福師 《近世代數(shù)》期末試卷A試題 - 參考資料_第1頁
福師 《近世代數(shù)》期末試卷A試題 - 參考資料_第2頁
福師 《近世代數(shù)》期末試卷A試題 - 參考資料_第3頁
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福師《近世代數(shù)》期末試卷A試題-參考資料1.判斷題：2.群中指數(shù)為2的子群一定是正規(guī)子群。（√）3.已知H是有限群G的子群，|G|和|H|分別表示G和H的元素個數(shù)，則|H|不一定能整除|G|。（√）4.數(shù)域上的全矩陣環(huán)不是單環(huán)。（×）5.環(huán)中理想的乘積還是理想。（√）二、計算證明題1.設(shè)Z是整數(shù)集，規(guī)定a?b=a+b-3，證明：Z關(guān)于所定義的運算構(gòu)成交換群。解：（1）對于任意的a,b∈Z，a?b=a+b-3∈Z，因此“?”在Z上構(gòu)成代數(shù)運算；（2）對于任意的a,b,c∈Z，有(a?b)?c=a+b+c-6，a?(b?c)=a+b+c-6，因此(a?b)?c=a?(b?c)，滿足結(jié)合律；（3）對于任意的a,b∈Z，有a?b=a+b-3=b?a，滿足交換律；（4）對于任意的a∈Z，有a?3=a+3-3=a，因此3是單位元；（5）對于任意的a∈Z，令6-a∈Z，則a?(6-a)=a+6-a-3=3，因此6-a是a的逆元；綜上所述，Z關(guān)于“?”構(gòu)成交換群。2.在四元對稱群S4中，設(shè)α=(12)(34)，β=(1234)。（1）寫出βα^-1^-1的輪換分解式。解：βα^-1^-1=βα^-1β^-1=(1234)(21)(34)=(14)(23)（2）設(shè)集合Tα={γαγ|γ∈S4}，試寫出Tα中全部元素（用輪換分解式表示）。解：Tα={(),(13),(14),(23),(124)(123)(234)}其中，()表示恒等置換。3.有一隊士兵，三三數(shù)余二，五五數(shù)余一，七七數(shù)余三。問：這隊士兵有多少人？試求最小正整數(shù)解。解：設(shè)這隊士兵有m人，則有以下方程組：m≡2(mod3)m≡1(mod5)m≡3(mod7)由中國剩余定理可知，該方程組的解為：m≡2×5×2+1×3×3+3×3×5(mod3×5×7)即m≡101(mod105)因此，這隊士兵最少有101人。4.求出剩余類環(huán)8的所有理想和所有極大理想。解：剩余類環(huán)Z/8Z中的所有理想為{0},{

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