第8章-常微分方程87簡(jiǎn)單應(yīng)用課件

中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組第8章常微分方程高等數(shù)學(xué)A8.4微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組第8章常微分方程高8.4微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用利用微分方程求函數(shù)習(xí)例1-7

微分方程在幾何上的應(yīng)用習(xí)例8-11微分方程在物理和力學(xué)上的應(yīng)用習(xí)例12-13應(yīng)用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用8.4微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用利用微分方程求函數(shù)習(xí)例1-7微一、應(yīng)用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟1、根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際背景，利用數(shù)學(xué)和有關(guān)學(xué)科知識(shí)，建立微分方程，確定定解條件；2、根據(jù)方程的類型，用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪龇匠痰耐ń猓?、對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行具體分析，解釋其實(shí)際意義。如果它與實(shí)際相差太遠(yuǎn)，則就應(yīng)該修改模型，重新求解。一、應(yīng)用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟1、根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際背景1.建立數(shù)學(xué)模型—列微分方程問(wèn)題建立微分方程(共性)利用物理規(guī)律利用幾何關(guān)系確定定解條件(個(gè)性)初始條件邊界條件可能還有銜接條件2.解微分方程問(wèn)題3.分析解所包含的實(shí)際意義1.建立數(shù)學(xué)模型—列微分方程問(wèn)題建立微分方程(共二、利用微分方程求解函數(shù)習(xí)例例3這里的“函數(shù)方程”包括變上限積分、重積分、線面積分的方程以及偏微分方程等。二、利用微分方程求解函數(shù)習(xí)例例3這里的“函數(shù)方程”包括變內(nèi)滿足以下條件:(1)求

所滿足的一階微分方程;(2003考研)(2)求出的表達(dá)式.例4設(shè)其中函數(shù)

在(－∞,+∞)內(nèi)滿足以下條件:(1)求所滿足的一階微第8章-常微分方程87簡(jiǎn)單應(yīng)用課件解原方程是一個(gè)帶有變上限積分的方程，在其兩端分別對(duì)x求導(dǎo)，得上式兩端再對(duì)x求導(dǎo)，得解原方程是一個(gè)帶有變上限積分的方程，在其兩端分別對(duì)x求導(dǎo)，得這是變量可分離方程，分離變量并積分得這是變量可分離方程，分離變量并積分得解即解即此方程的特征方程為代入微分方程得故其特解為此方程的特征方程為代入微分方程得故其特解為從而方程的通解為注意到，由由此確定通解中的任意常數(shù)從而方程的通解為注意到，由由此確定通解中的任意常數(shù)例3

設(shè)提示:對(duì)積分換元,則有解初值問(wèn)題:答案:例3設(shè)提示:對(duì)積分換元,則有解初值問(wèn)題:答案:解:(1)所以

滿足的一階線性非齊次微分方程:內(nèi)滿足以下條件:(1)求

所滿足的一階微分方程;(2003考研)(2)求出的表達(dá)式.例4設(shè)其中函數(shù)

在(－∞,+∞)解:(1)所以滿足的一階線性非齊次微分(2)由一階線性微分方程解的公式得于是(2)由一階線性微分方程解的公式得于是解令這是一個(gè)一階線性方程，其通解為解令這是一個(gè)一階線性方程，其通解為第8章-常微分方程87簡(jiǎn)單應(yīng)用課件例6解這是一個(gè)含二重積分的函數(shù)方程，顯然f(0)=1,由于例6解這是一個(gè)含二重積分的函數(shù)方程，顯然f(0)=1,由于所以這是一個(gè)一階線性方程，其通解為所以這是一個(gè)一階線性方程，其通解為解這是一個(gè)偏微分方程，可通過(guò)多元函數(shù)微分法化為常微分方程來(lái)解。因?yàn)榻膺@是一個(gè)偏微分方程，可通過(guò)多元函數(shù)微分法化為常微分方程來(lái)解代入原方程，得這是一個(gè)二階常系數(shù)齊次方程，其特征方程為代入原方程，得這是一個(gè)二階常系數(shù)齊次方程，其特征方程為三、微分方程在幾何上的應(yīng)用習(xí)例二階可導(dǎo),且(1999考研)上任一點(diǎn)作該曲線的切線及軸的垂線,上述兩直線與

軸圍成的三角形面積積記為區(qū)間[0,]上,以為曲邊的曲邊梯形面積記為例9在上半平面求一條上凹的曲線，其上任一點(diǎn)三、微分方程在幾何上的應(yīng)用習(xí)例二階可導(dǎo),且(1999考例11求經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的曲線族，在其上任一點(diǎn)M例10在連接點(diǎn)A(0,1)和B(1,0)的一條上凸的曲線上任取一例11求經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的曲線族，在其上任一點(diǎn)M例10在連二階可導(dǎo),且解于是(1999考研)上任一點(diǎn)作該曲線的切線及軸的垂線,上述兩直線與

軸圍成的三角形面積積記為區(qū)間[0,]上,以為曲邊的曲邊梯形面積記為在點(diǎn)處的切線傾角為

,二階可導(dǎo),且解于是(1999考研)上任一點(diǎn)再利用y(0)=1得利用得兩邊對(duì)x

求導(dǎo),得定解條件為方程化為利用定解條件得得故所求曲線方程為再利用y(0)=1得利用得兩邊對(duì)x求導(dǎo),得定例9在上半平面求一條上凹的曲線，其上任一點(diǎn)QoyxP(1,1)11解根據(jù)題意得微分方程例9在上半平面求一條上凹的曲線，其上任一點(diǎn)QoyxP(從而從而故，所求曲線方程為故，所求曲線方程為例10在連接點(diǎn)A(0,1)和B(1,0)的一條上凸的曲線上任取一解B(1,0)oyxP(x,y)A(0,1)x3例10在連接點(diǎn)A(0,1)和B(1,0)的一條上凸的曲第8章-常微分方程87簡(jiǎn)單應(yīng)用課件例11求經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的曲線族，在其上任一點(diǎn)MToyxM(x,y)P解例11求經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的曲線族，在其上任一點(diǎn)MToyxM(x,第8章-常微分方程87簡(jiǎn)單應(yīng)用課件第8章-常微分方程87簡(jiǎn)單應(yīng)用課件四、微分方程在物理和力學(xué)上的應(yīng)用習(xí)例例12.一鏈條掛在一釘子上,啟動(dòng)時(shí)一端離釘子8m,另一端離釘子12m,如不計(jì)釘子對(duì)鏈條所產(chǎn)生的摩擦力,求鏈條滑下來(lái)所需的時(shí)間.例13.從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器,按探測(cè)要求需確定儀器的下沉深度y與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系.設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉,在下沉過(guò)程中還受到阻力和浮力作用,設(shè)儀器質(zhì)量為m,體積為B,海水比重為

,儀器所受阻力與下沉速度成正比,比例系數(shù)為k(k>0),試建立y與v所滿足的微分方程,并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=y(v).

(1995考研)

四、微分方程在物理和力學(xué)上的應(yīng)用習(xí)例例12.一鏈條掛在一釘例12.一鏈條掛在一釘子上,啟動(dòng)時(shí)一端離釘子8m,另一端離釘子12m,如不計(jì)釘子對(duì)鏈條所產(chǎn)生的摩擦力,求鏈條滑下來(lái)所需的時(shí)間.解建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)在時(shí)刻

t,鏈條較長(zhǎng)一段下垂x

m,又設(shè)鏈條線密度為常數(shù)此時(shí)鏈條受力由Newton第二定律,得例12.一鏈條掛在一釘子上,啟動(dòng)時(shí)一端離釘子8m,另一端離由初始條件得故定解問(wèn)題的解為解得(s)微分方程通解:當(dāng)x=20m時(shí),思考:若摩擦力為鏈條1m長(zhǎng)的質(zhì)量,定解問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是什么?由初始條件得故定解問(wèn)題的解為解得(s)微分方程通解:當(dāng)x摩擦力為鏈條1m長(zhǎng)的質(zhì)量時(shí)的數(shù)學(xué)模型為不考慮摩擦力時(shí)的數(shù)學(xué)模型為此時(shí)鏈條滑下來(lái)所需時(shí)間為摩擦力為鏈條1m長(zhǎng)的質(zhì)量時(shí)的數(shù)學(xué)模型為不考慮摩擦力時(shí)例13從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器,按探測(cè)要求

需確定儀器的下沉深度

y

與下沉速度

v

之間的函數(shù)

關(guān)系.設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉,在下沉過(guò)程中還受到阻力和浮力作用,設(shè)儀器質(zhì)量為m,體積為B,海水比重為

,儀器所受阻力與下沉速度成正比,比例系數(shù)為k(k>0),試建立y與v所滿足的微分方程,并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=