二次曲線的直徑

(1)（2）的交點(diǎn).與過點(diǎn)且具有方向的直線§5.4二次曲線的直徑1.二次曲線的直徑

在§5.1中我們已經(jīng)討論了直線與二次曲線相交的各種情況，當(dāng)直線平行于二次曲線的某一非漸近方向時，這條直線與二次曲線總交于兩點(diǎn)(兩個不同實(shí)的，兩重合實(shí)的或一對共軛虛的),這兩點(diǎn)決定了二次曲線的一條弦.現(xiàn)在我們來研究二次曲線上一族平行弦的中點(diǎn)軌跡.

求二次曲線的一族平行弦的中點(diǎn)軌跡.即，解而是平行于方向的弦的中點(diǎn)，設(shè)是二次曲線的一個非漸近方向，那么過的弦的方程為它與二次曲線的兩交點(diǎn)(即弦的兩端點(diǎn))由下列二次方程(1)從而有(5.4-1)兩根與所決定,因?yàn)闉橄业闹悬c(diǎn)，所以有這就是說平行于方向的弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程即(5.4-2)或上列方程的一次項系數(shù)不能全為零，這時因?yàn)槿魟t一條直線.(5.4-3)所以(5.4-3)或(5.4-1)是一個二元一次方程，它是反過來，這與是非漸近方向的假設(shè)矛盾，(5.4-1)定理5.4.1二次曲線的一族平行弦的中點(diǎn)軌跡是一條直線.如果點(diǎn)滿足方程(5.4-1)(5.4-1)那么方程(1)中將有絕對值相等而符號相反的兩個根，(1)點(diǎn)就是具有方向的弦的中點(diǎn)，因此方程(5.4-1)為一族平行于某一非漸近方向的弦的中點(diǎn)軌跡方程.得到了結(jié)論－－定理！下面引進(jìn)二次曲線直徑的概念定義5.4.1

二次曲線的平行弦中點(diǎn)的軌跡叫做這個二次曲線的直徑，它所對應(yīng)的平行弦，叫做共軛于這條直徑的共軛弦；而直徑也叫做共軛于平行弦方向的直徑.（5.4-4）有多少條直徑?推論

如果二次曲線的一族平行弦的斜率為，那么共軛于這族平行弦的直徑方程是中心與非中心二次曲線的直徑1.中心二次曲線中心滿足:(2)(3)直徑方程:所以,直徑過中心.所有直徑都過中心1.非中心二次曲線非中心二次曲線滿足(2)(3)又分兩種情形或無心曲線：直徑平行漸近方向因直徑方程:方向矢量容易驗(yàn)證是漸近方向;因?yàn)榇藭r：線心曲線：直徑就是其中心直線可以化為因?yàn)橹睆椒匠袒蚨ɡ?.4.2

中心二次曲線的直徑通過曲線中心，無心二次曲線的直徑平行于曲線的漸近方向,線心二次曲線的直徑只有一條,就是曲線的中心直線.

因此當(dāng)，即二次曲線為中心曲線時,它的全部直徑屬于一個中心直線束，這個直線束的中心就是二次曲線的中心；

當(dāng)，即二次曲線為無心曲線時，直徑屬于一個平行線束；例1求橢圓或雙曲線的直徑.解(5.4-1)顯然，直徑通過曲線的中心根據(jù)(5.4-1),共軛于非漸近方向的直徑方程是例2解求拋物線的直徑.所以共軛于非漸近方向的直徑為即所以拋物線的直徑平行于它的漸近方向(5.4-1)解直徑方程為即例3求二次曲線的共軛于非漸近方向的直徑.因?yàn)橐阎€的漸近方向?yàn)樗詫τ诜菨u近方向一定有2.共軛方向與共軛直徑所以有其中(4)我們把二次曲線的與非漸近方向共軛的直徑方向叫做非漸近方向的共軛方向，因此曲線的共軛于非漸近方向的直徑為因此有所以另外又有，因此得以下結(jié)論因?yàn)闉榉菨u近方向，這就是說，中心二次曲線的非漸近方向的共軛方向仍然是非漸近方向，而在非中心二次曲線的情形是漸近方向.(5.4-5)非漸近方向當(dāng)即二次曲線為中心曲線時，；當(dāng)即二次曲線為非中心曲線時，從(5.4-5)式看出，兩個方向與是對稱的，因此對中心曲線來說，非漸近方向的共軛方向?yàn)?，而的共軛方向就?/p>

由(4)得二次曲線的非漸近方向與它的共軛方向之間的關(guān)系(4)

中心曲線的一對具有相互共軛方向的直徑叫做一對共軛直徑.定義5.4.2設(shè)代入(5.4-5)，得(5.4-6)這就是一對共軛直徑的斜率滿足的關(guān)系式.(5.4-5)即(5.4-7)有著關(guān)系例如橢圓的一對共軛直徑的斜率與而雙曲線的一對共軛直徑的斜率與有著關(guān)系(5.4-8)在(5.4-5)中，如果設(shè)那么有因