三角形全等的判定（AAS）；角平分線的定義

【解析】【解答】解：如圖所示：

過點C作CM//AB，交AE的延長線于點M，交AD的延長線于點N，

∵CM//AB，

∴∠B=∠ECM，∠M=∠BAE，

∵BE=CE，

∴△ABE≌△MCE，

∴AB=CM=10，AE=EM，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AB//CM，

∴∠BAD=∠ANC，

∴∠ANC=∠CAD，

∴AC-CN-6，

∴MN=4，

∵AC=CN，CF⊥AD，

∴AF=FN，

∵AE=EM，

∴，

故答案為：B.

【分析】根據平行線的性質先求出∠B=∠ECM，∠M=∠BAE，再利用全等三角形的判定與性質，角平分線的定義計算求解即可。

6．（2023八下·西安月考）如圖，的角平分線，交于點，，的面積為16，四邊形的面積為5，則的面積為（）

A．5B．5.5C．6D．7

【答案】B

【知識點】三角形內角和定理；三角形全等的判定；角平分線的性質

【解析】【解答】解：過點P作于點F，過點P作于點G，過點P作于點H，如圖所示：

∵，為的角平分線，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

同理得：，

∴，，

∴，故B正確.

故答案為：B.

【分析】過點P作PF⊥BC于點F，過點P作PG⊥AC于點G，過點P作PH⊥AB于點H，由角平分線的性質可得PF=PG=PH，根據內角和定理可得∠ABC+∠ACB=120°，結合角平分線的概念可得∠PBF+∠PCF=(∠ABC+∠ACB)=60°，則∠BPC=120°，易得∠EPH=∠DPG，利用AAS證明△PEH≌△PDG，得到S△PEH=S△PDG，推出S四邊形AEPD=S四邊形AHPG=5，則S△PBH+S△PBF+S△PCF+S△PCG=S△ABC-S四邊形AHPG=11，利用HL證明△CPF≌△CPG，得到S△BPH=S△BPF，S△CPF=S△CPG，據此計算.

7．（2023·石家莊月考）對于直線L和直線L外的一點O，按下列步驟完成了尺規(guī)作圖：（1）在直線L的另一側取點M；（2）以O為圓心，為半徑作弧與L交于A，B兩點；（3）分別以A，B為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點C；（4）過點O和C作直線m．問題：“在直線m上任取一點P（點P不在L上），連接，，過點A作直線n與直線垂直，設是，直線n與所夾的銳角是，求x與y的數量關系．”下面是三個同學的答案，甲：，乙：，丙：．

對于三人的答案，下列結論正確的是（）

A．只有甲的答案正確B．甲和乙的答案合在一起才正確

C．甲和丙的答案合在一起才正確D．甲乙丙的答案合在一起才正確

【答案】D

【知識點】三角形內角和定理；三角形的外角性質；線段垂直平分線的性質

【解析】【解答】解：如圖所示：當點D在BP的延長線上時，

由作圖可知，直線m是線段AB的垂直平分線，

∵點P在直線m上，

∴PA=PB，∠ABP=∠BAP，

∴APD=180°-x°=∠ABP+∠BAP=2∠ABP=2∠BAP，

∴∠ABP=∠BAP=90°-，

∵直線n與直線PB垂直，

∴∠ADP=90°，

∴∠DAP+∠BAP+∠ABP=90°，

∴y°+90°-+90°-=90°，

∴x°-y°=90°，

即x-y=90，

當點D在線段PB上時，如下圖所示：

同理可得，x+y=90°，

故答案為：D.

【分析】分類討論，結合圖形，利用線段的垂直平分線，三角形內角和定理，三角形的外角的性質等計算求解即可。

8．（2023·濟寧）如圖，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，點均在小正方形方格的頂點上，線段交于點，若，則等于（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】平行線的性質；三角形全等及其性質；三角形全等的判定

【解析】【解答】解：如圖所示：

由題意得HE=DG=1，GC=HB=4，∠EHB=∠DGC=90°，

∴△EHB≌△DGC（SAS），

∴∠EBH=∠DCG，

∵DB∥GC，

∴∠DBA=∠BAC，

∵，

∴，

∴，

故答案為：C

【分析】先根據題意即可得到HE=DG=1，GC=HB=4，∠EHB=∠DGC=90°，進而根據三角形全等的判定與性質證明△EHB≌△DGC（SAS）即可得到∠EBH=∠DCG，再根據平行線的性質即可得到∠DBA=∠BAC，進而結合題意得到，再結合題意即可求解。

9．（2023七下·上海市期末）給定三角形的兩個元素，畫出的三角形的形狀和大小都是不能確定的，在下列給定的條件下，再增加一個“”的條件后，所畫出的三角形形狀和大小仍不能完全確定的是（）

A．，B．，

C．，D．，

【答案】A

【知識點】三角形全等的判定

【解析】【解答】解：A、已知兩邊AB、BC和其中BC的對角∠A，不能確定三角形ABC的形狀和大小，符合題意；

B、已知兩邊AB、AC和它們的夾角∠A，能確定三角形ABC的形狀和大小，不符合題意；

C、A、已知兩角∠A、∠C和其中∠C的對邊AB，能確定三角形ABC的形狀和大小，不符合題意；

A、已知三邊AB、BC和AC，能確定三角形ABC的形狀和大小，不符合題意；

故答案為：A.

【分析】根據三角形全等的判定條件，進行判斷即可。

10．（2022·葉縣期末）樂樂所在的七年級某班學生到野外活動，為測量池塘兩端，的距離，樂樂、明明、聰聰三位同學分別設計出如下幾種方案：

樂樂：如圖，先在平地取一個可直接到達，的點，再連接，，并分別延長至，至，使，，最后測出的長即為，的距離．

明明：如圖，先過點作的垂線，再在上取，兩點，使，接著過點作的垂線，交的延長線于點，則測出的長即為，的距離．

聰聰：如圖，過點作，再由點觀測，在的延長線上取一點，使這時只要測出的長即為，的距離．

以上三位同學所設計的方案中可行的是()

A．樂樂和明明B．樂樂和聰聰

C．明明和聰聰D．三人的方案都可行

【答案】D

【知識點】全等三角形的應用

【解析】【解答】解：∵DC=AC，EC=BC，∠DCE=∠ACB，

∴△ABC≌△DEC（SAS），

∴AB=DE，故樂樂的方案可行.

∵AB⊥BF，DE⊥BF，

∴∠ABC=90°，∠EDC=90°.

∵∠ABC=∠EDC，BC=CD，∠ACB=∠ECD，

∴△ABC≌△EDC（ASA），

∴AB=ED，故明明的方案可行.

∵BD⊥AB，

∴∠ABD=∠CBD.

∵∠ABD=∠CBD，BD=BD，∠BDC=∠BDA，

∴△ABD≌△CBD（ASA），

∴AB=BC，故聰聰的方案可行.

故答案為：D.

【分析】利用全等三角形的判定定理以及性質進行判斷即可.

二、填空題（每空4分，共24分）

11．如圖，已知D是△ABC的邊BC上一點，且，，AE是△ABD的中線，若，則．

【答案】

【知識點】三角形內角和定理；三角形的外角性質；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：延長AE到F，使EF=AE，連接DF

∵BE=DE，∠AEB=∠FED，AE=EF，

∴△ABE≌△FDE（SAS），

∴AB=DF，∠B=∠FDE.

∵CD=AB，

∴CD=DF.

∵∠BAD+∠B=90°，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，

∴∠B+∠ADB=90°，

∴∠BAD=∠BDA.

∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADF=∠FDE+∠BDA，∠BAD=∠BDA，

∴∠ADC=∠ADF.

又∵AD=AD，CD=DF，∠ADC=∠ADF，

∴△ADC≌△ADF（SAS），

∴AC=AF=AE+EF=2AE.

∵AE=，

∴AC=2AE=.

故答案為：.

【分析】延長AE到F，使EF=AE，連接DF，利用SAS證明⊿ABE≌⊿FDE，得到AB=DF，∠B=∠FDE，由已知條件可知CD=AB，則CD=DF，根據∠BAD+∠B=90°結合內角和定理可得∠B+∠ADB=90°，則∠BAD=∠BDA，由外角的性質可得∠ADC=∠B+∠BAD，根據角的和差關系可得∠ADF=∠FDE+∠BDA，進而推出∠ADC=∠ADF，利用SAS證明△ADC≌△ADF，得到AC=AF=AE+EF=2AE，據此計算.

12．（2023七下·泰山期末）如圖，在銳角中，，、為的角平分線．且、交于點，連接．有下列四個結論：①；②；③；④．其中結論正確的序號是．

【答案】①③④

【知識點】三角形的面積；三角形內角和定理；三角形全等及其性質；三角形全等的判定；角平分線的性質

【解析】【解答】解：①∵BE、CD為△ABC的角平分線，∴∴，又∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-60°=120°，∴∠FBC+∠FCB=60°∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=180°-60°=120°，所以①正確；

③如圖3所示，在BC上截取BG=BD，在△BDF和△BGF中，BD=BG，∠DBF=∠GBF，BF=BF，∴△BDF≌△BGF，∴∠BFD=∠BFG，又∠BFD=180°-∠BFC=180°-120°=60°，∴∠BFG=60°，∴∠CFG=∠BFC-∠BFG=120°-60°=60°，又∠CFE=∠BFD=60°，∴∠CFG=∠CFE，又CF=CF，∠FCG=∠FCE，∴△CFG≌△CFE，∴CG=CE，∵BC=BG+CG

∴BC=BD+CE，所以③正確；

④已知點F是角平分線的交點，所以點F到各條邊的距離相等，設點F到邊的距離為h，則，，∴，由③知BC=BD+CE，∴，∴，所以④正確；

②假設BD=CE成立，由③知BC=BD+CE=2BD=2BG，即點G是BC的中點，又∠BFG=∠CFG，FG=FG，∴△BFG≌△CFG，∴∠FBG=∠FCG，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形，又∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，但已知△ABC并沒有說是等邊三角形，所以②結論不正確。綜上，①③④正確。

故第1空答案為：①③④.

圖3

【分析】根據角平分線的定義及三角形內角和可判定①正確；由反證法可說明②不正確；通過證明三角形全等可證得③結論正確；根據角平分線的性質可知點F到三邊的距離相等，可得④正確，故可得出答案。

13．如圖，在中，點O是和的平分線的交點，點D是BC延長線上的點，和的平分線交于點E，，則的度數為．（用含的式子表示）

【答案】

【知識點】三角形的外角性質；角平分線的性質

【解析】【解答】解：∵∠A=α，

∴∠ABC+∠ACB=180°-α

又∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB

∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB

∴2∠OBC+2∠OCB=180°-α

∴

∴

∵BE平分∠OBC，CE平分∠OCD

∴，

∴

∴

故答案為.

【分析】要求∠E的度數，我們可以利用△BEC的外角∠ECD，因為∠E=∠ECD-∠EBC.而根據BE和CE分別是∠OBC和∠OCD的角平分線的性質，，，所以，即只要求出∠O的度數即可.利用∠A=α，利用三角形內角和為180°，得到∠ABC和∠ACB的度數和180°-α，OB和OC是∠ABC和∠ACB的角平分線，得到∠OBC和∠OCB的度數和，進而得到∠O的值，回代至即可.

14．（2022八上·奎文期中）如圖，已知三內角的角平分線交于點D，三邊的垂直平分線交于點E，若，則度．

【答案】160

【知識點】角的運算；三角形內角和定理；線段垂直平分線的性質

【解析】【解答】解：如圖1，連接，

∵在中，，

∴．

∵三內角的角平分線交于點D，

∴平分，

∴，

同理可得，，，

∵在中，

，

又∵，，，

∴，

∵，

∴．

如圖2，連接，

∵三邊的垂直平分線交于點E，

∴，

∴，，，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

即，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∵

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴在中，

．

故答案為：160．

【分析】利用角平分線的性質，垂直平分線的性質和三角形的內角和求解即可。

15．（2023八上·江津期中）在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是△ABC的外角∠ACD和∠ABC的平分線交于點E，則∠AEB＝

【答案】25

【知識點】三角形內角和定理；三角形的外角性質；角平分線的性質；角平分線的定義

【解析】【解答】解：如圖示：

過點，分別作交于點，交于點，，交延長線于點，

∵平分，平分，

∴，，

∴，

∴平分，

∵，，

∴，

∴，

∵平分，

∴

在和中，

∴，

故答案為：25.

【分析】過點E，分別作EF⊥BD于點E，EG⊥AC于點G，EH⊥AB交AB延長線于點H，由角平分線上的點到角兩邊的距離相等得EH=EF=EG，根據三角形外角的性質得∠HAC=∠ABC+∠ACB=112°，由角平分線的定義得∠EAO=∠HAC，∠EBC=∠ABC，在△AOE和△BOC中，由∠AEB=∠OBC+∠OCB-∠OAE即可求解.

16．（2023八上·建華期末）如圖，已知中，，，，作AC的垂直平分線交AB于點、交AC于點，連接，得到第一條線段；作的垂直平分線交AB于點、交AC于點，連接，得到第二條線段；作的垂直平分線交AB于點、交于點，連接，得到第三條線段；……，如此作下去，則第n條線段的長為．

【答案】或

【知識點】線段垂直平分線的性質

【解析】【解答】解：∵，，，

∴，

∵垂直平分AC，

∴，

∴，

∴，

同理，

，

可得第n條線段的長為：或.

故答案為：或.

【分析】先求出，再求出，最后找出規(guī)律求解即可。

三、解答題（共8題，共66分）

17．（2023八上·巴東期末）

（1）如圖，AE是∠MAD的平分線，點C是AE上一點，點B是AM上一點，在AD上求作一點P，使得△ABC≌△APC，請保留清晰的作圖痕跡.

（2）如圖a，在△ABC中,∠ACB=90°，∠A=60°，BE、CF分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，CF與BE相交于點O.請?zhí)骄烤€段BC、BF、CE之間的關系，直接寫出結論，不要求證明.

（3）如圖b，若（2）中∠ACB為任意角，其它條件不變，請?zhí)骄緽C、BF、CE之間又有怎樣的關系，請證明你的結論.

【答案】（1）解：以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧交AD于一點，則此點為所要求的點P.

（2）解：線段BC、BF、CE之間的關系為：BC=BF+CE.

在BC上截取BD=BF.

在△BFO和△BDO中

∴△BFO≌△BDO

∴∠BOF=∠BOD

∵∠A=60°，BE、CF分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，CF與BE相交于點O.

∴∠BOC=180°－∠ABC－∠ACB=180°－60°=120°

∴∠BOD=∠BOF=∠COE=180°－120°=60°.

∠COD=∠BOC－∠BOD=120°－60°=60°

在△COE和△COD中

∴△COE≌△COD

∴CE=CD

∴BC=BF+CE.

（3）解：線段BC、BF、CE之間的關系為：BC=BF+CE.

在BC上截取BF'=BF.

在△BFO和△BF'O中

∴△BFO≌△BF'O

∴∠BOF=∠BOF'

∵∠A=60°，BE、CF分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，CF與BE相交于點O.

∴∠BOC=180°－∠ABC－∠ACB=180°－60°=120°

∴∠BOF'=∠BOF=∠COE=180°-120°=60°.

∠COF'=∠BOC－∠BOF'=120°-60°=60°

在△COE和△COF'中

∴△COE≌△COF'

∴CE=CF'

∴BC=BF+CE.

【知識點】全等三角形的判定與性質

【解析】【分析】（1）以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧交AD于一點即可；（2）在BC上截取BD=BF，首先證明△BFO≌△BDO，創(chuàng)造條件證明△COE≌△COD即可；（3）在BC上截取BF'=BF，首先證明△BFO≌△BF'O，創(chuàng)造條件證明△COE≌△COF'即可.

18．要使四邊形木架（用四根木條釘成）不變形，至少要再釘上幾根木條？五邊形木架和六邊形木架呢？n邊形木架呢？

【答案】解：四邊形木架，至少要再釘上1根木條，使四邊形變成兩個三角形；

五邊形木架，至少要再釘上2根木條，使五邊形變成3個三角形；

六邊形木架，至少要再釘上3根木條，使六邊形變成4個三角形；

n邊形木架，至少要再釘上（n﹣3）根木條，使多邊形變成（n﹣2）個三角形

【知識點】三角形的穩(wěn)定性

【解析】【分析】根據三角形具有穩(wěn)定性，主要是應用了三角形的穩(wěn)定性，四邊形木架，至少要再釘上1根木條；五邊形木架，至少要再釘上2根木條；六邊形木架，至少要再釘上3根木條；n邊形木架，至少要再釘上（n﹣3）根木條.

19．（2022·前進模擬）已知：AD是△ABC的角平分線，點E為直線BC上一點，BD=DE，過點E作EF∥AB交直線AC于點F，當點F在邊AC的延長線上時，如圖①易證AF+EF=AB；當點F在邊AC上，如圖②；當點F在邊AC的延長線上，AD是△ABC的外角平分線時，如圖3．寫出AF、EF與AB的數量關系，并對圖②進行證明．

【答案】解：當點F在邊AC的延長線上時，延長EF、AD相交于點G，如圖：

∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠BAD=∠CAD，

∵EF∥AB，

∴∠BAD=∠G，∠B=∠E，

∴∠CAD=∠G，

∴FA=FG，

在△ABD和△GED中，，

∴△ABD≌△GED(AAS)，

∴AB=EG，

∴AF+EF=FG+EF=EG=AB；

當點F在邊AC上，延長FE、AD相交于點H，如圖：

∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠BAD=∠CAD，

∵EF∥AB，

∴∠BAD=∠H，∠B=∠DEH，

∴∠CAD=∠H，

∴FA=FH，

在△ABD和△HED中，，

∴△ABD≌△HED(AAS)，

∴AB=EH，

∴AF-EF=FH-EF=EH=AB；

當點F在邊AC的延長線上，AD是△ABC的外角平分線時，如圖：

延長AD交EF于點I，

∵AD是△ABC的外角平分線，

∴∠JAD=∠CAD，

∵EF∥AB，

∴∠JAD=∠AIF，∠B=∠E，

∴∠CAD=∠AIF，

∴FA=FI，

在△ABD和△IED中，，

∴△ABD≌△IED(SAS)，

∴AB=EI，

∴EF-AF=EF-IF=EI=AB．

【知識點】三角形全等的判定

【解析】【分析】利用三角形的全等判定方法和性質求解即可。

20．（2023八上·臺安月考）如圖，四邊形中，，，，M、N分別為AB、AD上的動點，且．求證：．

【答案】證明：延長至點，使得，連接，

四邊形中，，，

，

在和中，

，

，

，，

，，

，

，

在和中，

，

，

．

【知識點】三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】延長至點，使得，連接，根據同校的補角相等得出，根據SAS證明，則，，進而證明，根據SAS證明，得出ME=MN，則．

21．如圖（1），，，垂足分別為、，點在線段上以的速度由點向點運動，同時點在射線上運動．它們運動的時間為當點運動結束時，點運動隨之結束．

（1）AP，用含的代數式表示；

（2