全國高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-橢圓知識點(diǎn)總結(jié)

全國高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-橢圓知識點(diǎn)總結(jié)橢圓知識點(diǎn)知識點(diǎn)一：橢圓的定義橢圓是平面內(nèi)一個動點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(PF1+PF2=2a>F1F2)時，動點(diǎn)P的軌跡。這兩個定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距。需要注意的是，若PF1+PF2=F1F2，則動點(diǎn)P的軌跡為線段F1F2；若PF1+PF2<F1F2，則動點(diǎn)P的軌跡無圖形。知識點(diǎn)二：橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)或y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)，它具有以下幾何性質(zhì)：1.焦點(diǎn)：F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)或F1(0,-c)，F(xiàn)2(0,c)，其中c為焦距，即F1F2的長度。2.范圍：x≤a，y≤b。3.對稱性：橢圓關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱。4.頂點(diǎn)：(±a,0)，(0,±b)或(0,±a)，(±b,0)。5.軸長：長軸長=2a，短軸長=2b。6.離心率：e=c/a(0<e<1)，其中c為焦距。7.焦距性質(zhì)：點(diǎn)P在橢圓上，有AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2b，其中A、B分別為橢圓上的兩點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為焦點(diǎn)。需要注意的是，橢圓的性質(zhì)分為與坐標(biāo)系無關(guān)的橢圓本身固有的性質(zhì)和與坐標(biāo)系有關(guān)的性質(zhì)，如頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)等。知識點(diǎn)三：橢圓相關(guān)計(jì)算1.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量a、b、c的幾何意義為：a為長半軸，b為短半軸，c為焦距。2.通徑：過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦，其長為2a。3.最大角：設(shè)p是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)p是橢圓的短軸端點(diǎn)時，∠F1PF2為最大角。4.焦點(diǎn)三角形：橢圓上一點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形。5.焦點(diǎn)三角形的面積可用海倫公式求解。6.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟為待定系數(shù)法，具體包括：(1)根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上；(2)設(shè)方程并代入條件，解出待定系數(shù)。2.在無法確定焦點(diǎn)位置的情況下，也可以設(shè)$mx^2+ny^2=1$（其中$m>0$，$n>0$且$m\neqn$）。接下來，根據(jù)已知條件建立關(guān)于$a$、$b$、$c$或$m$、$n$的方程組。解方程組，并代入所設(shè)方程即可得到所求解。6.對于點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，當(dāng)$x^2/a^2+y^2/b^2<1$時，點(diǎn)在橢圓內(nèi)；當(dāng)$x^2/a^2+y^2/b^2=1$時，點(diǎn)在橢圓上；當(dāng)$x^2/a^2+y^2/b^2>1$時，點(diǎn)在橢圓外。7.設(shè)直線方程為$y=kx+m$，若將直線與橢圓方程聯(lián)立并消去$y$，則可得到關(guān)于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（其中$a\neq0$）。接下來，解方程并計(jì)算$\Delta$。當(dāng)$\Delta>0$時，直線與橢圓有兩個公共點(diǎn)；當(dāng)$\Delta=0$時，直線與橢圓有一個公共點(diǎn)；當(dāng)$\Delta<0$時，直線與橢圓無公共點(diǎn)。8.弦長公式指的是，若直線$l:y=kx+b$與圓錐曲線相交于點(diǎn)$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，則弦長$AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+k^2(x_1-x_2)^2}=\sqrt{1+k^2}(x_1-x_2)=\sqrt{1+k^2}(x_1+x_2-2x_1x_2)$。9.點(diǎn)差法是求解圓錐曲線問題中求直線與圓錐曲線相交所截線段中點(diǎn)坐標(biāo)的一種方法。步驟如下：首先設(shè)直線和圓錐曲線交點(diǎn)為$(x,y)$，然后將$(x,y)$分別代入圓錐曲線的解析式，并作差，利用平方差公式對結(jié)果進(jìn)行因式分解。其結(jié)果為$m(x_1-x_2)(x_1+x_2)+n(y_1-y_2)(y_1+y_2)=3$。接下來，利用求出的直線斜率代入點(diǎn)斜式求出直線方程。點(diǎn)差法常用于解決涉及弦中點(diǎn)的問題，通常會更加簡單。10.參數(shù)方程為$\begin{cases}x=a\cos\theta\\y=b\sin\theta\end{cases}$（其中$\theta$為參數(shù)），其幾何意義為離心角。11.求解橢圓切線的方法有兩種：一種是已知切點(diǎn)$(x,y)$，此時切線方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，則切線方程為$y=kx\pma^2k^2+b^2$；另一種是已知切線斜率$k$，此時切線方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，則切線方程為$y=kx\pmb^2k^2+a^2$。1.焦半徑的定義和求法：橢圓是一個重要的幾何圖形，它有許多特殊的性質(zhì)。其中，焦半徑是指橢圓上某一點(diǎn)到其兩個焦點(diǎn)的距離之和。根據(jù)橢圓的定義，我們可以利用以下公式求解焦半徑：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)焦半徑的求解方法為：r=a±e*x(加減由長短決定)，其中e為橢圓的離心率，x為點(diǎn)到橢圓長軸的距離。2.離心率的求法：離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)之一，它可以用來描述橢圓的形狀。求解橢圓的離心率有兩種方法：方法一：利用橢圓的定義式，即(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1，求解出橢圓的長軸a和短軸b，然后利用公式e^2=1-(b^2/a^2)求解離心率e。方法二：利用橢圓焦點(diǎn)和直線的關(guān)系，即e=c/a，其中c為橢圓的焦距，a為橢圓的長軸。3.焦點(diǎn)三角形的周長和面積的求法：焦點(diǎn)三角形是指橢圓上任意一點(diǎn)和其兩個焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形。利用定義可以求解焦點(diǎn)三角形的周