函數(shù)的表示法（6大題型）精講（原卷版）

函數(shù)的表示法重點：1、函數(shù)的三種表示方法；2、根據(jù)條件求函數(shù)的解析式；3、根據(jù)實際情境，選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法解決問題；難點：1、求函數(shù)的解析式；2、用解析法和圖象法表示分段函數(shù).一、函數(shù)的表示方法1、解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系。優(yōu)點：（1）簡明、全面概括了變量間的關(guān)系；（2）利用解析式可求任意函數(shù)值。缺點：不夠形象、只管，而且并不是所有函數(shù)都有解析式。2、列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系。優(yōu)點：不需要計算可以直接看出與自變量對應(yīng)的函數(shù)值；缺點：僅能表示自變量取較少的有限值時的對應(yīng)關(guān)系。3、圖像法：用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系。優(yōu)點：能形象直觀地表示函數(shù)的變化情況；缺點：只能近似求出自變量的值所對應(yīng)的函數(shù)值，而且有時誤差較大。二、描點法作函數(shù)圖象的三個關(guān)注點1、畫函數(shù)圖象時首先關(guān)注函數(shù)的定義域，即在定義域內(nèi)作圖；2、圖象時實線或?qū)嶞c，定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖象；3、要標(biāo)出某些關(guān)鍵點，例如圖象的頂點、端點、與坐標(biāo)軸的交點等，要分清這些關(guān)鍵點是實心點還是空心圈。三、函數(shù)解析式的四種求法1、待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)等），可用待定系數(shù)法．（1）確定所有函數(shù)問題含待定系數(shù)的一般解析式；（2）根據(jù)恒等條件，列出一組含有待定系數(shù)的方程；（3）解方程或消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。2、換元法：主要用于解決已知的解析式，求函數(shù)的解析式的問題（1）先令，注意分析的取值范圍；（2）反解出x，即用含的代數(shù)式表示x；（3）將中的x度替換為的表示，可求得的解析式，從而求得。3、配湊法：由已知條件，可將改寫成關(guān)于的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得的解析式．4、方程組法：主要解決已知與、、……的方程，求解析式。例如：若條件是關(guān)于與的條件（或者與）的條件，可把代為（或者把代為）得到第二個式子，與原式聯(lián)立方程組，求出四、分段函數(shù)1．定義：在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)．2．性質(zhì)：（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集．（2）作分段函數(shù)圖象時，應(yīng)分別作出每一段的圖象．題型一函數(shù)的表示方法【例1】（2023秋·廣東·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，分別由下表給出，x012121x012210則；滿足的x的值是．【變式1-1】（2023秋·高一課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)由下表給出，則滿足的x的值為（）x123231A．1或3B．1或2C．2D．3【變式1-2】（2022秋·高一課時練習(xí)）一天，亮亮發(fā)燒了，早晨他燒得很厲害，吃過藥后感覺好多了，中午時的體溫基本正常，但是下午他的體溫又開始上升，晚上體溫漸漸下降直到半夜亮亮才感覺身上不那么發(fā)燙了．下列各圖中能基本上反映出亮亮這一天（0時～24時）體溫的變化情況的是（）A．B．C．D．【變式1-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）某同學(xué)到長城旅游，他租自行車由賓館騎行前往長城，前進了akm，覺得有點累，休息后沿原路返回bkm（）.想起“不到長城非好漢”，便調(diào)轉(zhuǎn)車頭繼續(xù)前進.則該同學(xué)離起點的距離s與時間t的圖象大致為（）A．B．C．D．題型二待定系數(shù)法求解析式【例2】（2023·高一課時練習(xí)）已知是反比例函數(shù)，且，則的解析式為（）A．B．C．D．【變式2-1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知一次函數(shù)滿足，則（）A．12B．13C．14D．15【變式2-2】（2022秋·貴州黔東南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）一次函數(shù)滿足：，則()A．1B．2C．3D．5【變式2-3】（2022秋·陜西榆林·高一?？计谥校┮阎嵌魏瘮?shù)，且滿足，，求函數(shù)的解析式.【變式2-4】（2022秋·江蘇南通·高一江蘇省如皋中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，為一次函數(shù)且為增函數(shù)，若，求的表達(dá)式．題型三換元法/配湊法求解析式【例3】（2022秋·河北石家莊·高一石家莊外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)滿足，則的表達(dá)式為．【變式3-1】（2022秋·四川遂寧·高一射洪中學(xué)?？计谥校┮阎瑒t的解析式為（）A．B．C．D．【變式3-2】（2022秋·四川成都·高一石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則（）A．B．C．D．【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則函數(shù)，=．題型四方程組法求解析式【例4】（2022秋·高一單元測試）已知函數(shù)滿足，則等于（）A．－3B．3C．－1D．1【變式4-1】（2022秋·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，且滿足，則（）A．B．C．D．【變式4-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＋2f(3－x)＝x2，則f(x)的解析式為（）A．f(x)＝x2－12x＋18B．f(x)＝－4x＋6C．f(x)＝6x＋9D．f(x)＝2x＋3【變式4-3】（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)滿足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，則f(x)的解析式為.題型五分段函數(shù)的求值問題【例5】（2022秋·廣西柳州·高二柳州市第三中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）設(shè)函數(shù)，則．【變式5-1】（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第七中學(xué)?？计谀┤艉瘮?shù)，則．【變式5-2】（2023春·云南迪慶·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，則的值為.【變式5-3】（2023春·浙江寧波·高一寧波市北侖中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，則.【變式5-4】（2022秋·福建福州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，若，則（）.A．1B．2C．3D．4題型六解分段函數(shù)不等式【例6】（2022秋·高一課時練習(xí)）已知,則使成立的的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式6-1】（2022秋·河南南陽·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù),則滿足的的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式6-2】（2022秋·江蘇淮安·高一江蘇省洪澤中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，則關(guān)于的不等式的解集為（）A．B．