2020版53b數(shù)學6 2等差數(shù)列

§６.２等差數(shù)列

第六章數(shù) １.一般地?如果一個數(shù)列從第二項起?每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)?那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列?這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差?通常用字母ｄ表示.

對應學生起始頁碼若ａｎ?ｂｎ是等差數(shù)列?則ｐａｎ＋ｑｂｎｐ?ｑ是常數(shù)仍是若ａｎ是等差數(shù)列?公差為ｄ?則ａｋ?ａｋ＋ｍ?ａｋ＋２ｍ?ｋ?∈Ｎｍｄ的等差數(shù)列２.通項如果等差數(shù)列

的首項為ａ１?公差為ｄ?那么它的通項

若

ｎ是等差數(shù)列? 也是等差數(shù)ｎ１１１ａ３.等差中項ａ

ａ的首項相同?公差是ａ的公差的. 如果

?ａｂ的等差中項２

Ｓｍ?Ｓ２ｍ?Ｓ３ｍ分別為ａｎｍ項?２ｍ項?３ｍ項的和?Ｓｍ?ｍＳｍ?ＳｍＳｍ成等差數(shù)列. (３)４.ｎ設等差數(shù)列ａｎ的公差為ｄ?則其前ｎ項和Ｓｎ

①若項數(shù)為２ｎ?則 Ｓ＝ｎｄ?Ｓ奇 Ｓ

ａｎ２或Ｓｎ＝ｎａ１２

ｎ(ｎ１)

②２ｎ１?Ｓ偶＝ｎａｎ?Ｓ奇＝ｎａｎ?Ｓ奇Ｓ偶＝ａｎＳ＝ｎＳ偶ｎ若兩個等差數(shù)列{ａｎｂｎｎ項和分別為ＳｎＴｎ則ａｎ＝Ｓ２ｎ１(１)通 的推廣:ａｎ＝ａｍ＋(ｎｍ)ｄ(ｎ?ｍ∈Ｎ?

ｂｎＴ２ｎ等差數(shù)列ａｎｎＳｎ的最值＋ａｌ＝ａｍ＋ａｎ

是等差數(shù)列?且ｋ＋ｌ＝ｍ＋ｎ(ｋ?ｌ?ｍ?ｎ∈)?則 ①若ａ１>０?ｄ<０?則從首項到最后一個非負項的和最大②若ａ１<０?ｄ>０?則從首項到最后一個非正項的和最小若ａｎ是等差數(shù)列?公差為ｄ?則ａ２ｎ也是等差數(shù)列?公差為２ｄ.

③０?Ｓｎｎ值

對應學 起始頁碼①利用等差數(shù)列的定義證明?即證明ａｎ＋１ａｎ＝ｄｄ為常數(shù)ｎ∈Ｎ)

ｂ１＝ａ２ａ１＝所以ｂｎ１?２的等差數(shù)列由ｂｎ＝１＋ｎ②利用等差中項證明?即證明ａｎ＋２＋ａｎ＝２ａｎ＋１(ｎ∈Ｎ 即ａｎ＋１ａｎ＝２ｎ ∑∑解選擇題填空題時?可用通項法或前ｎ項和法直接∑∑

ｋ＝

(２ｋｋ＝①通項法:若數(shù)列{ａｎ的通 ａｎ＝Ａｎ＋Ｂ(Ａ?Ｂ為 所以ａｎ＋１ａ１＝ｎ２?即ａｎ＋１＝ｎ２＋ａ１ ａ數(shù))?則{ａｎ是等差數(shù)列 又ａ１＝１?所以{ａｎ的通項為ａｎ＝ ａ②ｎ項和法:若數(shù)列

的前ｎ項和

＝Ａｎ２＋Ｂｎ(Ａ?Ｂ

設數(shù)列{ 的前ｎ項和為Ｓ?已知Ｓ＝ 常數(shù)?則ａｎ是等差數(shù)列

Ｎ?１

的值?

ｎ是等差數(shù)列續(xù)３項如前三項不成等差數(shù)列即可

解析Ｓ１＝

２２ａ１＝數(shù)列{ａ滿足ａ＝１?ａ＝２? ＝ ａ 由Ｓｎ＝２ａｎ２ｎ１?得 ＝ ２(ｎ≥２)ｎ ｎｎ (１)設ｂｎ＝ａｎ＋１ａｎ?證明{ｂｎ是等差數(shù)列 兩式相減?得ａｎ＝２ａｎ２ａｎ１２ｎ(ｎ≥２)

＝ 解析(１)證明:由ａｎ＋＝２ａ＋ａ＋２得? 即ａｎ２ａｎ１ ｎ１ ａｎ＋２ａｎ＋１＝ａｎ＋１ａｎ＋２ 即ｂｎ＋１＝ｂｎ

２(ｎ≥２)?于是ｎｎ

ｎ１＝１(ｎ≥２). 又２１＝２＝２６４５年高考３年模 Ｂ版(ｎ２?１ｎ２?１的等差數(shù)列

數(shù)列為首項為公差的等差數(shù)列

２

(２)由(１)知

＝

(ｎ１)＝

?即ａ 已知數(shù)列{ａｎ滿足ａ１＝２?且ａｎ＋１＝２＋ａ ｎ(１)求證:數(shù)列１是等差數(shù)列

∴ｂ ＝４ １ｎ ｎ (ｎ３)(ｎ ｎ３ｎ (２)若ｂｎ＝ａｎａｎ＋１?求數(shù)列{ｂｎ的前ｎ項和Ｓｎ Ｓｎ＝４ １＋ ｎ解析(１)證明 ａｎ≠０?∵ａｎ＋１＝２＋ａ ＝４ １＝ｎｎ∴１＝

１１＝１??

４ 又ａ

１ｎ?

若Ｓｎ＝２４２?求１列的計算和證明都可圍繞ａ１ｄ進行. 對于等差數(shù)列問題?一般給出兩個條件就可以列方程

解析設數(shù)列ａｎａｎ＝ａ１＋ｎｄ?ａ１０＝３０?ａ２０＝５０(組)求出ａ?ｄ.如果再給出第三個條件?(組)求出ａ?ｄ.如果再給出第三個條件?就可以完成ａ?ａ?ｄ?ｎ 得方程組ａ＋１９ｄ＝５０１

ｎ ａ１＝１２(２０１６?１２?５分)已知{ａｎ為等差數(shù)列?Ｓｎ為其前ｎ項和.若ａ１＝６?ａ３＋ａ＝０?則Ｓ６ 解析設等差數(shù)列ａｎｄ?∵ａ１＝６?ａ＋ａ＝０

解ａｎ＝ｎ(ｎ∴６＋２ｄ＋６＋４ｄ＝０?∴ｄ＝２?∴Ｓ＝６×６＋６×５×(＝

２ｄ?且Ｓ＝ｎ２４２ ２答案２

得１２ｎｎｎ１)×２＝２４２?即ｎ２＋１１ｎ２４２＝０＝

等差數(shù)列{ａｎ的前ｎ項和記為Ｓｎ.已知ａ１０＝３０? 解得ｎ＝１１(ｎ＝２２舍去ａｎ

ａ≥０

三、等差數(shù)列前ｎ(１)若ａ>０?ｄ<０?且滿 則前ｎ項和１１最大 (１)若ａ>０?ｄ<０?且滿 則前ｎ項和１１

ａ<０

ａ１≤０ ?若 且滿足?

≥０

項和ｎ最 解得６.５≤ｎ≤７.５.因為∈Ｎ二次函數(shù)法?將ａｎｎＳｎ關于ｎ的二次函數(shù)最值問題?利用二次函數(shù)的圖象或配方法求解?注ｎ∈Ｎ.等差數(shù)列ａｎ中?Ｓｎｎ項和?ｄ?ａ１

所以當ｎ＝７時?Ｓｎ最大解法三:由Ｓ３＝Ｓ１１?得２ａ１＋１３ｄ＝０即ａ１＋６ｄ)＋ａ１＋７ｄ＝０ａ＋ａ＝０>０?Ｓ３＝Ｓ１１?則當ｎ為多少時?

又由

８?Ｓ＝Ｓ可知ｄ<０?所以ａ>０?ａ<０ 所以 時?ｎ最解析解法一:由Ｓ＝Ｓ?得３ａ ｄ＝ 所以 時?ｎ最 在等差數(shù)列ａｎ中?已知ａ１＝２０?其前ｎ項和為Ｓｎｄ

ａ.從而

ｎ２＋

ｎ １(ｎ７)２

ａ 且

取得最大值?并求出它的最大值１３

因為ａ１>０?

解析設等差數(shù)列ａｎ解法一:∵ａ１＝×０?Ｓ１０＝Ｓ１ 故當ｎ＝７時?Ｓ最大 ∴１０×２０＋１０９ｄ＝ ｄ?∴ｄ

最大?則 ａｎ＋１≤０

１３

∴ａｎ＝２０＋(ｎ１)×３＝３ｎ＋３∴ａ１３＝０?ｎ≤１２時?ａｎ>０?ｎ≥１４時?ａｎ∴ｎ＝１２１３