專題02空間向量在立體幾何中的應(yīng)用（重難點突破）原卷版

專題02空間向量在立體幾何中的應(yīng)用知識點一：直線的方向向量和平面的法向量1.直線的方向向量：點A是直線l上的一個點，是直線l的方向向量，在直線l上取，取定空間中的任意一點O，則點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使或，這就是空間直線的向量表達式.知識點詮釋：（1）在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向量．（2）在解具體立體幾何題時，直線的方向向量一般不再敘述而直接應(yīng)用，可以參與向量運算或向量的坐標運算．：直線l⊥α，取直線l的方向向量，我們稱向量為平面α的法向量．給定一個點A和一個向量，那么過點A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.知識點詮釋：一個平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時，可適當取平面的一個法向量．已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量．3.平面的法向量確定通常有兩種方法：（1）幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；（2）幾何體中沒有具體的直線，一般要建立空間直角坐標系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：（i）設(shè)出平面的法向量為；（ii）找出（求出）平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標，；（iii）根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x、y、z的方程；（iv）解方程組，取其中的一個解，即得法向量．由于一個平面的法向量有無數(shù)個，故可在代入方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量．知識點二：用向量方法判定空間中的平行關(guān)系空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．（1）線線平行設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．（2）線面平行線面平行的判定方法一般有三種：①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量．③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可．②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．知識點三、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．（1）線線垂直設(shè)直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．（2）線面垂直①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．（3）面面垂直①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直．②證明兩個平面的法向量互相垂直．知識點四、用向量方法求空間角（1）求異面直線所成的角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，則．知識點詮釋：兩異面直線所成的角的范圍為．兩異面直線所成的角可以通過這兩直線的方向向量的夾角來求得，但二者不完全相等，當兩方向向量的夾角是鈍角時，應(yīng)取其補角作為兩異面直線所成的角．（2）求直線和平面所成的角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．（3）求二面角如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面的法向量，則二面角的平面角或，即二面角等于它的兩個面的法向量的夾角或夾角的補角．①當法向量與的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時，二面角的大小等于的夾角的大?。诋敺ㄏ蛄康姆较蛲瑫r指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時，二面角的大小等于的夾角的補角的大小．知識點五、用向量方法求空間距離1.求點面距的一般步驟：①求出該平面的一個法向量；②找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離．即：點A到平面的距離，其中，是平面的法向量．2.線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離，用求點面距的方法進行求解．直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．3.點線距設(shè)直線l的單位方向向量為，，，設(shè)，則點P到直線l的距離.重難點題型1利用空間向量研究平行與垂直問題例1、（2023·全國·高二專題練習）如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且，．求證：平面CDE．

1．（2023·全國·高二課堂例題）如圖所示，在正方體中，為與的交點，為的中點，求證：平面．

2．（2022春·四川成都·高一石室中學(xué)校考期末）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，為中點.

(1)求證：平面；(2)在棱上是否存在點，使得?若存在，求的值；若不存在，說明理由.

重難點題型2利用空間向量研究距離問題例2.（2023·全國·高二專題練習）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面是邊長為的正三角形，平面平面，．

(1)求證：平行四邊形為矩形；(2)若為側(cè)棱的中點，且平面與平面所成角的余弦值為，求點到平面的距離．

1．（2023春·福建泉州·高二?？计谥校┤鐖D，已知四棱錐的底面是菱形，對角線，交于點，，，，底面，設(shè)點滿足．

(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)求點到平面的距離．2．（2023春·上?！じ叨ｎ}練習）如圖，在直角梯形中，，，，，E、F分別是AB、CD的中點，沿EF將梯形翻折至，使得平面平面．(1)求證：；(2)設(shè)G為EF上的動點，當取最小值時，求異面直線與所成角的大??；(3)求多面體的體積.

重難點題型3利用空間向量研究線線角與線面角問題例3.（2022秋·陜西銅川·高二?？茧A段練習）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，底面，，為的中點，為的中點，建立適當?shù)目臻g坐標系，利用空間向量解答以下問題：(1)證明：直線平面；(2)求異面直線與所成角的大??；(3)求直線與平面所成角的余弦值．

1．（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，為圓錐的頂點，A，為底面圓上兩點，，為中點，點在線段上，且.

(1)證明：平面平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.2．（2022秋·重慶長壽·高二重慶市長壽中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在棱長為a的正方體中，點P為線段上的一個動點，連接．

(1)求證：面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．

重難點題型4利用空間向量研究二面角問題例4.（2020秋·陜西渭南·高二?？茧A段練習）如圖，四棱錐中，底面為菱形，平面，，分別是，的中點，.（請用空間向量知識解答下列問題）

(1)求異面直線與所成角的大??；(2)求二面角的余弦值.

1．（2023春·云南保山·高二校聯(lián)考階段練習）如圖，在直三棱柱中，為的中點，.

(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值.2．（2023春·云南保山·高二統(tǒng)考期中）如圖，在長方體中，E、P分別是BC、的中點，M、N分別是AE、的中點，，．

(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

1．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？计谀┮阎蛄?，則平面的一個法向量（

）A． B． C． D．2．（2021·陜西渭南·統(tǒng)考三模）如圖，在正方體中，當點F在線段上運動時，下列結(jié)論正確的是（

）．A．與始終垂直 B．與始終異面C．與平面可能垂直 D．與可能平行3．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，分別為平面，的法向量，則平面與的夾角為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高二專題練習）（多選題）在如圖所示的坐標系中，為正方體，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．直線的一個方向向量為B．直線的一個方向向量為C．平面的一個法向量為D．平面的一個法向量為5．（2023·全國·高二專題練習）（多選題）下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中正確的是（

）A．若兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則B．若直線的方向向量，平面的法向量是，則C．若兩個不同平面，的法向量分別為，，則D．若平面經(jīng)過三點，，，向量是平面的法向量，則6．（2023春·江蘇常州·高二統(tǒng)考期中）如圖，三棱柱的各條棱長均為是2，側(cè)棱與底面ABC所成的角為60°，側(cè)面底面ABC，點P在線段上，且平面平面，則．

7．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面平面，，.

(1)證明：平面平面；(2)若E為PC的中點，異面直線BE與PA所成角為，求四棱錐的體積.