8.5.3+平面與平面平行課件-2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

第八章立體幾何初步8.5.3平面與平面平行教學(xué)目標(biāo)

借助長方體，通過直觀感知了解空間中平面與平面平行的關(guān)系01

理解平面與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理（重點）02能

能用已獲得的結(jié)論證明空間基本位置關(guān)系的簡單命題（難點、難點）03

04學(xué)科素養(yǎng)

平面與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理數(shù)學(xué)抽象

借助長方體，通過直觀感知了解空間中平面與平面平行的關(guān)系直觀想象

運用平面平行的判定定理、性質(zhì)定理進行推理證明邏輯推理數(shù)學(xué)運算

數(shù)據(jù)分析

數(shù)學(xué)建模01知識回顧RetrospectiveKnowledge直線與平面平行的判定定理：

平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.直線與平面平行的性質(zhì)定理：

一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行．符號語言：符號語言：應(yīng)用線面平行的判定定理證明線面平行的基本步驟：

（1）利用性質(zhì)定理在面內(nèi)找平行線;

（2）證明直線與直線平行；

常用方法：三角形的中位線定理，平行四邊形的平行關(guān)系、

成比例線段、線線平行的傳遞性．

（3）說明兩線與平面的位置關(guān)系（一條在面內(nèi)，一條不在面內(nèi)）；

（4）得出結(jié)論.02知識精講

ExquisiteKnowledge

我們首先討論平面與平面平行的判定問題．

類似于研究直線與平面平行的判定，我們自然想到要把平面與平面平行的問題轉(zhuǎn)化為直線與平面平行的問題．根據(jù)平面與平面平行的定義，可以發(fā)現(xiàn)，因為兩個平行平面沒有公共點，所以一個平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個平面沒有公共點，也就是說，如果兩個平面平行，那么一個平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個平面平行．因為這個定義給出了兩個平面平行的充要條件，所以可以想到，如果一個平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面一定平行．

如何判定一個平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個平面呢?有沒有更簡便的方法?

根據(jù)基本事實的推論2，3，過兩條平行直線或兩條相交直線，有且只有一個平面.由此可以想到，如果一個平面內(nèi)有兩條平行或相交的直線都與另一個平面平行，是否就能使這兩個平面平行?

我們可以借助以下兩個實例進行觀察.如圖8.5-11（1），a和b分別是矩形硬紙片的兩條對邊所在直線，它們都和桌面平行，那么硬紙片和桌面平行嗎?如圖8.5-11（2），c和d分別是三角尺相鄰兩邊所在直線，它們都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行嗎?

如果一個平面內(nèi)有兩條平行直線與另一個平面平行，這兩個平面不一定平行．我們借助長方體模型來說明．如圖，在平面A′ADD′內(nèi)畫一條與AA′平行的直線EF，顯然AA′與EF都平行于平面D′DCC′，但這兩條平行直線所在平面A′ADD′與平面D′DCC′相交．

如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，這兩個平面是平行的．如圖，平面ABCD內(nèi)兩條相交直線AC，BD分別與平面A′B′C′D′內(nèi)兩條相交直線A′C′，B′D′平行．由直線與平面平行的判定定理可知，這兩條相交直線AC，BD都與平面A′B′C′D′平行．此時，平面ABCD平行平面A′B′C′D′．兩條相交直線和兩條平行直線都可以確定一個平面．為什么可以利用兩條相交直線判定兩個平面平行，而不能利用兩條平行直線呢？你能從向量的角度解釋嗎？

平面內(nèi)的兩條相交直線代表兩個不共線向量，而平面內(nèi)的任意向量都可以以它們?yōu)榛走M行線性表示，從而平面內(nèi)的兩條相交直線可以“代表”這個平面上的任意一條直線；而兩條平行直線所表示的向量是共線的，它們不能作為平面內(nèi)的任意向量的基底，用它們不能“代表”這個平面上的任意一條直線．平面與平面平行的判定定理：

如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.圖形語言：abαβP符號語言：

定理告訴我們，可以由直線與平面平行判斷平面與平面平行．即將平面與平面的平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線與平面的平行關(guān)系.【練習(xí)】判斷下列說法正確的有（）A．若平面α內(nèi)的兩條直線分別與平面β平行，則α與β平行B．若平面α內(nèi)有無數(shù)條直線分別與平面β平行，則α與β平行C．一個平面α內(nèi)兩條不平行的直線都平行于β平面，則α與β平行D．若一個平面內(nèi)的任何一條直線都平行另一個平面，則這兩個平面平行CD【練習(xí)】判斷下列說法正確的有（）A．若一個平面α內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個平面β，則α//βB．平行于同一條直線的兩個平面平行C．平行于同一個平面的兩個平面平行D．一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交ACD問題：在實際生活中，工人師傅將水平儀在桌面上交叉放置兩次，如果水平儀的氣泡兩次都在中央，就能判斷桌面是水平的，你能說明這么做的道理嗎？【例1】如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，求證：平面AB1D1//平面BC1D．【練習(xí)】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點，點P在上底面A1B1C1D1內(nèi)運動，若PE∥平面BDF，請畫出點P的軌跡．

下面我們研究平面與平面平行的性質(zhì)，也就是在平面與平面平行的條件下，探究可以推出哪些結(jié)論．

一個平面內(nèi)的直線必平行另一個平面；

兩平行平面中的直線間又有什么關(guān)系呢？從中能夠得出什么結(jié)論呢？根據(jù)已有的研究經(jīng)驗，我們先探究兩個平行平面內(nèi)的直線具有什么位置關(guān)系．如圖，借助長方體模型，我們看到，B'D'所在的平面A'C'與平面AC平行，所以B'D'與平面AC沒有公共點．也就是說，B'D'與平面AC內(nèi)的所有直線沒有公共點．因此，直線B'D'與平面AC內(nèi)的所有直線要么是異面直線，要么是平行直線．

分別位于兩個平行平面內(nèi)的兩條直線什么時候平行呢？我們?nèi)匀灰罁?jù)基本事實的推論進行分析：如果α//β，a?α，b?β，且a//b，那么過a，b有且只有一個平面γ．這樣，我們可以把直線a，b看成是平面γ與平面α，β的交線．

于是可以猜想：

兩個平行平面同時與第三個平面相交，所得的兩條交線平行．

下面，我們來證明這個結(jié)論.已知：α//β，α∩γ=a，β∩γ=b.

（如圖）證明：a//b．

兩個平面平行的性質(zhì)定理：

兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行．符號語言：兩平面平行的性質(zhì)定理：【練習(xí)】兩個平行平面與另兩個平行平面相交所得四條直線的位置關(guān)系為

A．兩兩相互平行

B．兩兩相交于一點

C．兩兩相交但不一定交于同一點

D．兩兩相互平行或交于同一點【例5】求證：夾在兩個平行平面間的平行線段相等．如圖，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求證：AB＝CD．又AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∴AB＝CD．證明：過平行線AB，CD作平面γ，與平面α和β分別相交于AC和BD．∵α∥β，

∴BD∥AC．直線與直線平行直線與平面平行平面與平面平行面面平行的性質(zhì)定理線面平行的判定定理線面平行的性質(zhì)定理面面平行的判斷定理面面平行的性質(zhì)面面平行的判定的推論線線平行、線面平行、面面平行之間的轉(zhuǎn)化：【練習(xí)】如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)，R分別是棱PA，PB，PC，AB上的點，且平面DEF∥平面ABC，直線PR交直線DE于點Q．求證：直線CR∥直線FQ．【練習(xí)】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)面對角線AB1，BC1上分別有兩點E，F(xiàn)，且B1E＝C1F.求證：EF∥平面ABCD.∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，易得EG∥平面ABCD，F(xiàn)G∥平面ABCD，又∵EG∩FG＝G，EG，F(xiàn)G?平面EFG，∴平面EFG∥平面ABCD，又∵EF?平面EFG，∴EF∥平面ABCD.【練習(xí)】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)面對角線AB1，BC1上分別有兩點E，F(xiàn)，且B1E＝C1F.求證：EF∥平面ABCD.03拓展提升ExpansionAndPromotion04歸納總結(jié)SumUp兩個平面平行的性質(zhì)定理：

兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行．符號語言：平面與平面平