空氣動(dòng)力學(xué)第四章粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

空氣動(dòng)力學(xué)第四章粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)第1頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.1、流體的粘性及其對流動(dòng)的影響

1、流體的粘滯性在靜止?fàn)顟B(tài)下，流體不能承受剪力。但是在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，流體可以承受剪力，而且對于不同種流體所承受剪力大小是不同的。流體的粘滯性是指，流體在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下抵抗剪切變形能力。流體的剪切變形是指流體質(zhì)點(diǎn)之間出現(xiàn)相對運(yùn)動(dòng)。因此，流體的粘滯性是指抵抗流體質(zhì)點(diǎn)之間的相對運(yùn)動(dòng)能力。流體抵抗剪切變形能力，可通過流層之間的剪切力表現(xiàn)出來。（這個(gè)剪切力稱為內(nèi)摩擦力）。流體在流動(dòng)過程中，必然要克服內(nèi)摩擦力做功，因此流體粘滯性是流體發(fā)生機(jī)械能損失的根源。牛頓的內(nèi)摩擦定律（Newton，1686年）

F=μAU/h（UhF）

第2頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.1、流體的粘性及其對流動(dòng)的影響流層之間的內(nèi)摩擦力與接觸面上的壓力無關(guān)。設(shè)

表示單位面積上的內(nèi)摩擦力（粘性切應(yīng)力），則

μ-----流體的動(dòng)力粘性系數(shù)。（量綱、單位）：[μ]=M/L/Tkg/m/sNs/m2=Pa.s；

=μ/

---流體的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)。量綱、單位：

[

]=L2/Tm2/s。水：1.139

10-6空氣：1.461

10-5一般流層速度分布不是直線，而是曲線，如圖所示。

F=μAdu/dy

=μdu/dydu/dy----表示單位高度流層的速度增量，稱為流速梯度。第3頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.1、流體的粘性及其對流動(dòng)的影響

流體切應(yīng)力與速度梯度的一般關(guān)系為

11--

=

0+μdu/dy22-

=μ（du/dy）^0.533--

=μdu/dy44--

=μ(du/dy)^25—理想流體

μ=05du/dy第4頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.1、流體的粘性及其對流動(dòng)的影響1---binghan流體，泥漿、血漿、牙膏等2---偽塑性流體，尼龍、橡膠、油漆、絕緣3---牛頓流體，水、空氣、汽油、酒精等4---脹塑性流體，生面團(tuán)、濃淀粉糊等5---理想流體，無粘流體。2、粘性流體運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)自然界中流體都是有粘性的，因此粘性對流體運(yùn)動(dòng)的影響是普遍存在的。但對于具體的流動(dòng)問題，粘性所起的作用并不一定相同。特別是象水和空氣這樣的小粘性流體，對于某些問題忽略粘性的作用可得到滿意的結(jié)果。因此，為了簡化起見，提出了理想流體的概念和理論。以下用若干流動(dòng)事例說明粘性流動(dòng)與無粘流動(dòng)的差別。（1）繞過平板的均直流動(dòng)第5頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.1、流體的粘性及其對流動(dòng)的影響

當(dāng)理想流體繞過平板（無厚度）時(shí)，平板對流動(dòng)不產(chǎn)生任何影響，在平板表面，允許流體質(zhì)點(diǎn)滑過平板，但不允許穿透平板（通常稱作為不穿透條件）。平板對流動(dòng)無阻滯作用，平板阻力為零。但如果是粘性流體，情況就不同了。由于存在粘性，緊貼平板表面的流體質(zhì)點(diǎn)粘附在平板上，與平板表面不存在相對運(yùn)動(dòng)（既不允許穿透，也不允許滑動(dòng)），這就是說，在邊界面上流體質(zhì)點(diǎn)必須滿足不穿透條件和不滑移條件。隨著離開平板距離的增大，流體速度有壁面處的零值迅速增大到來流的速度。這樣在平板近區(qū)存在著速度梯度很大的流動(dòng)，因此流層之間的粘性切應(yīng)力就不能忽略，對流動(dòng)起控制作用。這個(gè)區(qū)稱為邊界層區(qū)。平板對流動(dòng)起阻滯作用，平板的阻力不為零。即第6頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.1、流體的粘性及其對流動(dòng)的影響（2）圓柱繞流理想流體繞流圓柱時(shí)，在圓柱上存在前駐點(diǎn)A，后駐點(diǎn)D,最大速度點(diǎn)B、C。中心流線在前駐點(diǎn)分叉，后駐點(diǎn)匯合。根據(jù)Bernoulli定理，流體質(zhì)點(diǎn)繞過圓柱所經(jīng)歷的過程為在A-B（C）區(qū)，流體質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)流速為零，壓強(qiáng)最大，以后質(zhì)點(diǎn)的壓強(qiáng)沿程減小，流速沿程增大，到達(dá)B點(diǎn)流速最大，壓強(qiáng)最小。該區(qū)屬于增速減壓區(qū)，順壓梯度區(qū)；在B（C）-D區(qū)，流體質(zhì)點(diǎn)的壓強(qiáng)沿程增大，流速沿程減小，到達(dá)D點(diǎn)壓強(qiáng)最大，流速為零。該區(qū)屬于減速增壓區(qū)，逆壓梯度區(qū)。在流體質(zhì)點(diǎn)繞過圓柱的過程中，只有動(dòng)能、壓能的相互轉(zhuǎn)換，而無機(jī)械能的損失。在圓柱面上壓強(qiáng)分布對稱，無阻力存在。（著名的達(dá)朗貝爾佯謬）。第7頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.1、流體的粘性及其對流動(dòng)的影響對于粘性流體的繞流，與理想流體繞流存在很大的差別。由于流體與固壁表面的粘附作用，在物面近區(qū)將產(chǎn)生邊界層，受流體粘性的阻滯作用，流體質(zhì)點(diǎn)在由A點(diǎn)到B點(diǎn)的流程中，將消耗部分動(dòng)能用之克服摩擦阻力做功，以至使其無法滿足由B點(diǎn)到D點(diǎn)壓力升高的要求，導(dǎo)致流體質(zhì)點(diǎn)在BD流程內(nèi)，流經(jīng)一段距離就會(huì)將全部動(dòng)能消耗殆盡（一部分轉(zhuǎn)化為壓能，一部分克服摩擦阻力做功），于是在壁面某點(diǎn)速度變?yōu)榱悖⊿點(diǎn)），以后流來的流體質(zhì)點(diǎn)將從這里離開物面進(jìn)入主流場中，這一點(diǎn)稱為分離點(diǎn)。這種現(xiàn)象稱為邊界層分離。在分離點(diǎn)之間的空腔內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)發(fā)生倒流，由下游高壓區(qū)流向低壓區(qū)，從而在圓柱后面形成了旋渦區(qū)。這個(gè)旋渦渦區(qū)的出現(xiàn)，使得圓柱壁面壓強(qiáng)分布發(fā)生了變化，前后不對稱（如前駐點(diǎn)的壓強(qiáng)要明顯大于后駐點(diǎn)的壓強(qiáng)），因此出現(xiàn)了阻力D。第8頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.1、流體的粘性及其對流動(dòng)的影響

總的結(jié)論如下：（1）粘性摩擦切應(yīng)力與物面的粘附條件（無滑移條件）是粘性流體運(yùn)動(dòng)有別與理想流體運(yùn)動(dòng)的主要標(biāo)志。（2）粘性的存在是產(chǎn)生阻力的主要原因。（3）邊界層的分離必要條件是，流體的粘性和逆壓梯度。（4）粘性對于研究阻力、邊界層及其分離、旋渦的擴(kuò)散等問題起主導(dǎo)作用，不能忽略。第9頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2、流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式與速度分解定理1、流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的基本形式流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中，將發(fā)生剛體運(yùn)動(dòng)（平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)）與變形運(yùn)動(dòng)（線變形和角變形運(yùn)動(dòng)）。

平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)

線變形角變形第10頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2、流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式與速度分解定理2、速度分解定理德國物理學(xué)家Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流場速度的分解定理，正確區(qū)分了流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式。設(shè)在流場中，相距微量的任意兩點(diǎn)，按泰勒級(jí)數(shù)展開給出分解。

在，速度為

在點(diǎn)處，速度為第11頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2、流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式與速度分解定理以x方向速度分量為例，由泰勒級(jí)數(shù)展開，有將上式分別加、減下列兩項(xiàng)得到第12頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月如果令：綜合起來，有4.2、流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式與速度分解定理第13頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2、流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式與速度分解定理對于y,z方向的速度分量，也可得到寫成矢量形式其中，第一項(xiàng)表示微團(tuán)的平動(dòng)速度，第二項(xiàng)表示微團(tuán)轉(zhuǎn)動(dòng)引起的，第三項(xiàng)表示微團(tuán)變形引起的。

第14頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2、流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式與速度分解定理定義如下：流體微團(tuán)平動(dòng)速度：流體微團(tuán)線變形速度：

流體微團(tuán)角變形速度（剪切變形速度）：流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度：第15頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2、流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式與速度分解定理3、有旋運(yùn)動(dòng)與無旋運(yùn)動(dòng)流體質(zhì)點(diǎn)的渦量定義為表示流體質(zhì)點(diǎn)繞自身軸旋轉(zhuǎn)角速度的2倍。并由渦量是否為零，定義無旋流動(dòng)與有旋運(yùn)動(dòng)。4、變形率矩陣（或變形率張量）在速度分解定理中，最后一項(xiàng)是由流體微團(tuán)變形引起的，其中稱為變形率矩陣，或變形率張量。該項(xiàng)與流體微團(tuán)的粘性應(yīng)力存在直接關(guān)系。第16頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2、流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式與速度分解定理

定義，流體微團(tuán)的變形率矩陣為

該矩陣是個(gè)對稱矩陣，每個(gè)分量的大小與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)，但有三個(gè)量是與坐標(biāo)系選擇無關(guān)的不變量。它們是第17頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月

對于第一不變量，具有明確的物理意義。表示速度場的散度，或流體微團(tuán)的相對體積膨脹率。

如果選擇坐標(biāo)軸是三個(gè)變形率矩陣的主軸，則此時(shí)變形率矩陣的非對角線上的分量為零，相應(yīng)的變形率矩陣與不變量為4.2、流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式與速度分解定理第18頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3、粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)1、理想流體和粘性流體作用面受力差別流體處于靜止?fàn)顟B(tài)，只能承受壓力，幾乎不能承受拉力和剪力，不具有抵抗剪切變形的能力。理想流體在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，流體質(zhì)點(diǎn)之間可以存在相對運(yùn)動(dòng)，但不具有抵抗剪切變形的能力。因此，作用于流體內(nèi)部任意面上的力只有正向力，無切向力。粘性流體在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，流體質(zhì)點(diǎn)之間可以存在相對運(yùn)動(dòng)，流體具有抵抗剪切變形的能力。因此，作用于流體內(nèi)部任意面上力既有正向力，也有切向力。

第19頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3、粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)2、粘性流體中的應(yīng)力狀態(tài)在粘性流體運(yùn)動(dòng)中，由于存在切向力，過任意一點(diǎn)單位面積上的表面力就不一定垂直于作用面，且各個(gè)方向的大小也不一定相等。因此，作用于任意方向微元面積上合應(yīng)力可分解為法向應(yīng)力和切向應(yīng)力。如果作用面的法線方向與坐標(biāo)軸重合，則合應(yīng)力可分解為三個(gè)分量，其中垂直于作用面的為法應(yīng)力，另外兩個(gè)與作用面相切為切應(yīng)力，分別平行于另外兩個(gè)坐標(biāo)軸，為切應(yīng)力在坐標(biāo)軸向的投影分量。第20頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3、粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)

由此可見，用兩個(gè)下標(biāo)可把各個(gè)應(yīng)力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一個(gè)下標(biāo)表示作用面的法線方向，第二個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力分量的投影方向。如，對于x面的合應(yīng)力可表示為

y面的合應(yīng)力表達(dá)式為

z面的合應(yīng)力表達(dá)式為第21頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3、粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)

如果在同一點(diǎn)上給定三個(gè)相互垂直坐標(biāo)面上的應(yīng)力，那么過該點(diǎn)任意方向作用面上的應(yīng)力可通過坐標(biāo)變換唯一確定。因此，我們把三個(gè)坐標(biāo)面上的九個(gè)應(yīng)力分量稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，由這九個(gè)應(yīng)力分量組成的矩陣稱為應(yīng)力矩陣（或應(yīng)力張量）。根據(jù)剪力互等定理，在這九分量中，只有六個(gè)是獨(dú)立的，其中三法向應(yīng)力和三個(gè)切向應(yīng)力。這個(gè)應(yīng)力矩陣如同變形率矩陣一樣，是個(gè)對稱矩陣。第22頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3、粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)（1）在理想流體中，不存在切應(yīng)力，三個(gè)法向應(yīng)力相等，等于該點(diǎn)壓強(qiáng)的負(fù)值。即（2）在粘性流體中，任意一點(diǎn)的任何三個(gè)相互垂直面上的法向應(yīng)力之和一個(gè)不變量，并定義此不變量的平均值為該點(diǎn)的平均壓強(qiáng)的負(fù)值。即（3）在粘性流體中，任意面上的切應(yīng)力一般不為零。第23頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4、廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）1、牛頓內(nèi)摩擦定理啟發(fā)牛頓內(nèi)摩擦定理得到，粘性流體作直線層狀流動(dòng)時(shí)，流層之間的切應(yīng)力與速度梯度成正比。即

如果用變形率矩陣和應(yīng)力矩陣表示，有

說明應(yīng)力矩陣與變形率矩陣成正比。對于一般的三維流動(dòng)，Stokes（1845年）通過引入三條假定，將牛頓內(nèi)摩擦定律進(jìn)行推廣，提出廣義牛頓內(nèi)摩擦定理。第24頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4、廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）2、Stokes假設(shè)（1845年）

(Stokes，英國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家，1819-1903年）（1）流體是連續(xù)的，它的應(yīng)力矩陣與變形率矩陣成線性關(guān)系，與流體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)無關(guān)。（2）流體是各向同性的，其應(yīng)力與變形率的關(guān)系與坐標(biāo)系的選擇和位置無關(guān)。（3）當(dāng)流體靜止時(shí)，變形率為零，流體中的應(yīng)力為流體靜壓強(qiáng)。由第三條件假定可知，在靜止?fàn)顟B(tài)下，流體的應(yīng)力只有正應(yīng)力，無切應(yīng)力。即第25頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4、廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）因此，在靜止?fàn)顟B(tài)下，流體的應(yīng)力狀態(tài)為

根據(jù)第一條假定，并受第三條假定的啟發(fā)，可將應(yīng)力矩陣與變形率矩陣寫成如下線性關(guān)系式（本構(gòu)關(guān)系）。

式中，系數(shù)a、b是與坐標(biāo)選擇無關(guān)的標(biāo)量。參照牛頓內(nèi)摩擦定理，系數(shù)a只取決于流體的物理性質(zhì)，可取第26頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4、廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）由于系數(shù)b與坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)無關(guān)，因此可以推斷，要保持應(yīng)力與變形率成線性關(guān)系，系數(shù)b只能由應(yīng)力矩陣與變形率矩陣中的那些線性不變量構(gòu)成。即令

式中，為待定系數(shù)。將a、b代入，有取等式兩邊矩陣主對角線上的三個(gè)分量之和，可得出第27頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4、廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）

歸并同類項(xiàng)，得到在靜止?fàn)顟B(tài)下，速度的散度為零，且有由于b1和b2均為常數(shù)，且要求p0在靜止?fàn)顟B(tài)的任何情況下，均成立。則然后代入第一式中，有第28頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4、廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）如果令稱為流體壓強(qiáng)。則本構(gòu)關(guān)系為上式即為廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（為牛頓流體的本構(gòu)方程）。用指標(biāo)形式，上式可表示為第29頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4、廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）對于不可壓縮流體,有如果用坐標(biāo)系表示，有粘性切應(yīng)力：法向應(yīng)力：第30頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5、粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---Navier-Stokes方程1、流體運(yùn)動(dòng)的基本方程

利用牛頓第二定理推導(dǎo)以應(yīng)力形式表示的流體運(yùn)動(dòng)微分方程。(在流場中取一個(gè)微分六面體流體微團(tuán)進(jìn)行分析，以x方向?yàn)槔?，建立運(yùn)動(dòng)方程）。第31頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5、粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---Navier-Stokes方程整理后，得到

這是以應(yīng)力形式表示的流體運(yùn)動(dòng)微分方程，具有普遍意義，既適應(yīng)于理想流體，也適應(yīng)于粘性流體。這是一組不封閉的方程，在質(zhì)量力已知的情況下，方程中多了6個(gè)應(yīng)力分量，要想得到封閉形式，必須引入本構(gòu)關(guān)系，如粘性流體的廣義牛頓內(nèi)摩擦定律。第32頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5、粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---Navier-Stokes方程2、Navier-Stokes方程組（粘性流體運(yùn)動(dòng)方程組）人類對流體運(yùn)動(dòng)的描述歷史是：1500年以前DaVinci（1452-1519，意大利科學(xué)家）定性描述。1755年Euler（瑞士科學(xué)家，1707-1783）推導(dǎo)出理想流體運(yùn)動(dòng)方程。1822年Navier（1785-1836，法國科學(xué)家）開始考慮流體粘性。

1829年P(guān)oisson(1781-1846)1843年SaintVenant（1795-1886)1845年Stokes(1819-1903，英國科學(xué)家)結(jié)束，完成了推導(dǎo)過程，提出現(xiàn)在形式的粘性流體運(yùn)動(dòng)方程。（歷時(shí)90年）第33頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5、粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---Navier-Stokes方程以x方向的方程為例，給出推導(dǎo)。引入廣義牛頓內(nèi)摩擦定理，即代入得到第34頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5、粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---Navier-Stokes方程

對于y和z方向的方程為

這就是描述粘性流體運(yùn)動(dòng)的N-S方程組，適應(yīng)于可壓縮和不可壓縮流體。第35頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5、粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---Navier-Stokes方程

寫成張量的形式為對于不可縮流體，，且粘性系數(shù)近似看作常數(shù)，方程組可得到簡化。仍以x向方程進(jìn)行說明。

第36頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5、粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---Navier-Stokes方程由此可得到張量形式矢量形式第37頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5、粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---Navier-Stokes方程

為了研究流體的有旋性，格羅米柯-Lamb等將速度的隨體導(dǎo)數(shù)加以分解，把渦量分離出來，形成如下形式的格羅米柯-Lamb型方程。3、Bernoulli積分伯努利家族（瑞士）前后四代，數(shù)十人，形成歷史上罕見的數(shù)學(xué)大家族。其中，Bernoulli,Nocholas(尼古拉斯伯努利），1623-1708，瑞士伯努利數(shù)學(xué)家族第一代。Bernoulli,Johann（約翰伯努利），1667-1748，伯努利數(shù)學(xué)家族第二代，提出著名的虛位移原理。Bernoulli,Daniel（丹尼爾伯努利），1700-1782，伯努利數(shù)學(xué)家族第三代，Johann.伯努利的兒子，著有《流體動(dòng)力學(xué)》（1738），將微積分方法運(yùn)用到流體動(dòng)力學(xué)中，提出著名的伯努利方程。

第38頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5、粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---Navier-Stokes方程與Bernoulli積分理想流體運(yùn)動(dòng)方程類似，積分N-S方程假定：（1）不可壓縮粘性流體；（2）定常流動(dòng)；（3）質(zhì)量力有勢；（4）沿流線積分。沿流線積分N-S方程，可推導(dǎo)出粘性流體的能量方程。與理想流體能量不同的是，方程中多了一項(xiàng)因粘性引起的損失項(xiàng)，表示流體質(zhì)點(diǎn)克服粘性應(yīng)力做功所消耗的能量。在粘性不可壓縮定常流動(dòng)中，任取一條流線，在流線上某處取一微段ds，該處所對應(yīng)的流速為第39頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5、粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---Navier-Stokes方程沿流線積分N-S方程，有在定常流情況下，跡線和流線重合。第40頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5、粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---Navier-Stokes方程流線微段與速度之間的關(guān)系為第41頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5、粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---Navier-Stokes方程質(zhì)量力有勢，因此有不可壓縮定常流動(dòng)，有粘性項(xiàng)寫成為在流線微段上，微分形式為第42頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5、粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---Navier-Stokes方程與理想流體能量微分方程相比，在上式中多了一項(xiàng)與粘性有關(guān)的項(xiàng)，物理上表示單位質(zhì)量流體質(zhì)點(diǎn)克服粘性應(yīng)力所做的功，代表機(jī)械能的損失，不可能再被流體質(zhì)點(diǎn)機(jī)械運(yùn)動(dòng)所利用。故稱其為單位質(zhì)量流體的機(jī)械能損失或能量損失。對于質(zhì)量力只有重力的情況，方程的形式變?yōu)?/p>

方程兩邊同除以g，得到

表示單位重量流體總機(jī)械能量沿流線的變化。第43頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5、粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---Navier-Stokes方程

如果令能量方程變?yōu)?/p>

單位時(shí)間單位重量流體所具有的機(jī)械能為；單位時(shí)間單位重量流體粘性力所做的功為。沿著同一條流線積分，得到第44頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5、粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---Navier-Stokes方程上式說明，在粘性流體中，沿同一條流線上單位時(shí)間單位重量流體的所具有的機(jī)械能總是沿程減小的，不能保持守恒（理想流體時(shí)，總機(jī)械能是保持守恒的，無機(jī)械能損失），減小的部分代表流體質(zhì)點(diǎn)克服粘性應(yīng)力做功所消耗的機(jī)械能量。粘性流體的Bernoulli積分方程說明，粘性流體在流動(dòng)中，無論勢能、壓能和動(dòng)能如何轉(zhuǎn)化，但總機(jī)械能是沿程減小的，總是從機(jī)械能高的地方流向機(jī)械能低的地方。通常所說的，水從高處流向低處，高壓流向低壓，都是不完全的。第45頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.6、粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)

粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)包括：運(yùn)動(dòng)的有旋性，旋渦的擴(kuò)散性，能量的耗散性。

1、粘性流體運(yùn)動(dòng)的渦量輸運(yùn)方程為了討論旋渦在粘性流體流動(dòng)中的性質(zhì)和規(guī)律，推導(dǎo)渦量輸運(yùn)方程是必要的。

其Lamb型方程是

引入廣義牛頓內(nèi)摩擦定理第46頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.6、粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)Lamb型方程變?yōu)閷ι鲜絻蛇吶⌒?，得到整理后得到?7頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.6、粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)這是最一般的渦量輸運(yùn)方程。該式清楚地表明：流體的粘性、非正壓性和質(zhì)量力無勢，是破壞旋渦守恒的根源。在這三者中，最常見的是粘性作用。由于（1）如果質(zhì)量力有勢、流體正壓、且無粘性，則渦量方程簡化為這個(gè)方程即為Helmholtz渦量守恒方程。第48頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.6、粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)（2）如果質(zhì)量力有勢，流體為不可壓縮粘性流體，則渦量輸運(yùn)方程變?yōu)閺埩啃问綖椋?）對于二維流動(dòng)，上式簡化為第49頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.6、粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)2、粘性流體運(yùn)動(dòng)的有旋性理想流體運(yùn)動(dòng)可以是無旋的，也可以是有旋的。但粘性流體運(yùn)動(dòng)一般總是有旋的。用反證法可說明這一點(diǎn)。對于不可壓縮粘性流體，其運(yùn)動(dòng)方程組為

根據(jù)場論知識(shí)，有代入上式，得到第50頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.6、粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)如果流動(dòng)無旋，則

這與不可壓縮理想流體的方程組完全相同，粘性力的作用消失，說明粘性流體流動(dòng)與理想流體流動(dòng)完全相同，且原方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)也發(fā)生了變化，由原來的二階偏微分方程組變成一階偏微分方程組。但問題出在固壁邊界上。在粘性流體中，固壁面的邊界條件是：不穿透條件和不滑移條件。即

要求降階后的方程組同時(shí)滿足這兩個(gè)邊界條件一般是不可能的。這說明粘性流體流動(dòng)一般總是有旋的。第51頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.6、粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)

但也有特例。如果固壁的切向速度正好等于固壁面處理想流體的速度，也就是固壁面與理想流體質(zhì)點(diǎn)不存在相對滑移，這時(shí)不滑移條件自動(dòng)滿足，這樣理想流體方程自動(dòng)滿足固壁面邊界條件。說明在這種情況下，粘性流體流動(dòng)可以是無渦的。但一般情況下，固壁面與理想流體質(zhì)點(diǎn)總是存在相對滑移的，受流體粘性的作用，必然要產(chǎn)生旋渦。由此可得出結(jié)論：粘性流體旋渦是由存在相對運(yùn)動(dòng)的固壁面與流體的粘性相互作用產(chǎn)生的。3、粘性流體旋渦的擴(kuò)散性

粘性流體中，旋渦的大小不僅可以隨時(shí)間產(chǎn)生、發(fā)展、衰減、消失，而且還會(huì)擴(kuò)散，渦量從強(qiáng)度大的地方向強(qiáng)度小的地方擴(kuò)散，直至旋渦強(qiáng)度均衡為止。以一空間孤立渦線的擴(kuò)散規(guī)律為例說明之。渦線強(qiáng)度的定解問題為第52頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.6、粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)這是一個(gè)擴(kuò)散方程的定解問題，其解為4、粘性流體能量的耗散性在粘性流體中，流體運(yùn)動(dòng)必然要克服粘性應(yīng)力作功而消耗機(jī)械能。粘性流體的變形運(yùn)動(dòng)與機(jī)械能損失是同時(shí)存在的，而且機(jī)械能的耗散與變形率的平方成正比，因此粘性流體的機(jī)械能損失是不可避免的。第53頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1、粘性流體微團(tuán)的受力及其對流動(dòng)的影響粘性流體運(yùn)動(dòng)與理想流體運(yùn)動(dòng)的主要區(qū)別是，微團(tuán)的受力除慣性力外，還有粘性力，根據(jù)這兩種力的特點(diǎn)，它們對流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)行為的影響是不同的。按照定義，粘性力的作用是阻止流體微團(tuán)發(fā)生相對運(yùn)動(dòng)的，而慣性力的作用與粘性力的作用正好相反，因此在粘性流體流動(dòng)中，流動(dòng)的行為決定于這兩種力作用的結(jié)果。對于兩種受力極端的情況將引起人們高度的重視，其一是粘性力的作用遠(yuǎn)大于慣性力的作用，其二是慣性力的作用遠(yuǎn)大于粘性力的作用，可以推測在這兩種情況下流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)特征是極然不同的。由此引出了層流、紊流的概念。4.7層流、紊流及其能量損失第54頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.7層流、紊流及其能量損失2、粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本型態(tài)（Reynolds轉(zhuǎn)捩試驗(yàn)）早期人們發(fā)現(xiàn)管道中的流速大小與水頭損失（能量損失）有關(guān)。

1839-1869年Hagen，G.發(fā)現(xiàn)，管中流速小時(shí)，水流像一根玻璃柱，清晰透明；而在大流速時(shí)，水流渾濁，不再清晰，流速時(shí)大時(shí)小。Hagen認(rèn)為這種現(xiàn)象與管徑、流速、粘性有關(guān)。

1880年，O.Reynolds（英國科學(xué)家）用管徑2.54cm、長度1.372m玻璃管進(jìn)行了著名的流態(tài)轉(zhuǎn)捩試驗(yàn)，并于1883年在一篇論文中明確指出了管中水流存在層流和紊流兩種流態(tài)，當(dāng)年Reynolds用

無量綱數(shù)來判別流態(tài)，并把這兩種流動(dòng)稱為順直流動(dòng)（Directmotion）和曲折流動(dòng)（Sinuousmotion），后來演變?yōu)楝F(xiàn)在的名稱層流（Laminarflow）和紊流(Turbulentflow，在流體力學(xué)中也稱湍流)。（紊字脫出流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性，湍字突出流體質(zhì)點(diǎn)脈動(dòng)行為）。第55頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月

4.7層流、紊流及其能量損失第56頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)小流速cd段為層流,(2)大流速ab段為紊流,(3)bc或bec段為過渡段,4.7層流、紊流及其能量損失第57頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月3、流動(dòng)形態(tài)的判別準(zhǔn)則--臨界Re數(shù)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：層流和紊流轉(zhuǎn)捩的臨界流速與管徑、流體密度和動(dòng)力粘性系數(shù)有關(guān)。臨界流速與動(dòng)力粘性系數(shù)成正比，與管徑和流體密度成反比。由量綱分析可得把這個(gè)無量綱數(shù)稱為臨界Re數(shù)。對于同一邊界特征的流動(dòng)，下臨界Re數(shù)是不變的。對于圓管流動(dòng)Reynolds給出的結(jié)果是，Rec=2000，Schiller(1921)給出的結(jié)果為2320(目前認(rèn)為比較精確，普遍用2300)；后來人們重新分析Reynolds實(shí)驗(yàn)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)Rec=2400。上臨界Re數(shù)是一個(gè)變數(shù)，與來流擾動(dòng)直接有關(guān)。4.7層流、紊流及其能量損失第58頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4、Re數(shù)的物理意義

Re數(shù)表示慣性力與粘性力的比值，慣性力的作用是促使質(zhì)點(diǎn)失穩(wěn)，擾動(dòng)放大；粘性力的作用是對質(zhì)點(diǎn)起約束作用的，是遏制擾動(dòng)的。Re數(shù)大表示質(zhì)點(diǎn)慣性力大于粘性力，流動(dòng)失去穩(wěn)定，流動(dòng)為紊流；Re數(shù)小表示質(zhì)點(diǎn)粘性力大于慣性力，流動(dòng)穩(wěn)定，層次分明，層流。5、阻力損失分類在粘性流體流動(dòng)中，機(jī)械能損失是不可避免的。在管道中損失可為（1）沿程損失（Frictionalheadloss）是指流體沿程克服固壁摩擦阻力和流層之間內(nèi)摩擦阻力做功引起的機(jī)械能損失。（2）局部損失hj(Localheadloss)

是指流體繞過管壁發(fā)生突變的區(qū)域，使流動(dòng)發(fā)生急劇變化而引起的內(nèi)摩擦阻力做功損失的機(jī)械能。4.7層流、紊流及其能量損失第59頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)沿程損失的一般表達(dá)形式通過管道實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，沿程損失hf是下列變量的函數(shù)。即實(shí)驗(yàn)表明這個(gè)方程稱為Darcy-Weishach公式。(1858年)局部損失一般表達(dá)式為4.7層流、紊流及其能量損失第60頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月6、紊流的定義最早對紊流的描述可追溯到意大利文藝復(fù)興時(shí)期的科學(xué)和藝術(shù)全才DaVinci(1452-1519)，他對紊流的流動(dòng)進(jìn)行了細(xì)致的觀察，在一副關(guān)于紊流的名畫中寫到：烏云被狂風(fēng)卷散撕裂，沙粒從海灘上揚(yáng)起，樹木彎下了腰。（旋渦的分裂、破碎，旋渦的卷吸，近壁區(qū)的剪切作用）4.7層流、紊流及其能量損失第61頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月

1883年，Reynolds把紊流定義為曲折運(yùn)動(dòng)(波動(dòng))。

1937年，TaylorandVonKarman把紊流定義為：紊流是一種不規(guī)則的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)流體流過固體表面，或者當(dāng)相鄰?fù)惲黧w流過或繞過時(shí)，一般會(huì)在流體中出現(xiàn)這種不規(guī)則運(yùn)動(dòng)。（這個(gè)定義突出了紊流的不規(guī)則性）。

1959年，Hinze（荷蘭科學(xué)家）定義：紊流是一種不規(guī)則的流動(dòng)狀態(tài)，但其各種物理量隨時(shí)間和空間坐標(biāo)的變化表現(xiàn)出隨機(jī)性，因而能辨別出不同的統(tǒng)計(jì)平均值。我國著名科學(xué)家周培源先生一貫主張：紊流是一種不規(guī)則的旋渦運(yùn)動(dòng)。一般教科書定義：紊流是一種雜亂無章、互相混摻，不規(guī)則的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。（紊流中流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡）比較公認(rèn)的觀點(diǎn)：紊流是一種由大小不等、頻率不同的旋渦結(jié)構(gòu)組成，使其物理量對時(shí)間和空間的變化均表現(xiàn)出不規(guī)則的隨機(jī)性。近年的認(rèn)識(shí)：紊流中即包含著有序的大尺度旋渦結(jié)構(gòu)，也包含著無序的、隨機(jī)的小尺度旋渦結(jié)構(gòu)。紊流物理量的隨機(jī)脈動(dòng)就是由這些大小不同尺度渦共同作用的結(jié)果。4.7層流、紊流及其能量損失第62頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月5、紊流的基本特征（1）有渦性（eddy）與渦串級(jí)理論（casecade）紊流中伴隨有大小不等、頻率不同的旋渦運(yùn)動(dòng)，旋渦是引起紊流物理量脈動(dòng)的主要成員。一般認(rèn)為，紊流物理量的隨機(jī)變化過程是由這些大小不等的旋渦產(chǎn)生的，顯然在一個(gè)物理量變化過程中，大渦體產(chǎn)生大的漲落，小渦體產(chǎn)生小的漲落，如果在大渦中還含有小渦，則會(huì)在大漲落中含有小漲落。從形式上看，這些旋渦四周速度方向是相對（相反）的，表明在渦體之間的流體層內(nèi)存在相當(dāng)大的速度梯度，大渦從基本（時(shí)均或平均）流動(dòng)中獲取能量，是紊流能量的主要含能渦體，然后再通過粘性和色散（失穩(wěn)）過程串級(jí)分裂成不同尺度的小渦，并在這些渦體的分裂破碎過程中將能量逐級(jí)傳給小尺度渦，直至達(dá)到粘性耗散為止，這個(gè)過程就是1922年Richardson提出的渦串級(jí)理論。4.7層流、紊流及其能量損失第63頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月紊流物理量的脈動(dòng)與渦結(jié)構(gòu)紊動(dòng)渦體的串級(jí)觀點(diǎn)4.7層流、紊流及其能量損失第64頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月

1922年，L.F.Richardson（氣象學(xué)家，數(shù)值天氣預(yù)報(bào)的創(chuàng)始人）給出關(guān)于紊流渦串級(jí)理論一首著名的詩：大渦用動(dòng)能哺育小渦，小渦照此把兒女養(yǎng)活。能量沿代代旋渦傳遞，但終于耗散在粘滯里。

Bigwhirlshavelittlewhirls,Whichfeedontheirvelocity.Littlewhirlshavesmallerwhirls,Andsoontoviscosity.4.7層流、紊流及其能量損失第65頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月

（2）紊流的不規(guī)則性（Irregularity）紊流中流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是雜亂無章、無規(guī)律的隨機(jī)游動(dòng)。但由于紊流場中含有大大小小不同尺度的渦體，理論上并無特征尺度，因此這種隨機(jī)游動(dòng)必然要伴隨有各種尺度的躍遷。（3）紊流的隨機(jī)性（RandomBehavior）紊流場中質(zhì)點(diǎn)的各物理量是時(shí)間和空間的隨機(jī)變量，它們的統(tǒng)計(jì)平均值服從一定的規(guī)律性。近年來隨著分形、混沌科學(xué)問世和非線性力學(xué)的迅速發(fā)展，人們對這種隨機(jī)性有了新的認(rèn)識(shí)。紊流的隨機(jī)性并不僅僅來自外部邊界條件的各種擾動(dòng)和激勵(lì)，更重要的是來自于內(nèi)部的非線性機(jī)制。混沌的發(fā)現(xiàn)，大大地沖擊了“確定論”，確定的方程系統(tǒng)并不象著名科學(xué)家Laplace所說的那樣，只要給出定解條件就可決定未來的一切，而是確定的系統(tǒng)可以產(chǎn)生不確定的結(jié)果?；煦缡勾_定論和隨機(jī)論有機(jī)地聯(lián)系起來，使我們更加確信，確定的Navier－Stokes方程組可以用來描述紊流（即一個(gè)耗散系統(tǒng)受非線性慣性力的作用，在一定的條件下可能發(fā)生多次非線性分叉（Bifurcation）而最終變成混亂的結(jié)構(gòu)）。4.7層流、紊流及其能量損失第66頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）紊流的擴(kuò)散性