高中解析幾何教學(xué)策略-數(shù)學(xué)史的視角

..高中解析幾何教學(xué)策略——數(shù)學(xué)史的視角鐵安宋乃慶【摘要】充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教育的作用和成效，應(yīng)全面深入挖掘數(shù)學(xué)史中對數(shù)學(xué)課程具有啟發(fā)意義和教育價值的科學(xué)與文化要素，并應(yīng)用于具體的數(shù)學(xué)教學(xué)．笛卡爾解析幾何思想是一個整體文化系統(tǒng)．以笛卡爾數(shù)學(xué)思想的文化涵為素材，制訂高中解析幾何教學(xué)策略，可以有效地促進(jìn)高中解析幾何教學(xué)，從而更好地實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)．基于笛卡爾數(shù)學(xué)思想，可制訂如下具體的教學(xué)策略：〔1〕整體文化驅(qū)動；〔2〕核心概念統(tǒng)領(lǐng)；〔3〕思想構(gòu)造分拆整合；〔4〕雙向模式轉(zhuǎn)化．關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史笛卡爾解析幾何1導(dǎo)言立足于數(shù)學(xué)史的視角審思數(shù)學(xué)，對認(rèn)識、理解數(shù)學(xué)教育具有啟發(fā)意義．?dāng)?shù)學(xué)史有機(jī)地融入到數(shù)學(xué)教育中也是數(shù)學(xué)新課程的根本理念之一．要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教育的作用和成效，應(yīng)全面深入挖掘數(shù)學(xué)史中對數(shù)學(xué)課程具有啟發(fā)意義和教育價值的科學(xué)與文化要素，并應(yīng)用于具體的數(shù)學(xué)教學(xué)．本文通過分析挖掘笛卡爾解析幾何思想的科學(xué)與文化涵，并基于笛卡爾數(shù)學(xué)思想，提出高中解析幾何教學(xué)的假設(shè)干策略．2高中解析幾何課程與教學(xué)現(xiàn)狀概述高中解析幾何課程是一門以解析幾何學(xué)的根本容和思想為背景材料，用代數(shù)方法研究平面幾何問題的學(xué)科．課程容主要包括空間坐標(biāo)系、直線與圓的方程、圓錐曲線、參數(shù)方程與極坐標(biāo)等．這些容是初中平面幾何學(xué)習(xí)的繼續(xù)、容的擴(kuò)大、方法的提升，是初等代數(shù)演繹的載體、應(yīng)用的平臺，是學(xué)生升入大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)空間解析幾何、線性代數(shù)和微積分的根底．高中解析幾何課程在整個初等數(shù)學(xué)中占據(jù)非常重要的地位．高中解析幾何既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種重要的數(shù)學(xué)方法，其核心是數(shù)形結(jié)合的思想方法，這一思想方法在初等數(shù)學(xué)的其它領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用．同時，在解決解析幾何問題過程中，還要用初等數(shù)學(xué)中許多其它的思想方法，如映射、化歸、方程、函數(shù)、分類、變換、參數(shù)等思想方法，高中解析幾何可謂數(shù)學(xué)思想的"戰(zhàn)場〞．所以，高中解析幾何課程具有培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的成效．而且，解析幾何學(xué)是17世紀(jì)數(shù)學(xué)開展的重大成果之一，對數(shù)學(xué)的開展產(chǎn)生了重要影響，它的創(chuàng)立在數(shù)學(xué)開展史上具有劃時代意義．也蘊(yùn)涵著笛卡爾獨(dú)樹一幟的數(shù)學(xué)精神、思想和方法，個性品質(zhì)以及創(chuàng)造創(chuàng)造的思維線索和心理歷程．因此，高中解析幾何課程更具有豐富的文化價值和教育價值，是提高學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)和整體文化認(rèn)知水平的一個典型例．然而，目前高中解析幾何課程在實(shí)施過程中沒有全面、完整、準(zhǔn)確、有效地實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)．調(diào)查結(jié)果說明，高中解析幾何教學(xué)還存在諸多問題．主要表現(xiàn)在如下幾個方面：〔1〕教師對解析幾何課程的本質(zhì)及其教學(xué)宗旨存在一定的偏頗或欠缺；〔2〕課程目標(biāo)和教學(xué)容偏窄；〔3〕課程目標(biāo)與教學(xué)實(shí)際背離；〔4〕教學(xué)方式單一，課堂缺乏探究與交流；〔5〕學(xué)生對解析幾何課程的理解淺薄，學(xué)習(xí)興趣初濃漸淡；〔6〕高考評價導(dǎo)向存在一定的偏頗或欠缺．具體地，絕大多數(shù)教師往往認(rèn)為解析幾何的學(xué)科性質(zhì)是偏重于代數(shù)的，學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的宗旨就是要學(xué)會代數(shù)計算和代數(shù)方法；課程目標(biāo)就是讓學(xué)生學(xué)會列方程，熟練解方程，即使注重數(shù)形結(jié)合這一核心思想，也側(cè)重于幾何問題代數(shù)化這單一的方面；教學(xué)上偏重于列方程和解方程，以訓(xùn)練算法為主，靠做大量習(xí)題提高代數(shù)技巧，無視對代數(shù)結(jié)果的幾何含義分析，無視幾何方法的簡潔性和有效性，甚至有去幾何化的傾向，很少介紹解析幾何產(chǎn)生的背景，笛卡爾創(chuàng)立解析幾何的思想方法，它在數(shù)學(xué)史中的獨(dú)特地位，以及這一學(xué)科的巨大威力．對解析幾何這種簡單的處理，使許多學(xué)生在解析幾何課程學(xué)習(xí)中沒有感受到它的科學(xué)價值、文化價值和教育價值；學(xué)生學(xué)習(xí)方法單調(diào)，思維方式單一，沉湎于機(jī)械訓(xùn)練，直覺思維和創(chuàng)造力受阻，學(xué)習(xí)興趣初濃漸淡，終因難而厭．不容無視的是，高考數(shù)學(xué)試題中解析幾何的容也多以列方程、解方程的題材為主，學(xué)生在高考中，涉及解析第2期鐵安等：高中解析幾何教學(xué)策略——數(shù)學(xué)史的視角91幾何容的題目的得分從總體上看并不低，這也在客觀上影響了目前高中解析幾何教學(xué)的導(dǎo)向．改變目前高中解析幾何課程與教學(xué)的現(xiàn)實(shí)境況，探索如何在數(shù)學(xué)新課程理念下科學(xué)、有效地實(shí)施解析幾何課程，就顯得十分必要而迫切．一種可行的策略是充分借助數(shù)學(xué)史的力量．通過分析挖掘笛卡爾創(chuàng)立解析幾何過程中表達(dá)的數(shù)學(xué)思想，并基于笛卡爾數(shù)學(xué)思想制訂教學(xué)假設(shè)干策略，可以有效地促進(jìn)高中解析幾何教學(xué)，從而更好地實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)．3笛卡爾解析幾何思想的涵——數(shù)學(xué)文化學(xué)的視角數(shù)學(xué)文化學(xué)是指從文化這樣一個特殊的視角認(rèn)識、理解、分析數(shù)學(xué)．由于影響數(shù)學(xué)開展的文化因素是多方面的，數(shù)學(xué)也具有廣泛的文化特征與文化價值，所以，數(shù)學(xué)文化學(xué)就從更為廣泛的角度指明了影響數(shù)學(xué)歷史開展的各個因素，而且也直接涉及了對于數(shù)學(xué)本質(zhì)及其價值的認(rèn)識[1]．?dāng)?shù)學(xué)文化學(xué)是數(shù)學(xué)史研究的一個重要式．通過數(shù)學(xué)文化學(xué)分析數(shù)學(xué)，既可以厘清影響數(shù)學(xué)開展的各個因素，也可以充分解析出數(shù)學(xué)的文化價值．以數(shù)學(xué)文化學(xué)為分析框架分析笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何，本文認(rèn)為，笛卡爾解析幾何思想是一個整體文化系統(tǒng)．具體從以下6個方面表達(dá)：〔1〕歷史淵源：文化全面復(fù)興；生產(chǎn)高度開展；科學(xué)和數(shù)學(xué)本身提出了大量問題；數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)方法論發(fā)生了重大變化．〔2〕數(shù)學(xué)構(gòu)造：笛卡爾解析幾何思想的數(shù)學(xué)構(gòu)造由核心概念，根本方法，數(shù)學(xué)原理3個層次構(gòu)成．核心概念是曲線與方程，根本方法是幾何問題代數(shù)化和代數(shù)問題幾何化，數(shù)學(xué)原理是映射原理〔或化歸原那么〕．笛卡爾解析幾何思想的數(shù)學(xué)構(gòu)造是其整體文化系統(tǒng)的核心．〔3〕科學(xué)價值：將變量和坐標(biāo)觀念引入了數(shù)學(xué)，開創(chuàng)了近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的先河；提出了一切問題都可以歸結(jié)為解方程問題的"通用數(shù)學(xué)〞方案，開創(chuàng)了機(jī)械化的數(shù)學(xué)計算方法；提出了將數(shù)學(xué)作為一種方法科學(xué)的直觀—演繹法的方法論，使科學(xué)方法論實(shí)現(xiàn)了革命性的突破．〔4〕哲學(xué)表現(xiàn)：反映了客觀世界的3方面特征——運(yùn)動變化性，普遍聯(lián)系性，永恒統(tǒng)一性；呈3個方法層次——具體化的數(shù)學(xué)方法，一般化的科學(xué)方法，普適化的哲學(xué)方法．〔5〕認(rèn)識模式：問題解決的思維線索依直覺思維→抽象思維→演繹思維→歸納思維而進(jìn)展；創(chuàng)造的心理歷程按照觀念選擇→審美直覺→有用提取→有效組合的心理邏輯展開．〔6〕個性品質(zhì)：理性化的哲學(xué)素養(yǎng)和統(tǒng)一化的數(shù)學(xué)信念；疑心、批判的創(chuàng)新精神和合理繼承前人成果的包容精神；對數(shù)學(xué)簡約美、和諧美和統(tǒng)一美的審美追求．作為一個整體文化系統(tǒng)的笛卡爾解析幾何思想，其中的每一個子系統(tǒng)之間是互相關(guān)聯(lián)的〔見圖1〕．圖1笛卡爾數(shù)學(xué)思想的涵4高中解析幾何教學(xué)策略——基于笛卡爾數(shù)學(xué)思想的視角4.1策略一——整體文化驅(qū)動文化驅(qū)動的概念可以界定為：以文化所固有的力量推動人的開展．這里的整體"文化驅(qū)動〞策略就是指在高中解析幾何課程教學(xué)的啟動環(huán)節(jié)，以笛卡爾數(shù)學(xué)思想的文化涵為素材驅(qū)動教學(xué)．4.1.1文化驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)的意義與功能〔1〕文化驅(qū)動教學(xué)可以化學(xué)生精神空間的開豁度．教育的主題是喚醒人的超越性，超越需要開闊的精神空間．崇高的信念、理性的素質(zhì)、高尚的情感是課程容中的文化精華，對于學(xué)生，這些因素的相互滲透、化通，可以拓展精神空間的高度，支撐精神空間的構(gòu)造，涵育精神空間的厚度，并最終整合成一個有力的精神性存在．精神空間的開豁度是科學(xué)創(chuàng)造的重要因素，牛頓、愛因斯坦，包括本文所涉及的笛卡爾等科學(xué)史上諸多具有非凡創(chuàng)造力的科學(xué)家，他們之所以能夠創(chuàng)造出劃時代的科學(xué)成就，其中一個很重要的因素就是具有比常人更崇高的信念，更深邃的洞察力和更遼遠(yuǎn)的視野．所以，文化驅(qū)動教學(xué)可以化學(xué)生精神空間的開豁度，更好地實(shí)現(xiàn)精神超越．從而，提升人的創(chuàng)新素養(yǎng)和創(chuàng)造能力．〔2〕文化驅(qū)動教學(xué)可以促進(jìn)學(xué)生整體認(rèn)知構(gòu)造的形成與開展．現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，興趣、性格、動機(jī)、情感、意志等根本心理因素相互作用，構(gòu)成個體學(xué)習(xí)過程的心理環(huán)境和認(rèn)知驅(qū)力，它是影響意識指向的直接環(huán)境和在動力．那么，如何讓這種在動力啟動起來呢？就是充分利用課程本身的誘因〔incentive〕價值．所謂誘因，即一切能引起機(jī)體產(chǎn)生動機(jī)性行為的外部刺激[2]．課程本身的誘因價值可以驅(qū)動學(xué)生的學(xué)習(xí)[3]．利用課程中廣泛的文化要素，可以為學(xué)生提供一個龐大的信息資源，直接刺激學(xué)生學(xué)習(xí)過程的心理環(huán)境，對學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、動機(jī)，品質(zhì)等非智力因素和學(xué)生的感知、注意、思維、想象等智力因素的形成與開展都會產(chǎn)生積科學(xué)價值認(rèn)識模式歷史淵源個性品質(zhì)數(shù)學(xué)構(gòu)造哲學(xué)表現(xiàn)笛卡爾數(shù)學(xué)思想的涵〔一個整體文化系統(tǒng)〕極影響．因此，文化驅(qū)動教學(xué)可以促進(jìn)學(xué)生整體認(rèn)知構(gòu)造的形成與開展．〔3〕文化驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)可以全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．文化是數(shù)學(xué)的根本特征．高度抽象性、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性、應(yīng)用廣泛性、不斷累積性、永恒競智性、審美驅(qū)動性、和諧統(tǒng)一性及它們之間的交互作用構(gòu)成了龐大的數(shù)學(xué)文化系統(tǒng)．以文化驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)可以全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．思維的抽象性可以結(jié)實(shí)信念并挑戰(zhàn)智力；推理的嚴(yán)謹(jǐn)性可以培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣和品質(zhì)；知識的系統(tǒng)性以及問題的復(fù)雜性，可以涵育堅強(qiáng)的意志和學(xué)習(xí)態(tài)度；數(shù)學(xué)累積性可以激發(fā)創(chuàng)新意識、開闊歷史視野；審美驅(qū)動性與和諧統(tǒng)一性可以完善數(shù)學(xué)觀和對數(shù)學(xué)美的情感體驗(yàn)．4.1.2文化驅(qū)動解析幾何教學(xué)的意義與功能數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思想的教學(xué)．但數(shù)學(xué)創(chuàng)造中，數(shù)學(xué)家的信念品質(zhì)、價值判斷、審美追求等文化因素的暗流總是涌動在知識和真理成分的背后．?dāng)?shù)學(xué)思想教學(xué)的哲學(xué)意義在于，讓學(xué)生透過數(shù)學(xué)知識和真理的"冰冷的美麗〞背后，了解是什么樣的一種深層文化預(yù)先存在于數(shù)學(xué)家的預(yù)設(shè)中，使他能夠形成這樣的思想和創(chuàng)造，并進(jìn)入學(xué)生自己的心靈．笛卡爾數(shù)學(xué)思想具有廣泛而深刻的文化涵，是一個整體文化系統(tǒng)．所以，高中解析幾何課程教學(xué)應(yīng)尤其突出解析幾何思想的教學(xué)．以笛卡爾數(shù)學(xué)思想的文化涵為素材，在課程教學(xué)的啟動環(huán)節(jié)驅(qū)動解析幾何教學(xué)，可以讓學(xué)生對解析幾何產(chǎn)生的文化和歷史背景、根本思想和學(xué)科特點(diǎn)以及笛卡爾創(chuàng)立解析幾何時的數(shù)學(xué)信念、數(shù)學(xué)思維、心理模式、個性品質(zhì)等有一個整體性認(rèn)識，為學(xué)生營造一個渴望認(rèn)知、理解和掌握知識的、深富吸引力的學(xué)習(xí)情境，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的原動力，使學(xué)生形成立體的認(rèn)知構(gòu)造，也為解析幾何根本思想的全面展開奠定根底．奧伯爾〔Ausubel〕曾提出先行組織者〔advanceorganize〕概念，即：組織者是先于學(xué)習(xí)材料呈現(xiàn)之前而呈現(xiàn)的一個引導(dǎo)性材料．它在概括與包容的水平上高于要學(xué)習(xí)的材料，但以學(xué)習(xí)者通俗易懂的語言呈現(xiàn)，故它是新舊知識發(fā)生聯(lián)系的橋梁．文化驅(qū)動解析幾何教學(xué)正可以作為課程教學(xué)的先行組織者．4.1.3整體文化驅(qū)動策略實(shí)施具體方案設(shè)置一個導(dǎo)言課，安排在解析幾何課程開場之初．教學(xué)主題：追尋笛卡爾數(shù)學(xué)思想的蹤跡——解析幾何課程容及學(xué)科思想介紹教學(xué)容：〔1〕笛卡爾生平簡介〔2〕歷史背景簡介〔3〕笛卡爾創(chuàng)立解析幾何構(gòu)思過程〔4〕解析幾何的創(chuàng)新與意義〔5〕笛卡爾信念、精神與品質(zhì)〔6〕解析幾何中的哲學(xué)思想教學(xué)方式：講座，師生交流，學(xué)生課后作文課時安排：以2學(xué)時為宜4.2策略二——核心概念統(tǒng)領(lǐng)所謂核心概念統(tǒng)領(lǐng)策略，就是以曲線與方程概念為核心，總體統(tǒng)領(lǐng)解析幾何知識構(gòu)造，開展教學(xué)．4.2.1核心概念統(tǒng)領(lǐng)的意義與功能曲線與方程概念是數(shù)形結(jié)合思想方法的核，也是直線方程、圓方程、橢圓方程、雙曲線方程、拋物線方程的上位概念，解析幾何知識構(gòu)造直接依曲線與方程概念而展開．因此，曲線與方程概念在解析幾何知識構(gòu)造中居統(tǒng)領(lǐng)地位．核心概念統(tǒng)領(lǐng)解析幾何教學(xué)，可以讓學(xué)生更好地了解和理解解析幾何中根本概念〔曲線與方程概念〕、根本原理〔映射原理〕、根本思想方法〔數(shù)形結(jié)合思想方法〕和研究對象〔直線和各種二次曲線〕之間的邏輯關(guān)聯(lián)，加深對解析幾何課程的深入理解和整體把握，使學(xué)生獲得普遍的認(rèn)知遷移，使學(xué)科根本觀念在記憶中得到穩(wěn)固，為學(xué)生深刻理解解析幾何的根本思想搭建平臺．4.2.2核心概念統(tǒng)領(lǐng)策略的原理歸結(jié)布魯納〔Bruner〕認(rèn)為，學(xué)科的根本概念、根本原理及其相互之間的關(guān)聯(lián)性，知識的整體性和事務(wù)的普遍聯(lián)系是學(xué)科的根本構(gòu)造．不管教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的根本構(gòu)造．這種根本構(gòu)造是學(xué)生必須掌握的科學(xué)因素，應(yīng)該成為教學(xué)過程的核心，因?yàn)閷W(xué)生如果掌握了學(xué)科知識的根本構(gòu)造，他就可以獨(dú)立地面對并深入新的知識領(lǐng)域，從而不斷地、獨(dú)立地認(rèn)識新問題，增多新知識．為此，它強(qiáng)調(diào)：學(xué)習(xí)和掌握每門學(xué)科中那些廣泛起作用的概念、定義、原理和法那么體系是最好的方法．學(xué)生學(xué)到的觀念越是根本，幾乎歸結(jié)為定義，那么它對新問題的適用性越寬廣．同樣的觀點(diǎn)也在奧伯爾的意義學(xué)習(xí)理論中表達(dá)．奧伯爾認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)，如果要有價值的話，應(yīng)該盡可能地有意義，即意義學(xué)習(xí)．意義學(xué)習(xí)的先決條件之一就是要盡可能先傳授學(xué)科中具有包攝性、概括性和最有說服力的概念和原理，以便學(xué)生能對學(xué)習(xí)容加以組織和綜合．曲線與方程概念是對解析幾何容廣泛起作用的最根本概念，也是解析幾何知識構(gòu)造中具有包攝性、概括性和最有說服力的概念．顯見，以曲線與方程概念為核心的核心概念統(tǒng)領(lǐng)策略，正符合布魯納關(guān)于學(xué)科根本構(gòu)造的教育原理，也符合奧伯爾關(guān)于意義學(xué)習(xí)的原理．4.2.3核心概念統(tǒng)領(lǐng)策略的具體實(shí)施設(shè)置一個奠基課，安排在解析幾何正課的第一節(jié)．教學(xué)主題：解析幾何核心概念的形成與課程知識構(gòu)造教學(xué)容：〔1〕曲線與方程概念形成過程——幾何量算術(shù)化—構(gòu)造代數(shù)方程—求解軌跡方程—形成核心概念〔2〕曲線與方程定義——存在性與完備性〔3〕數(shù)形結(jié)合根本思想——幾何問題代數(shù)化—代數(shù)問題幾何化—代數(shù)化與幾何化統(tǒng)一〔4〕解析幾何根本原理——映射〔化歸〕〔5〕解析幾何知識構(gòu)造——概念、思想、原理、研究對象〔曲線類型〕及其關(guān)系教學(xué)方式：講授，師生交流、探索課時安排：以2學(xué)時為宜4.3策略三——思想構(gòu)造分拆所謂思想構(gòu)造分拆策略，就是在解析幾何教學(xué)中，將數(shù)形結(jié)合思想的兩個方面——幾何問題代數(shù)化和代數(shù)問題幾何化做獨(dú)立要素分析．4.3.1思想構(gòu)造分拆的意義與功能數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)是高中解析幾何教學(xué)的核心．但數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何課程容中的表達(dá)往往并不是顯性的，并且，由于幾何問題代數(shù)化和代數(shù)問題幾何化本身是融為一體的，這直接導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的理解處于一種模糊狀態(tài)，不能形成結(jié)實(shí)的幾何問題代數(shù)化和代數(shù)問題幾何化觀念．在解析幾何教學(xué)中，實(shí)施思想構(gòu)造分拆教學(xué)策略，有助于學(xué)生形成完整、清晰、穩(wěn)定、持久、良序的認(rèn)知構(gòu)造和認(rèn)知層次，使學(xué)生全面掌握和靈活應(yīng)用解析幾何根本思想．分拆是手段，通過分拆，擴(kuò)散信息，展示思想構(gòu)造的邏輯意義，使學(xué)生對信息的檢索更加容易進(jìn)展，便于知識的提取，能夠清晰識別和領(lǐng)會思想方法；分拆的目的在于整合，整合是目標(biāo)，在幾何問題代數(shù)化和代數(shù)問題幾何化之間建立高強(qiáng)度的聯(lián)系，使學(xué)生結(jié)實(shí)觀念．所以，思想構(gòu)造分拆教學(xué)策略，重在分拆，旨在整合．4.3.2思想構(gòu)造分拆策略的認(rèn)知原理現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個數(shù)學(xué)認(rèn)知過程．因此，要對數(shù)學(xué)形成過程中的部認(rèn)知加以分析．?dāng)?shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)要經(jīng)歷從感性到理性，從領(lǐng)會到形成，從穩(wěn)固到應(yīng)用的開展過程．?dāng)?shù)形結(jié)合思想學(xué)習(xí)的心理建構(gòu)過程需要經(jīng)歷以下4個階段：〔1〕識別〔identifica-tion〕：先通過曲線與方程的概念學(xué)習(xí)，確認(rèn)數(shù)形結(jié)合思想在統(tǒng)一的兩個方面——幾何問題代數(shù)化和代數(shù)問題幾何化；〔2〕分化〔differential〕：幾何問題代數(shù)化和代數(shù)問題幾何化對心理產(chǎn)生不同的刺激反響；〔3〕交互〔reciprocal〕：幾何問題代數(shù)化和代數(shù)問題幾何化以彼此對立的方式在心理上運(yùn)行；〔4〕化〔intenalization〕：此時的數(shù)形結(jié)合思想，以一種綜合的心理圖式轉(zhuǎn)化為部觀念．與之相對應(yīng)，數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)策略應(yīng)該是首先學(xué)習(xí)曲線與方程的概念，讓學(xué)生確認(rèn)數(shù)形結(jié)合思想在統(tǒng)一的兩個方面——幾何問題代數(shù)化和代數(shù)問題幾何化，顯然，這可以在前面核心概念統(tǒng)領(lǐng)策略這一環(huán)節(jié)中實(shí)現(xiàn)；然后，對數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)展分拆，將其分解為幾何問題代數(shù)化和代數(shù)問題幾何化這兩種彼此獨(dú)立的方法；再對這兩種方法做獨(dú)立要素分析，最后，整合為一種統(tǒng)一的思想．事實(shí)上，思想構(gòu)造的分拆，是一種解析的方法．這恰可以從笛卡爾本人的哲學(xué)方法論中找到皈依．笛卡爾曾給出了獲得正確知識的方法：為了把一個問題簡化成便于理性處理的要素，應(yīng)該把它分解開來，盡量由簡入繁．這意味著，解析的方法是最有效的．4.3.3思想構(gòu)造分拆策略的具體實(shí)施此策略主要是強(qiáng)調(diào)幾何問題代數(shù)化后，要對代數(shù)結(jié)果做幾何意義的分析．通常在建立直線、圓、圓錐曲線等曲線方程和解決具體問題中實(shí)施．如對于橢圓概念教學(xué)，在推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，通過幾何問題代數(shù)化，可得到橢圓的第一定義；通過中間代數(shù)結(jié)果變形，新的代數(shù)結(jié)果幾何化，同時可得到橢圓的第二定義．這樣，兩種方法的功能可以清晰地表達(dá)出來，也可使學(xué)生理解兩個定義之間的在統(tǒng)一．4.4策略四——雙向模式轉(zhuǎn)化所謂雙向模式轉(zhuǎn)化策略，就是將解析幾何中的代數(shù)模式與幾何模式進(jìn)展互相轉(zhuǎn)化，它是思想構(gòu)造分拆的具體操作．4.4.1雙向模式轉(zhuǎn)化策略的意義與功能目前高中解析幾何教學(xué)更多地側(cè)重于幾何問題代數(shù)化這單一的方面，無視或忽略對代數(shù)結(jié)果的幾何含義的分析，因而代數(shù)問題幾何化方法沒有得到充分表達(dá)，這也直接導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想理解的缺失．笛卡爾通過建立坐標(biāo)系，使圖形的幾何關(guān)系在其方程的性質(zhì)中表現(xiàn)出來，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決，這確實(shí)是解析幾何的根本方法．但在適宜的坐標(biāo)系下，某些代數(shù)問題也同樣可以轉(zhuǎn)化為幾何問題來處理．事實(shí)上，在笛卡爾創(chuàng)立解析幾何的過程中，他本人已經(jīng)敏銳地看到了這一點(diǎn)，利用圓與拋物線的交點(diǎn)求三次和四次代數(shù)方程就是代數(shù)問題幾何化的一個經(jīng)典實(shí)例[4]．解析幾何在處理代數(shù)問題和幾何問題上是一個"雙刃工具〞[5]．通過代數(shù)模式轉(zhuǎn)化為幾何構(gòu)造，可以強(qiáng)化代數(shù)直觀；借助坐標(biāo)系并利用幾何性質(zhì)對幾何構(gòu)造做代數(shù)解析，可以強(qiáng)化幾何直觀．因此，在高中解析幾何教學(xué)中，應(yīng)強(qiáng)化雙向模式的轉(zhuǎn)化，尤其應(yīng)加強(qiáng)代數(shù)問題幾何化的教學(xué)．這不僅是讓學(xué)生完整地學(xué)習(xí)解析幾何思想方法的課程目標(biāo)的需要，也可以培養(yǎng)學(xué)生逆向思維、直覺思維和抽象思維等能力，提升學(xué)生的模型意識和數(shù)學(xué)地分析解決問題的能力．4.4.2雙向模式轉(zhuǎn)化的方法論原那么解析幾何中的數(shù)學(xué)模式從宏觀上看包括代數(shù)模式和幾何模式，并直接表達(dá)在數(shù)形結(jié)合思想上．幾何模式轉(zhuǎn)化為代數(shù)模式就是幾何問題代數(shù)化；代數(shù)模式轉(zhuǎn)化為幾何模式就是代數(shù)問題幾何化．具體地，直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線都是具有幾何性質(zhì)的幾何模型，而直線方程、圓方程、橢圓方程、雙曲線方程、拋物線方程都是具有代數(shù)特征的代數(shù)模型，認(rèn)識每一種曲線方程，解決其中的問題的過程就是模式雙向轉(zhuǎn)化的過程．所以，模式雙向轉(zhuǎn)化是解析幾何的主要特征．其方法論原那么是：首先，觀察代數(shù)問題〔幾何問題〕的外部構(gòu)造是否具有幾何特征〔代數(shù)特征〕；然后，根據(jù)代數(shù)問題〔幾何問題〕的幾何特征〔代數(shù)特征〕探索代數(shù)模式與幾何模式之間的在聯(lián)系；最后，根據(jù)其在聯(lián)系構(gòu)造解決問題的幾何模式或代數(shù)模式．這里，最重要的是對代數(shù)模式和幾何模式的識別和識別，模式識別是知識遷移的前提[6]．4.4.3雙向模式轉(zhuǎn)化策略的具體實(shí)施此策略主要用于解決兩類問題：一是對一些代數(shù)問題，利用純粹代數(shù)方法很難解決，而其代數(shù)構(gòu)造具有幾何特征，那么可充分借助幾何性質(zhì)解決；二是對一些幾何問題，通過建立坐標(biāo)系，使圖形的幾何關(guān)系在其代數(shù)方程的性質(zhì)中表現(xiàn)出來，那么可將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決．對于這兩類問題，前者在目前解析幾何教學(xué)中普遍重視不夠，或者只是零星處理，建議應(yīng)該作為一個專題系統(tǒng)教學(xué)；而對于后者，教學(xué)中很少出現(xiàn)這樣的例題和習(xí)題，建議應(yīng)該加以充實(shí)．以上，基于笛卡爾數(shù)學(xué)思想提出的高中解析幾何教學(xué)策略，在應(yīng)用于具體的教學(xué)實(shí)踐中取得了一定的成效，但這僅僅是初步的探討，還有待進(jìn)一步深化研究．5結(jié)語歷史是最好的啟發(fā)式！數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教育的意義已耳熟能詳，無庸贅言．為此，證明數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教育確實(shí)具有啟發(fā)意義，這似乎對數(shù)學(xué)教育實(shí)踐、對數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的研究都并無太多啟發(fā)意義，也不是本文的宗旨．基于數(shù)學(xué)教育的數(shù)學(xué)史應(yīng)把史學(xué)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)教育應(yīng)到數(shù)學(xué)史中尋找新生長點(diǎn)．如何挖掘數(shù)學(xué)史的教育要素，使數(shù)學(xué)史的價值在數(shù)學(xué)教育中得以真正表達(dá)，是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的終極追求．本文也正是基于這樣的理念，選擇了一個具體的課程容，做了一點(diǎn)嘗試．【參考文獻(xiàn)】[1]毓信．?dāng)?shù)學(xué)文化學(xué)[M]．：教育，2004．[2]黃希庭．簡明心理學(xué)辭典[M]．：人民，2004．[3]施良方．學(xué)習(xí)論[M]．：人民教育，2001．[4]亞歷山大洛夫．?dāng)?shù)學(xué)——它的容、方法和意義[M]．小禮譯．：科學(xué)，2001．[5]王敬庚．關(guān)于解析幾何是一個雙刃工具的思考[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報，1993，〔6〕：5．[6]喻平．?dāng)?shù)學(xué)教育心理學(xué)[M]．：XX教育，2004．HighSchoolAnalyticGeometryTeachingStrategy——MathematicsHistoryangleofViewLITie-an,SONGNai-qing(SchoolofMathematicsandStatistics,SouthwestUniversity,Chongqing400715,China)Abstract:Thefulldisplaymathema