第04講數(shù)列求和

第04講數(shù)列求和考試要求1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.2.掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常用方法．?dāng)?shù)列求和的幾種常用方法1．公式法：直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和．(1)等差數(shù)列的前n項和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(2)等比數(shù)列的前n項和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1)).2．分組求和法與并項求和法(1)分組求和法若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．(2)并項求和法一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．3．錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的．4．裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．常見的裂項技巧(1)eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).(2)eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2).(3)eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2).(4)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).(5)eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2).題型一公式法例1（2023·寧夏銀川·高三銀川一中階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前四項和為10，且成等比數(shù)列(1)求通項公式(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，又成等比數(shù)列，所以，即，整理得，得或，若，則，，若，則，得，，.綜上所述：或.（2）若，則，；若，則，.針對數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，確定數(shù)列的類型，符合等差或等比數(shù)列時，直接利用等差、等比數(shù)列相應(yīng)公式求解．【對點(diǎn)演練1】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是數(shù)列的前項和，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）由，則，兩式相減得：，整理得：，即時，，所以時，，又時，，得，也滿足上式．故．（2）由（1）可知：．記，設(shè)數(shù)列的前項和．當(dāng)時，；當(dāng)時，綜上：題型二并項法例2（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記為等差數(shù)列的前項和，已知，.(1)求的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前30項的和.【解析】（1）設(shè)公差為，則，解得，，所以.（2），所以，所以.【變式演練1】數(shù)列{an}的通項公式是an＝(－1)n(2n－1)，則該數(shù)列的前100項之和為()A．－200B－100C．200 D．100答案D解析根據(jù)題意有S100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50＝100.故選D.【變式演練2】已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝pn＋1，其中p為常數(shù)．(1)若a1，a2，a4成等比數(shù)列，求p的值； (2)若p＝1，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.解(1)由an＋an＋1＝pn＋1，得a1＋a2＝p＋1，a2＋a3＝2p＋1，a3＋a4＝3p＋1，所以a2＝p，a3＝p＋1，a4＝2p.又因為a1，a2，a4成等比數(shù)列，所以aeq\o\al(2,2)＝a1a4，即p2＝2p，又因為p≠0，故p＝2.(2)當(dāng)p＝1時，an－1＋an＝n(n>1，n∈N)，當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＝2＋4＋…＋n＝eq\f((2＋n)\f(n,2),2)＝eq\f(n2＋2n,4)；當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝1＋3＋5＋…＋n＝eq\f((1＋n)\f(n＋1,2),2)＝eq\f(n2＋2n＋1,4)，綜上，Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n2＋2n,4)，n為偶數(shù)，,\f(n2＋2n＋1,4)，n為奇數(shù).))【變式演練3】（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）在等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求滿足的k的值．【解析】（1）設(shè)的公比為q，由，得，解得，由，，成等差數(shù)列，得，即，解得，所以數(shù)列的通項公式是．（2）由（1）知，，，當(dāng)k為偶數(shù)時，，令，得；當(dāng)k為奇數(shù)時，，令，得，所以或37.題型三分組求和例3（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的首項，且滿足.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.【解析】（1）因為，即，則，又因為，可得，所以數(shù)列表示首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）知，所以.所以，當(dāng)為偶數(shù)時，可得；當(dāng)為奇數(shù)時，可得；綜上所述：.【對點(diǎn)演練1】數(shù)列的前n項和為.【答案】【解析】觀察數(shù)列得到，所以前n項和.故答案為：.【對點(diǎn)演練2】數(shù)列9，99，999，的前項和為A． B． C． D．【答案】D【解析】數(shù)列通項，．故選：．【對點(diǎn)演練3】（2023·海南·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）由，得，故，所以數(shù)列是以6為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，故．（2），所以【對點(diǎn)演練4】在等比數(shù)列{an}中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任意兩個不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行323第二行465第三行9128（1）寫出a1，a2，a3，并求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足bn＝an＋（－1）nlog2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解（1）①若a1取第一列的數(shù)字3，則a2=6,a3=8或a2=5,a3=12,顯然此時②若a1取2，則a2=4,a3=8,此時a1，a2，a3構(gòu)成等比數(shù)列；或a2=5,a3=9,此時③若a1取第3列的數(shù)字3，則a2=4,a3=12或a2=6,a3=9,顯然此時綜上，a1＝2，a2＝4，a3＝8.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q＝a2a1所以an＝2×2n－1＝2n.（2）bn＝an＋（－1）nlog2an＝2n＋（－1）nlog22n＝2n＋（－1）nn.當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＝2(1?2n)1?2＋n2＝2n當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn＝2(1?2n)1?2＋n-12-n綜上所述，當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＝2n＋1＋n-4當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn＝2n＋1－n+52【對點(diǎn)演練5】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S5＝25，且a3－1，a4＋1，a7＋3成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若bn＝（－1）nan＋1，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求T2n.解：（1）∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由a3－1，a4＋1，a7＋3成等比數(shù)列得（6＋d）2＝4（8＋4d），∴d2－4d＋4＝0，∴d＝2，∴an＝a3＋（n－3）d＝2n－1.（2）∵bn＝（－1）nan＋1，∴bn＝（－1）n（2n－1）＋1，∴T2n＝（－1＋1）＋（3＋1）＋（－5＋1）＋（7＋1）＋…＋[－（4n－3）＋1]＋[（4n－1）＋1]＝4n.例4（2023吉林通化模擬）為數(shù)列的前項和，已知，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項，所有插入的項構(gòu)成以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項的和.【解析】（1）當(dāng)時，，解得（舍去），由得時，，兩式相減得，因為，所以，所以是等差數(shù)列，首項為4，公差為3，所以；（2）由于，因此數(shù)列的前100項中含有的前13項，含有中的前87項，所求和為.【對點(diǎn)演練1】（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項，，.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項公式；(2)在與（其中）之間插入個3，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列.記為數(shù)列的前n項和，求.【解析】（1）因為，，所以，取倒得，所以，即，即，因為，所以是，的等比數(shù)列，所以.（2）在之間有2個3，之間有個3，之間有個3，之間有個3，合計個3，所以.題型四裂項相消法求和考向1形如1n(n+k例5設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n（n－1）t＋2n（t≠0），a1－1，a3－1，a13－1成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求數(shù)列{Sn+Sn+1Sn解（1）由已知有a1＝S1＝2，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n（n－1）t＋2n－[（n－1）（n－2）t＋2（n－1）]＝2tn－2t＋2，當(dāng)n＝1時上式也適合，所以an＝2tn－2t＋2.因為a1－1，a3－1，a13－1成等比數(shù)列，所以（a3－1）2＝（a1－1）（a13－1），即（4t＋1）2＝1×（24t＋1），得t＝1，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n.（2）由（1）知Sn＝n（n＋1），所以Sn+Sn+1SnSn+1＝1Sn＋1Sn+1＝1Tn＝11-13＋12-14＋13-15＋…＋1n-1-【對點(diǎn)演練1】數(shù)列{an}中，an＝eq\f(1,n（n＋1）)，若{an}的前n項和為eq\f(2019,2020)，則項數(shù)n為()A.2018 B.2019 C.2020 D.2021解析an＝eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，Sn＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)＝eq\f(2019,2020)，所以n＝2019.答案B【對點(diǎn)演練2】Sn＝eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,42－1)＋…＋eq\f(1,(2n)2－1)＝________.答案eq\f(n,2n＋1)解析通項an＝eq\f(1,(2n)2－1)＝eq\f(1,(2n－1)(2n＋1))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，∴Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,2n＋1).【對點(diǎn)演練3】（2023·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和，并證明：.【解析】（1）設(shè)公差為，由題意得解得∴.（2）由（1）知，∴，.∵，∴.【對點(diǎn)演練4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足．(1)證明為等差數(shù)列，并的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）證明：因為，所以，即所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，所以；（2）.【變式演練5】已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）令bn＝（－1）n－14nanan+1，求數(shù)列{bn解：（1）因為S1＝a1，S2＝2a1＋2×12×2＝2a1＋2S4＝4a1＋4×32×2＝4a1＋12由題意得（2a1＋2）2＝a1（4a1＋12），解得a1＝1，所以an＝2n－1.（2）bn＝（－1）n－14nanan+1＝（－1）n－14n(2當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn＝1+13－13+15＋…＋12n-3當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn＝1+13－13+15＋…－12n-3所以Tn＝2n考向2形如1n+k+n例6已知函數(shù)f（x）＝xα的圖象過點(diǎn)（4，2），令an＝1f(n+1)+f(n)，n∈N*，記數(shù)列{an}的前n項和為S解析由函數(shù)f（x）＝xα的圖象過點(diǎn)（4，2）得2＝4α，α＝12，所以f（x）＝x，an＝1n+1+n＝n+1－n.故S2023＝（2－1）＋（3－2）＋…＋（2024－2023答案2506－1【對點(diǎn)演練1】數(shù)列{an}的通項公式是an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，前n項和為9，則n等于()A.9 B.99 C.10 解析因為an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＋(eq\r(n)－eq\r(n－1))＋…＋(eq\r(3)－eq\r(2))＋(eq\r(2)－eq\r(1))＝eq\r(n＋1)－1，令eq\r(n＋1)－1＝9，得n＝99.答案B考向3形如（k為非零常數(shù)）型例7（2023·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）已知是數(shù)列的前項和，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）時，，時，經(jīng)驗證時滿足，；（2），.【對點(diǎn)演練1】（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【解析】（1）由已知①，當(dāng)時，，即，解得，當(dāng)時，②，①②得，即，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以；（2）因為，所以.【變式演練2】已知為數(shù)列的前項和，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，記的前項和為，證明：．【解析】（1）當(dāng)時，，則，因為，所以，兩式相減得：，所以，，，，則，即也適合上式，所以是以5為首項，公比為2的等比數(shù)列，故：，故；（2）由（1）得，故，當(dāng)時，，故.考向4形如（k為非零常數(shù)）型例8（2023·海南省直轄縣級單位·文昌中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項和，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【解析】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，因為對也成立.所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，則公差，故.（2）因為，所以，故.【對點(diǎn)演練1】（2023·江西南昌·江西師大附中?？既＃┮阎菙?shù)列的前項和，滿足，且.(1)求；(2)若，求數(shù)列的前項和.【解析】（1）因為，顯然，所以，即，所以，所以，又當(dāng)時，也滿足，所以.（2）由（1）知，則當(dāng)時，，又也滿足，所以，則，則.【對點(diǎn)演練2】（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，為數(shù)列的前n項和，求．【解析】（1）因為，所以，即所以（為常數(shù)），所以數(shù)列是等差數(shù)列．（2）由（1）知，即.所以，所以為公比為的等比數(shù)列，又，所以，因為，所以，所以數(shù)列的前項和為：．【對點(diǎn)演練3】（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且，.(1)求的通項公式；(2)記數(shù)列的前項和為，求集合中元素的個數(shù).【解析】（1）因為，所以，所以所以，即.又因為，所以，所以.（2）因為，所以令，得，所以集合中元素的個數(shù)為.題型五倒序相加法例9（2023·高三課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和的方法，求得的值為.【答案】11【解析】因，設(shè)，則，故.故答案為：11【對點(diǎn)演練1】（2023江蘇鹽城模擬預(yù)測）已知數(shù)列的項數(shù)為，且，則的前n項和為．【答案】【解析】因為，又，所以又因為，所以，即.故答案為：.【對點(diǎn)演練2】（2023廣西玉林統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若函數(shù)，數(shù)列為等差數(shù)列，，則．【答案】44【解析】由題意，可得，設(shè)等差數(shù)列的前項和為，公差為，則，解得，則，根據(jù)等差中項的性質(zhì)，可得，則，同理可得，，，，，∴．故答案為：【變式演練3】“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個階代數(shù)方程必有，設(shè)，則.【答案】46【解析】因為函數(shù)的定義域為，設(shè)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，其中，且，則有，從而當(dāng)時，有：，當(dāng)時，，，相加得所以，又，所以對一切正整數(shù)，有；故有.故答案為：46.題型六錯位相減法求和例10已知數(shù)列{an}是首項a1＝1的等比數(shù)列，且an＞0，{bn}是首項為1的等差數(shù)列，且a5＋b3＝21，a3＋b5＝13.（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；（2）求數(shù)列bn2an的前n解（1）設(shè){an}的公比為q，{bn}的公差為d，則由已知條件得q解得d＝2，q＝2或q＝－2（舍去），∴an＝2n－1，bn＝1＋2（n－1）＝2n－1.（2）由（1）知bn2a∴Sn＝12＋322＋523＋…＋2∴12Sn＝122＋323＋…＋2①－②，得12Sn＝12＋222＋22即12Sn＝12＋1＝12＋12＝12＋1－12n-1－2n-12n【對點(diǎn)演練1】已知數(shù)列{an}中，a1＝2，nan＋1－n（n＋1）＝2（n＋1）·（an－n）（n∈N*）.（1）證明：數(shù)列{ann－1}為等比數(shù)列，并求{a（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn.解：（1）證明：由條件可得an+1-(又a11－1＝1，所以{ann－1}是首項為1，所以an＝n×2n－1＋n.（2）Sn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1＋（1＋2＋3＋…＋n），設(shè)Tn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，則2Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，兩式相減，整理得Tn＝（n－1）×2n＋1，所以Sn＝（n－1）×2n＋n2【對點(diǎn)演練2】設(shè)數(shù)列?的前?項和為?，且?;數(shù)列?為等差數(shù)列，且?.(1)求數(shù)列?的通項公式.(2)若?，求數(shù)列?的前?項和?.【解析】（1）當(dāng)時，，得.當(dāng)時，兩式相減有即.因為，所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列.則.所以數(shù)列的通項公式為.（2）在等差數(shù)列中，設(shè)首項為公差為，則解得所以.則①②所以①②得即解得【對點(diǎn)演練3】（2023·廣東東莞·?？既＃┮阎獢?shù)列和，，，.(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.【解析】（1）由，，得，整理得，而，所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列（2）由（1）知，∴，∴，設(shè)，則，兩式相減得，從而∴.題型七分段數(shù)列求和例11（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的公比，前n項和為，滿足：.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【解析】（1）法一：因為是公比的等比數(shù)列，所以由，得，即，兩式相除得，整理得，即，解得或，又，所以，故，所以，法二：因為是公比的等比數(shù)列，所以由得，即，則，，解得或（舍去），故，則，所以.（2）當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，所以.【對點(diǎn)演練1】（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）已知等比數(shù)列的前n項和為，其公比，，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項和．【解析】（1）因為是等比數(shù)列，公比為，則，所以，解得，由，可得，解得，所以數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）得，當(dāng)n為偶數(shù)時，；當(dāng)n為奇數(shù)時；綜上所述：.【對點(diǎn)演練2】（2023·湖南常德·高三常德市一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列，，為數(shù)列的前n項和，，若，，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列的通項公式為，令為的前n項的和，求.【解析】（1），因為，所以，又，所以是公比為2，首項為2的等比數(shù)列，，，，綜上，是公差為1，首項為1的等差數(shù)列，．（2）令，①②，得，，．【對點(diǎn)演練3】（2023·湖南衡陽·衡陽市八中?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項和分別為：，且滿足：，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若求數(shù)列的前項的和.【解析】（1），解得：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的首項為，公比為，，，則：又，得：（2）數(shù)列的前項的和：.1.在數(shù)列{an}中a1＝2，a2＝2，an＋2－an＝1＋（－1）n，n∈N*，則S60的值為 （）A.990B.1000C.1100 D.99解析：An為奇數(shù)時，an＋2－an＝0，an＝2；n為偶數(shù)時，an＋2－an＝2，an＝n.故S60＝2×30＋（2＋4＋…＋60）＝990.2.已知函數(shù)f（n）＝n2,n為奇數(shù),-n2,n為偶數(shù),且an＝f（n）＋f（n＋1），則a1＋aA.0 B.100C.－100 D.10200解析：B由題意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－（1＋2）＋（3＋2）－（4＋3）＋…－（99＋100）＋（101＋100）＝－（1＋2＋…＋99＋100）＋（2＋3＋…＋100＋101）＝－50×101＋50×103＝100.3.在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1－an（n∈N*），則該數(shù)列的前100項之和是（）A.18 B.8C.5 D.2解析：C因為a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1－an（n∈N*），所以a3＝3－1＝2，a4＝2－3＝－1，a5＝－1－2＝－3，a6＝－3＋1＝－2，a7＝－2＋3＝1，a8＝1＋2＝3，a9＝3－1＝2，…，所以{an}是周期為6的周期數(shù)列，因為100＝16×6＋4，所以S100＝16×（1＋3＋2－1－3－2）＋（1＋3＋2－1）＝5.故選C.4.（多選）數(shù)列{an}滿足a1＝1，且對任意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，則 （）A.an＝n(n+1)2B.數(shù)列{1aC.數(shù)列{1an}的前100項和為99100D.數(shù)列{an}的第解析：AB因為an＋1＝an＋n＋1，所以an＋1－an＝n＋1，又a1＝1，所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋2＋1＝n(n+1)2，所以數(shù)列{an}的第100項為5050，故A正確，D錯誤；所以1an＝2n(n+1)＝21n-1n+1，所以數(shù)列{1an}的前5.若{an}，{bn}滿足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，則{bn}的前18項和為.

解析：因為anbn＝1，且an＝n2＋3n＋2，所以bn＝1n2+3n+2＝1(n+2)(n+1)＝1n+1－1n+2，所以{bn}的前18項和為12－13＋13－1答案：96.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1.當(dāng)n≥2時，an＋2Sn－1＝n，則S2023＝.

解析：由an＋2Sn－1＝n（n≥2），得an＋1＋2Sn＝n＋1，兩式作差可得an＋1－an＋2an＝1（n≥2），即an＋1＋an＝1（n≥2），所以S2023＝1＋20222×1＝1012答案：10127.已知數(shù)列{an}滿足an＋2＋（－1）nan＝3，a1＝1，a2＝2.（1）記bn＝a2n－1，求數(shù)列{bn}的通項公式；（2）記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，求S30.解：（1）由an＋2＋（－1）nan＝3，令n取2n－1，則a2n＋1－a2n－1＝3，即bn＋1－bn＝3，b1＝a1＝1，所以數(shù)列{bn}是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以bn＝3n－2.（2）令n取2n，則a2n＋2＋a2n＝3，所以S30＝（a1＋a3＋…＋a29）＋（a2＋a4＋…＋a30），由（1）可知，a1＋a3＋…＋a29＝b1＋b2＋…＋b15＝330，a2＋a4＋…＋a30＝a2＋（a4＋a6）＋…＋（a28＋a30）＝2＋21＝23.所以S30＝330＋23＝353.8.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn＝2an－1，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b1＝a1，b6＝a5.（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；（2）若cn＝1bnbn+1，記數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，證明：3解：（1）由Sn＝2an－1，可得n＝1時，a1＝2a1－1，解得a1＝1；n≥2時，Sn－1＝2an－1－1，又Sn＝2an－1，兩式相減可得an＝Sn－Sn－1＝2an－1－2an－1＋1，即有an＝2an－1，所以數(shù)列{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以an＝2n－1.設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，且b1＝a1＝1，b6＝a5＝16，可得d＝b6-b16?1＝3，所以bn＝1＋3（n－1）＝（2）證明：cn＝1bnbn+1所以Tn＝131?14+14-17+19．(2022·杭州模擬)已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4＝20，a2，a4，a8成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn＝2an＋1－3n＋2，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d>0)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S4＝20，,a\o\al(2,4)＝a2·a8，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋\f(4×3,2)d＝20，,a1＋3d