第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念

第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念第1頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月一、多元函數(shù)的概念（1）鄰域回憶第2頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）鄰域一、多元函數(shù)的概念°°第3頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）區(qū)域例如，即為開集．內(nèi)點(diǎn).內(nèi)點(diǎn)：開集：開集.第4頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月邊界點(diǎn)：邊界點(diǎn).連通：連通的.第5頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月開區(qū)域：連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．例如，例如，閉區(qū)域：第6頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于點(diǎn)集E，如果存在正數(shù)K，使一切點(diǎn)P∈E

與某一點(diǎn)A間的距離|AP|不超過K，即對(duì)于一切點(diǎn)P∈E成立，則稱E為有界點(diǎn)集。否則稱為無界點(diǎn)集.有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域．例如，第7頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）聚點(diǎn)（1）內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說明：（2）邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；例如，(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)．補(bǔ)充第8頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,0)

是聚點(diǎn)但不屬于集合．例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合．（1）內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說明：（2）邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；例如，(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)．第9頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）n維空間實(shí)數(shù)x一一對(duì)應(yīng)數(shù)軸點(diǎn).數(shù)組(x,y)實(shí)數(shù)全體表示直線(一維空間)一一對(duì)應(yīng)平面點(diǎn)(x,y)全體表示平面(二維空間)數(shù)組(x,y,z)一一對(duì)應(yīng)空間點(diǎn)(x,y,z)全體表示空間(三維空間)推廣：n維數(shù)組(x1,x2,…,xn)全體稱為n維空間，記為第10頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月n維空間中兩點(diǎn)間距離公式

設(shè)兩點(diǎn)為特殊地，當(dāng)

n=1,2,3時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離．n維空間中鄰域概念：區(qū)域、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義．第11頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月（5）二元函數(shù)的定義回憶點(diǎn)集D---定義域，---值域.x、y

---自變量，z---因變量.第12頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．點(diǎn)集D---定義域，---值域.x、y

---自變量，z---因變量.函數(shù)的兩個(gè)要素:定義域、對(duì)應(yīng)法則.第13頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月與一元函數(shù)相類似，對(duì)于定義域約定：定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切點(diǎn)集.例1求的定義域．解所求定義域?yàn)榈?4頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月（6）二元函數(shù)的圖形（如下頁圖）第15頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.第16頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例如,圖形如右圖.例如,左圖球面.單值分支:第17頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月二、多元函數(shù)的極限第18頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月利用點(diǎn)函數(shù)的形式有第19頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月說明：（1）定義中的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似．（4）二重極限的幾何意義：

>0，P0的去心

鄰域oU(P0,

)。在oU(P0,

)內(nèi)，函數(shù)的圖形總在平面及之間。第20頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例2求證證當(dāng)時(shí)，原結(jié)論成立．第21頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：是指

P以任何方式趨于P0.一元中多元中第22頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月確定極限不存在的方法：第23頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例3設(shè)解但取其值隨

k的不同而變化。不存在．故第24頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例4求解第25頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例5求極限解其中第26頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月三、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3定義3′第27頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：二元函數(shù)可能在某些孤立點(diǎn)處間斷，也可能在曲線上的所有點(diǎn)處均間斷。例如，因此，第28頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)。一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．在定義區(qū)域內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)求極限可用“代入法”：第29頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例6求極限解是多元初等函數(shù)。定義域：于是，（不連通）第30頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例７解第31頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理第32頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月四、小結(jié)