統(tǒng)計學(xué)課件-參數(shù)估計

參數(shù)估計統(tǒng)計學(xué)主要內(nèi)容一、參數(shù)估計的一般問題二、總體均值的估計總體比例的估計三、必要樣本容量的確定參數(shù)估計在統(tǒng)計方法中的地位參數(shù)估計假設(shè)檢驗統(tǒng)計方法描述統(tǒng)計推斷統(tǒng)計7.1參數(shù)估計的一般問題一.估計量與估計值

二.評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)三.點估計與區(qū)間估計參數(shù)估計是用實際調(diào)查的樣本指標(biāo)來估計相應(yīng)的總體指標(biāo)的數(shù)值，由于總體指標(biāo)是反映總體數(shù)量特征的參數(shù)，例如總體平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、比例等，所以叫參數(shù)估計。指標(biāo)名稱總體參數(shù)樣本統(tǒng)計 量均值比例方差7.1.1估計量與估計值估計量：用于估計總體參數(shù)的樣本指標(biāo)如樣本均值，樣本比例、樣本方差等總體參數(shù)用

表示，估計量用

表示估計值：統(tǒng)計量的具體值如果樣本均值x

=80，則80就是的估計值7.1.2評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)1.無偏性無偏性：估計量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被 估計的總體參數(shù)。樣本的

、p是總體均值和比例的無偏估計量。P(

)BA無偏有偏2.有效性對同一總體參數(shù)的兩個無偏估計量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計量更有效AB的抽樣分布的抽樣分布P(

)3.一致性隨著樣本容量的增大，估計量的值越來越接近被估計的總體參數(shù)AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(

)7.1.3參數(shù)估計的方法估

計

方

法點

估

計區(qū)間估計1）點估計點估計就用樣本的估計量直接作為總體參數(shù)的估計值優(yōu)點：簡單、具體明確。缺點：無法說明估計結(jié)果的誤差大??；無法說明估計結(jié)果的把握程度。2）區(qū)間估計給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量加減抽樣誤差（邊際誤差）得到。（區(qū)間估計的基本原理：167.161頁。）根據(jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計量與總體參數(shù)的接近程度給出一個概率度量比如，某班級平均分?jǐn)?shù)在75～85之間，置信水平是95%樣本統(tǒng)計量(點估計)置信區(qū)間置信下限置信上限區(qū)間估計的圖示X-1.96x+1.96x-

2.58x+

2.58x90%的樣本95%的樣本99%的樣本-1.65x+1.65x由樣本統(tǒng)計量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計區(qū)間稱為置信區(qū)間區(qū)間的最小值稱為置信下限，最大值稱為置信上限。置信區(qū)間置信區(qū)間與置信水平均值的抽樣分布(1-

)%區(qū)間包含了%的區(qū)間未包含1

-

aa/2a/2正態(tài)分布曲線下右側(cè)面積將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)多次，置信區(qū)間中包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比率稱為置信水平，或稱為置信系數(shù)。比較常用的置信水平及正態(tài)分布曲線下右側(cè)面積為α/2時的z值zσ/2如下表所示。置信水平%雙測概率右側(cè)概率α/2臨界值zσ/2α900.100.051.645950.050.0251.9695.450.04552.00990.010.0052.58影響置信區(qū)間寬度的因素1.總體數(shù)據(jù)的離散程度，用

來測度 2.樣本容量3.置信水平(1-)，影響z

的大小置信區(qū)間是一個隨機(jī)區(qū)間，它會因樣本的不同而不同，而且不是所有的區(qū)間都包含總體參數(shù)的真值。7.2

一個總體參數(shù)的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計正態(tài)總體、方差巳知正態(tài)總體、方差未知總體比率的區(qū)間估計7.2.1

總體均值的區(qū)間估計正態(tài)總體、方差巳知

或非正態(tài)總體、大樣本

根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可以構(gòu)造出總體均值μ在1–α置信水平下的置信間為構(gòu)建估計區(qū)間步驟；1.計算樣本的均值

和標(biāo)準(zhǔn)差2.確定置信水平1–α、z值；3.計算樣本均值的方差、標(biāo)準(zhǔn)差：4.計算置信上下限，得出估計區(qū)間。例題分析保個人組成的隨【【機(jī)例】】一樣本，家保險得到每公司個投保集到人的由36投年齡(歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間36個投保人年齡的數(shù)據(jù)23353927364436424643收3133周425345544724

。342839364440394938344850343945484532解：已知n

=36,1-=

90%/2=

z0.05=1.6451)

確定z值,

z2)計算樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差計算樣本均值的方差、標(biāo)準(zhǔn)差：3)

總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為即：以90%的概率估計，投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲~41.63歲

例：某企業(yè)負(fù)責(zé)人想估計6000包某種材料的平均重量。隨機(jī)抽取350包的樣本，經(jīng)調(diào)查，其

均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為32公斤和7公斤。求6000包材料平均重量的置信區(qū)間（置信度為95%）。/2=

Z0.025解：確定置信水平95%、則Z

=1.96；置信區(qū)間為：31.29公斤——32.71公斤課堂練習(xí)題為調(diào)查兩家銀行的戶均存款數(shù)，從兩家銀行各抽出由25個存款戶組成的樣本。其均值分別為4500元和3250元，兩個總體的標(biāo)準(zhǔn)差分別為920和960元。根據(jù)經(jīng)驗知，兩個總體服從正態(tài)分布。分別求兩個銀行戶均存款的置信區(qū)間（置信度為90%）。2.正態(tài)總體、方差未知、小樣本·

由于用樣本方差計算的標(biāo)準(zhǔn)值服從自由度為n-1的t分布，使用t

分布統(tǒng)計量·

根據(jù)t分布建立的總體均值μ在1–α置信水平下的置信區(qū)間為·

應(yīng)根據(jù)概率α查t分布表（456頁）求t/2值。t

分布t分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布Xt

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t

分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t

(df

=

13)t

(df

=

5)Z例題分析【【例例】】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測其使用壽建立該批燈泡平均使用壽命9%的置信區(qū)16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)布，現(xiàn)從一(小時)如下。間。1510152014801500145014801510152014801490153得01510命14601460147051470解：已知Ｘ~N(

，

2)，n=16,

1-=

95%，··查t分布表（456頁）：t0.0.25（n-1）=2.131根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得：·1)樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差：總體均值

在95%置信水平下的置信區(qū)間為即：以95%的概率估計，該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8小時～1503.2小時。不同情況總體均值的區(qū)間估計總體分布■樣本容量

已知

未知■大樣本（n>=30）■小樣本（n<30）7.2.2

總體比例的區(qū)間估計假定條件當(dāng)樣本容量很大（np大于或等于5）時，樣本比例的抽樣分布可由正態(tài)分布來近似。樣本比例經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后的隨機(jī)變量Z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即：·

根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可以構(gòu)造出總體比例在1–α置信水平下的置信間為：·

實際上π未知，可以樣本的比例替代，所以總體比例的置信區(qū)間可表示為：構(gòu)建總體比例估計區(qū)間的步驟1.計算樣本的比例；2.確定置信水平、z值；3.計算樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)差：4.計算置信上下限，得出估計區(qū)間。例題分析【例】某城市想要估計下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)抽取了100個下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間。解：求樣本比例p＝65/100=65%根據(jù)

1-

=

95%，查表得z0.025=1.96求樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)差：4)

構(gòu)建置信區(qū)間：以95%的概率估計，該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%~74.35%。例：

一所大學(xué)的保健醫(yī)生想了解學(xué)生戴眼鏡的比例，隨即抽取了100名學(xué)生，其中戴眼鏡的有31人。取置信度為90%,求全校學(xué)生戴眼鏡比例的置信區(qū)間。解：p=31%；Z0.05=1.65；■■區(qū)間：23.4%——38.6%。課堂練習(xí)

某廣告公司進(jìn)行一項空調(diào)用戶特點的調(diào)查。從裝有空調(diào)的家庭中隨機(jī)抽取300戶，其中年人均收入超過了7000元的有170戶；從未裝空調(diào)的家庭中隨機(jī)抽取了200戶，其中年人均收入超過了7000元的有46戶。試對已裝空調(diào)和未裝空調(diào)的兩種家庭年人均生活費收入超過7000元的比例做區(qū)間估計（置信度為95%）。影響置信區(qū)間寬度（估計結(jié)果的準(zhǔn)確程度）的主要因素總體數(shù)據(jù)的離散程度，用

來測度樣本容量，3.置信水平(1-)，影響z

的大小7.3

必要樣本容量的確定一、必要樣本容量的影響因素二、必要樣本容量的確定三、應(yīng)注意的問題7.3.1影響必要樣本容量的因素1.總體各單位標(biāo)志值變異程度（

2）的大小，與樣本容量成正比。2.邊際誤差（抽樣誤差范圍）

E

，與樣本容量成反比。3.置信程度（水平）1-a，Z或t

，與樣本容量成正比。4.抽樣的組織形式和方法。應(yīng)合理地確定邊際誤差和置信程度，選擇合適的抽樣的組織形式和方法7.3.2必要樣本容量的確定1.估計總體均值時確定樣本容量的公式：重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣式中：【例】擁有工商管理碩士學(xué)位的畢業(yè)生年薪的標(biāo)準(zhǔn)差大約為2000元，假定想要估計年薪95%的置信區(qū)間，希望邊際誤差為400元，應(yīng)抽取多大的樣本容量？=95%查表得z解:

已知

=2000，E=400,

1-/2=1.96置信度為90%的置信區(qū)間為即應(yīng)抽取97人作為樣本。2.估計總體比例時確定樣本容量的公式重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣式中：1.

E的取值一般小于0.12.

未知時，可取最大值0.5例題分析【例】根據(jù)以往的生產(chǎn)統(tǒng)計，某種產(chǎn)品的合格率約為90%，現(xiàn)要

求邊際誤差為5%，在求95%的置信

區(qū)間時，應(yīng)抽取多少個產(chǎn)品作為樣本？=0.95，解:已知查表得Z=90%，E=5%，1-/2=1.96，應(yīng)抽取的樣本容量為應(yīng)抽取139個產(chǎn)品作為樣本課堂練習(xí)

據(jù)統(tǒng)計，具有工商管理學(xué)士學(xué)位的大學(xué)畢業(yè)生年薪的標(biāo)準(zhǔn)差約為2000元，假定想要以95%的置信水平估計年薪的置信區(qū)間，希望的誤差范圍為400元，應(yīng)抽取多少具有工商管理學(xué)士學(xué)位的大學(xué)畢業(yè)生做調(diào)查？應(yīng)抽取97人。課堂練習(xí)一家市場調(diào)查公司想估計某地區(qū)有彩色電視機(jī)的家庭所占的比例。要求估計誤差范圍不超過0.05，置信水平95%，應(yīng)抽取多少家庭做調(diào)查？（公