矩陣可逆的等價命題

矩陣可逆的等價命題

矩陣是高等代數(shù)課程的核心概念和研究對象之一，它貫穿整個課程的整個過程。在矩陣中，矩陣是核心的范疇之一，也是最相關(guān)理論的范疇。矩陣有兩個典型的矩陣，即加法和乘法。從對稱的角度來看，教育法的對稱中心是一個零矩陣，而負矩陣是中心的對稱矩陣。矩陣的存在是無條件的。與加法一樣，從對稱的角度來看，乘法的對稱中心是一個單位矩陣，而可逆矩陣是矩陣中的對稱矩陣。然而，并非所有的矩陣都有對稱的矩陣，即對稱矩陣的存在是有條件的。對矩陣可逆判定的等價性命題進行總結(jié)，可以揭示矩陣與各個章節(jié)中核心概念之間的緊密聯(lián)系，也可以更好地展現(xiàn)出理論和結(jié)論的相互印證和證明，相互補足和呼應(yīng).對這些充要條件的集中梳理，可以貫通各章節(jié)的知識點，有利于培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維，幫助學生拓展解決問題的思路，提高學生綜合解決問題的能力.設(shè)P是一個數(shù)域1可逆矩陣與相關(guān)條件在高等代數(shù)或者線性代數(shù)課程中，與矩陣本身密切相關(guān)的概念有轉(zhuǎn)置矩陣、伴隨矩陣、行列式、矩陣的秩、矩陣的特征值C1.A可逆當且僅當存在矩陣B，使得AB=E（或者BA=E).C2.A可逆當且僅當A的行列式|A|≠0.C3.A可逆當且僅當矩陣AC4.A可逆當且僅當矩陣AC5.A可逆當且僅當A的秩r(A)=n.C6.A可逆當且僅當對于可逆矩陣M,AM（或者MA）也可逆.C7.A可逆當且僅當A的特征值不等于零.在這里，前兩個充要條件是由可逆矩陣定義和求逆矩陣的伴隨矩陣法而得來，是可逆矩陣定義的簡化而來的判定條件.條件C2是判斷矩陣可逆的最為直接和常用的途徑.條件C3和C4說明了一個方陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣和伴隨矩陣同為和同不為可逆矩陣.秩和特征值是矩陣重要的不變量，條件C5和C7反映了這些重要不變量與矩陣可逆性之間的關(guān)系.有時候不易證明矩陣A可逆，但是A作為矩陣AM的因子，而AM更易于證明為一個可逆矩陣，可以利用條件C6，從而達到目的.請看下面兩個例子：例1設(shè)B為實反對稱矩陣，即B證為了證明E+B為可逆矩陣，只需要證明（E+B)(E+B)例2設(shè)B為n級矩陣，且有B證由B2可逆矩陣與矩陣a可逆矩陣矩陣的概念是由坐標向量推廣而來的.即矩陣A是由它的n個行向量αC8.矩陣A可逆當且僅當行向量組αC9.矩陣A可逆當且僅當列向量組βC10.矩陣A可逆當且僅當行向量組的秩r（αC11.矩陣A可逆當且僅當列向量組的秩r（βC12.設(shè)η實際上，條件C8和C9常常被利用來判斷n個n維向量是否線性相關(guān)，也就是把它們作為行向量或者列向量組裝成方陣，通過方陣是否可逆來判斷.在高等代數(shù)課程中，有的教材通過向量組的秩來定義矩陣的秩3可逆矩陣t考慮線性方程組的兩個重要表達方式，矩陣的乘法表達式AX=β，和向量的表達式xC13.A可逆當且僅當齊次線性方程組AX=0只有零解.C14.A可逆當且僅當xC15.A可逆當且僅當存在一個向量β∈PC16.A可逆當且僅當存在一個向量β∈PC17.A可逆當且僅當對于任意一個向量β∈PC18.A可逆當且僅當對于任意一個向量β∈PC19.A可逆當且僅當對于任意一個向量β∈PC20.A可逆當且僅當對于任意一個向量β∈P線性方程組的解存在3種情形：無解、唯一解、無窮解.一般教材上從向量的角度證明這3種情形所對應(yīng)的充要條件，最終用矩陣語言給以回答.當線性方程組有n個未知量和n個方程時，其系數(shù)矩陣為方陣.此時，解是否唯一就與系數(shù)矩陣的是否可逆相連.條件C17包含了克萊姆（Cramer）法則4第二階段：第2階段矩陣的初等變換就是一個算法，利用它可以解決很多問題.例如求矩陣的秩、求方陣的行列式、解線性方程組、求逆矩陣、化對稱矩陣為對角矩陣等.一般地，矩陣的初等變換分為3個階段：對一個矩陣先進行初等行變換，變成行階梯形，此為變換的第1階段；再通過初等行變換變成行最簡形，此為第2階段；之后，再通過初等列變換變成矩陣的標準形，此為第3階段，初等變換也到此結(jié)束.對一個矩陣進行一次初等變換相當于對其乘上一個相應(yīng)的初等矩陣.在矩陣初等變換的過程中，可以判定一個方陣是否可逆.因此有如下8個充要條件.C21.A可逆當且僅當A經(jīng)過任意有限次初等變換得到的仍是可逆矩陣.C22.A可逆當且僅當A的行階梯形矩陣沒有零行.C23.A可逆當且僅當A的行最簡形矩陣為單位矩陣.C24.A可逆當且僅當只用行變換可以把A化成單位矩陣.C25.A可逆當且僅當只用列變換可以把A化成單位矩陣.C26.A可逆當且僅當A的標準形矩陣為單位矩陣.C27.A可逆當且僅當A與單位矩陣等價.C28.A可逆當且僅當A可以表示為初等矩陣的乘積.矩陣的初等變換和矩陣乘法相連.矩陣乘法中矩陣是否可逆從對稱的角度看，是其對稱元存在與否的問題.可逆矩陣在初等變換中有其特殊之處，這些特殊個性就反映了可逆矩陣的本質(zhì)特征.5可逆矩陣與線性空間有限維線性空間是坐標向量空間的一般化和抽象化.然而，在同構(gòu)意義下數(shù)域P上的n維線性空間只有一個，就是PC29.A可逆當且僅當αC30.A可逆當且僅當βC31.A可逆當且僅當σ是可逆的.C32.A可逆當且僅當σ是一個單射變換.C33.A可逆當且僅當σ是一個滿射變換.C34.A可逆當且僅當σ是一個雙射變換.C35.A可逆當且僅當σ的像空間σ（PC36.A可逆當且僅當σ的核空間kerσ是零空間.線性空間上的線性變換的定義是抽象的6逆的充要條件as+s當談到歐式空間和實二次型，在實數(shù)范圍內(nèi)考慮問題.作為一個矩陣是否可逆的問題，實矩陣有其獨特的充要條件.下面有4個關(guān)于實矩陣可逆的充要條件.C37.A為實可逆矩陣當且僅當AAC38.A為實可逆矩陣當且僅當A=QT，其中Q為正交矩陣，T為上三角形矩陣，且主對角線元素均為正值.C39.A為實可逆矩陣當且僅當存在正定矩陣P和正交矩陣U使得A=PU.C40.A為實對稱可逆矩陣當且僅當存在實方陣S使得AS+S這4個充要條件來自教材中的習題.其中C38和C39可分別參見參考文獻證如果A為實對稱可逆矩陣，取S=A7可逆矩陣與知識脈絡(luò)本文對高等代數(shù)課程中可逆矩陣判定的充要條件進行了詳細的總結(jié).可以看到矩陣的可逆性緊密聯(lián)