第一節(jié)定積分概念

第一節(jié)定積分概念第1頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)定積分概念

為了解決具有可加性的連續(xù)分布的非均勻量的求和問題，人們從大量實際問題的研究中抽象出來的具有重大理論意義的定積分概念———計算一個取和式的極限。第2頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月一、定積分概念的引入1.曲邊梯形的面積

閉曲線圍成圖形的面積，通?？梢曰癁閮蓚€（或多個）曲邊梯形面積的代數(shù)和。所以求任意閉曲線圍成圖形面積的過程可以統(tǒng)一，歸結(jié)到求曲邊梯形的面積上來。第3頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月

曲邊梯形是由三條直邊和一條曲線邊圍成的“梯形”(見右圖）。曲線由定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)給出，三條直邊分別是：第4頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月實例一：計算曲邊梯形面積的方法

首先將曲邊梯形劃分成若干窄曲邊梯形，再用矩形面積近似替代窄曲邊梯形面積，然后通過求和逼近的途徑解決。第5頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月⑴分割：將總量劃分為若干部分量在區(qū)間上，任意插入個分點：各區(qū)間長度為：第6頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月⑵近似：用局部線性化的方法求部分量的近似值。在子區(qū)間上任取一點以為底

為高的窄矩形面積為第7頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月作為第個窄曲邊梯形面積的近似值。第8頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月第9頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月⑶求和：以部分量近似值之和作為總量的近似值。

將得到的個窄曲邊梯形面積近似值的和作為曲邊梯形面積 的近似值第10頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月⑷逼近：無限細分，求和式極限，由近似值過渡到精確值。

設(shè)最大子區(qū)間長度為，即令，所有的子區(qū)間長度都將趨于零，此時，和式面積曲邊梯形面積第11頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月

定義:

時和式的極限為曲邊梯形的面積，即第12頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月實例二：計算直線運動中變力做功的方法

設(shè)質(zhì)點沿軸做直線運動，與運動方向平行的力作用于質(zhì)點，力的大小是變化的，可以表示為質(zhì)點坐標的函數(shù)，即按物理學(xué)概念，恒力的功定義為：第13頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月

如何在恒力做功定義的基礎(chǔ)上，確定變力在質(zhì)點由移動到全過程中所做的功呢？問題：第14頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月

我們可以類似于曲邊梯形面積的計算，將整個過程分為很多子過程，變力在全過程中所做的功等于它在所有子過程中做功的代數(shù)和。

即在足夠短的子過程中近似認為力為恒力，從而利用恒力做功的定義求解總功。第15頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月

故在質(zhì)點運動區(qū)間上，任意插入 個分點：將區(qū)間劃分為個子區(qū)間：各子區(qū)間長度分別為：第16頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月在子區(qū)間上任取一點

按恒力做功的定義，用質(zhì)點在該點所受的力與這個子區(qū)間的長度的乘積近似表示變力在這個子過程中所做的功.

因此，變力在全過程中所做功的近似值為第17頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)，定義變力在全過程中對質(zhì)點所做的功為

上述兩個問題分屬幾何學(xué)和力學(xué)，沒有直接聯(lián)系，但是分析方法相同，若抽去問題的具體內(nèi)容，抓住變量在區(qū)間上積累的共同本質(zhì)，就可以概括出定積分的概念：第18頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月⑴函數(shù)在區(qū)間上的定積分，是函數(shù)在區(qū)間上的積累，或者說是這個變化過程在區(qū)間產(chǎn)生的總效果。⑵解決定積分的基本方法是局部線性化方法和極限方法的結(jié)合。定積分概念包含以下兩方面內(nèi)容：第19頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、定積分定義

設(shè)函數(shù),在區(qū)間上,任意插入個分點：把分成個子區(qū)間區(qū)間長度分別為第20頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月

在區(qū)間上任取一點,將函數(shù)值與子區(qū)間長度的乘積 取和有——稱為Riemann和記第21頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月

如果不論分點對區(qū)間如何分割，也不論在子區(qū)間上如何選取點，只要 時，Riemann和趨于確定的常數(shù)，則稱此極限值為函數(shù)在該區(qū)間上的定積分，記為——稱為Riemann和的極限第22頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月——稱為Riemann和的極限式中，稱為積分變量，稱為被積函數(shù)， 稱為被積表達式；稱為積分區(qū)間， 分別稱為積分下限和上限。第23頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月但是，如果Riemann和的極限存在就不再與分割方式和選法有關(guān)了。

應(yīng)該指出，的極限過程必然是，而不一定有。注意：⑴Riemann和隨區(qū)間的分割方式，以及在子區(qū)間上的選法不同而不同。第24頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月⑵當Riemann和的極限存在時，定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間 有關(guān)，與積分變量的字母表示無關(guān)，即(3)這里需要注意：定積分是個數(shù)值。第25頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月三、函數(shù)可積的充分條件如果存在，則稱函數(shù)可積分。

函數(shù)在區(qū)間上可積的充分條件由下述定理給出：第26頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1

如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間上可積。定理2

如果函數(shù)在區(qū)間上有界，且只有有限個間斷點，則函數(shù)在區(qū)間 上可積。注：表示在區(qū)間