二面角專題習(xí)題

學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考求二面角專題I、如圖，-平山EAD」甲出ABCDrADE;是等過三角形，ABCD是矩形,F,G&別是AEAD的中點,ECS平面.AHCD成用好角＞(I)求正」EGI平面ABCD；⑵若AD=2,求二一血角E-FC-G的生數(shù).2.如圖，在校長為a的正方體OABCOAEC中，JF分別是棱AE、BC上的動點？旦A&BR⑴求證:AFCE⑵當(dāng)三極錐中-REF的體積展得最大值時,求二面角B--EF-B的大小(結(jié)果用反三仙函數(shù)表示).3、如圖，已知平行六面體ABCD-ABC]D1的底血ABCD是菱形一旦Z（：lCE=ZClCD^/BCD=60^⑴證明;C|C_BD；g=-⑵假定CD=2， 2，記面GBD為a,面CBD為b,求8i角a-BD-b的-平面角的余弦值；CDa）：“CC]的值為多少對，能使％CLPinjGBD?如凰拉CD-ARCD捉長方體，側(cè)棱A4長為1,底面為正方體且邊長為2,E是棱用中馬求血3DE與面CDE所成二面角的正切位.A1C

A1C爾圖：已知四棱錐P—ABCD的戊面為巨角梯形,AD//BC,ZBCD=9()TPA=PB,PC=PD.1)?征叨平面PAB_L￥面ABCD;2)如果CD=AD+BC,二面角P—BC—A等十60’，求一，面角P—CD—A的1,過正方形ABCD的頂點A作尸4人平面A8CD.設(shè)PA二AB二日，求二面角8-PC-。的大小。.如圖所示，四棱錐F-A4CD的底面ABC。是邊長為1的菱形，NBCO=60‘，E是8的中點，PAL底面ABCD,PA=4i.(I)證明:平面FNE_L平面PABi(11)求二面角從一3￡一尸的大小.如圖，在底面為直角梯形的四棱錐八工38中泊￡)〃叱ZABC=yO0,PA_L平而AECOPA=3,AD=2rAB=lJi再c=6.(I)求證：8口L平面產(chǎn)AC；(II)求二面角P-BD-A的大小.

4:如圖，在四棱錐尸-MOQ中，P4_L底面從RCDABLAD.ACLCD,ZABC-60°PA=AB=BCtE是尸C的中點.（I）求FB和平面逐日所成的角的大小；（II）證明同包平面吒巴cm）求二面角%-F。=匚的大小.與.初圖，在四橫領(lǐng)戶一中，底面與是矩形.已知AE="An=2,產(chǎn)q=2,PL>=2V2,上戶a狀—6cr_CI）證明八^-L平面「八片：CIT）求:沖面耳線產(chǎn)U與AD所成的角的人小。略過MCIU）求二面角片一"D-A的正切俏一

如何用空間向量求解二面角求解二面角大小的方法很多，諸如定義法、三垂線法、垂面法、射影法、向量法等假設(shè)干種。而這些方法中最簡單易學(xué)的就是向量法，但在實際教學(xué)中本人發(fā)現(xiàn)學(xué)生利用向量法求解二面角還是存在一些問題，究其原因應(yīng)是對向量法的源頭不盡了解。本文就簡要介紹有關(guān)這類問題的處理方法，希望對大家有所幫助。在立體幾何中求二面角可歸結(jié)為求兩個向量的夾角問題.對于空間向量a、b，有cos<a,石>=?,力.利用這一結(jié)論，我們可以?a?.⑻較方便地處理立體幾何中二面角的問題.例1在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面丫人口是正三角形，平面VAD，底面ABCD.求面丫人口與面丫口8所成的二面角的大小.證明：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形邊得AS=(0,1,0),是面丫人口的法向量，得AS=(0,1,0),是面丫人口的法向量，設(shè)a=(1,y,2)是面丫口8的法向量，則3n?班=0,nn3n?班=0,nn?Va=0.%：3nn=(1，-1，z———3..COS<AA，n〉A(chǔ)n=-21,,7IABI-InI學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考又由題意知，面丫人口與面VDB所成的二面角為銳角，所以其大小為arccos<21arccos<21例2如圖，直三棱柱ABC—A例2如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，NACB=90。,AC=1,CB=j2，側(cè)棱人人=1，側(cè)面人人4劣的兩條對角線交點為D，B1c1的中點為M.⑴求證CD，平面BDM；⑵求面BBD與面CBD所成二面角的大小.1解：⑴略⑵如圖，以C為原點建立坐標(biāo)系.設(shè)BD中點為G,連結(jié)B1G,則依吟，依吟，4，4），BD=（一弓，2，2），叩=（—5叩=（—5，—3，4），二?BD?BG=0,ABD±BG.又CD，BD,???CD與bG的夾角6等于所1求二面角的平面角.,八CDBG 33??cos6= 1 =—2_._._. 3ICDI-IBGI1所以所求二面角的大小等于?！猘rccosg.例3如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD，底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點，作EFLPB交PB于點尸.求二面角C—PB—D的大小

解：如下圖建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點，設(shè)DC=aTOC\o"1-5"\h\z設(shè)點F的坐標(biāo)為(x,y,z)解：如下圖建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點，設(shè)DC=afS=k1TB，貝U(x，y，z—a)=k(a，a，-a)?000從而x=ka,y=ka,z=(1-k)a.所以0 0 0a(-i2-y0,a-z)=(-ka,(--k)a,(k-i)a(-i2-y0,???點F的坐標(biāo)為(3,a2a. 日ffbaaa a、一，——)，日PE=(——，一，一—)，3 3 36 6由條件EF，PB知，TE,P???點F的坐標(biāo)為(3,a2a. 日ffbaaa a、一，——)，日PE=(——，一，一—)，3 3 36 6ffSaaa2aFD=(一一，——，———)，3 3 3?tts.tts?tts.tts a2a22a2??PB FD=----+ =0，3 3 3即PB1FD，故/EFD是二面角C—PB—D的平面角.??拓?—PB—D的平面角.??拓?FD==竺-竺+竺=竺,918a2a2a2<6—十—+—=--a，93636 6I叫a+?+葛罟a,PlS-TDPlS-TD??cos/EFD= ITEIIFDIa2~6<6 6—a,-

6 31 ?！???/EFD=一?2 3a所以,二面角CTB-D的大小為g.例4已知三棱柱OAB—OAB中，平面OBBO，平面OAB，N1 1 1AOB=90°，/OOB=60°，且OB=OO=2,1 1OA=<3，求二面角O—AB—o的大小.1解：以O(shè)為原點，分別以O(shè)A，OB所在的直線為x,y軸，過。點且與平面AOB垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.如圖,則o（0，0，0），O（0，1，⑸），A（.,3，0,10），A（.\3，1，v3），B（0，2，0）.1?二AO=（一<3，1，.<3），~AB=（一<3，2，0）.1顯然O為平面AOB的法向量，取n=（0,0,1），設(shè)平面OAB的1 1法向量為n2=（x,y,z）,貝IJn?叫=0,4,~aS=0.z=1,則nj(2,v3